江蘇省鎮(zhèn)江市高三數學上學期期中試卷（含解析）.doc

2015-2016學年江蘇省鎮(zhèn)江市高三（上）期中數學試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上。1設集合u=0，1，2，3，a=x|x2x=0，則ua=2從甲、乙、丙3名候選學生中選2名作為青年志愿者，則甲被選中的概率為3若復數為純虛數，則m=4根據如圖所示的偽代碼，最后輸出的實數a的值為5在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么tanc=6方程lgx=sinx的解的個數為7函數f（x）=的定義域是8若函數f（x）=sin（x+）cosx（0）是偶函數，則的值等于9實系數一元二次方程ax2+bx+c=0，則“ac0”是“該方程有實數根”的條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個合適的填寫）10若實數x、y滿足x0，y0，且log2x+log2y=log2（x+2y），則2x+y的最小值為11若4x52x+60，則函數f（x）=2x2x的值域是12已知函數f（x）=，若0abc，滿足f（a）=f（b）=f（c），則的范圍為13設、，且sincos（+）=sin，則tan的最小值是14函數f（x）=axxlna（0a1），若對于任意x1，1，不等式f（x）e1恒成立，則實數a的取值范圍是二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15在abc中，角a、b、c所對應的邊分別是a、b、c（1）若sin（a+）=，求a的值；（2）若cosa=，sinb+sinc=2sina，試判斷abc的形狀，并說明理由16已知函數（1）解不等式f（x）0；（2）當x1，4時，求f（x）的值域17已知ar，函數f（x）=（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）若a1，函數y=f（x）在0，a+1上最大值是f（a+1），求實數a的取值范圍18已知函數f（x）=sin2x2asin（x+）+2，設t=sinx+cosx，且x（，）（1）試將函數f（x）表示成關于t的函數g（t），并寫出t的范圍；（2）若g（t）0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）若方程f（x）=0有四個不同的實數根，求a的取值范圍19廣告公司為某游樂場設計某項設施的宣傳畫，根據該設施的外觀，設計成的平面圖由半徑為2m的扇形aob和三角區(qū)域bco構成，其中c，o，a在一條直線上，acb=，記該設施平面圖的面積為s（x）m2，aob=xrad，其中x（1）寫出s（x）關于x的函數關系式；（2）如何設計aob，使得s（x）有最大值？20記函數f（x）=ex的圖象為c，函數g（x）=kxk的圖象記為l（1）若直線l是曲線c的一條切線，求實數k的值（2）當x（1，3）時，圖象c恒在l上方，求實數k的取值范圍（3）若圖象c與l有兩個不同的交點a、b，其橫坐標分別是x1、x2，設x1x2，求證：x1x2x1+x22015-2016學年江蘇省鎮(zhèn)江市高三（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上。1設集合u=0，1，2，3，a=x|x2x=0，則ua=2，3【考點】補集及其運算【專題】集合思想；定義法；集合【分析】先化簡集合a，再求a在u中的補集【解答】解：集合u=0，1，2，3，a=x|x2x=0=x|x=0或x=1=0，1，ua=2，3故答案為：2，3【點評】本題考查了集合的化簡與簡單運算問題，是基礎題目2從甲、乙、丙3名候選學生中選2名作為青年志愿者，則甲被選中的概率為【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】對應思想；試驗法；概率與統(tǒng)計【分析】用列舉法求出從甲、乙、丙3人中選2人的基本本事件數以及甲被選中的基本事件數，求出對應的概率即可【解答】解：從甲、乙、丙3名候選學生中選2名，基本事件是甲乙，甲丙，乙丙共3種，其中甲被選中的基本事件是甲乙和甲丙，共2種；所求的概率為p=故答案為：【點評】本題考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題目3若復數為純虛數，則m=2【考點】復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念【專題】計算題【分析】先將ai1+i 化簡為代數形式，再根據純虛數的概念，令其實部為0，虛部不為0，求出m值【解答】解： =+i，根據純虛數的概念得出，解得m=2故答案為：2【點評】本題考查復數的除法運算，復數的分類，純虛數的概念屬于基礎題4根據如圖所示的偽代碼，最后輸出的實數a的值為105【考點】偽代碼【專題】計算題；分類討論；試驗法；算法和程序框圖【分析】模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的a，i的值，當i=9時不滿足條件i7，退出循環(huán)，輸出a的值為105【解答】解：模擬執(zhí)行程序可得：a=1，i=3滿足條件i7，a=3，i=5滿足條件i7，a=15，i=7滿足條件i7，a=105，i=9不滿足條件i7，退出循環(huán)，輸出a的值為105故答案為：105【點評】本題主要考查了循環(huán)結構的程序，根據框圖的流程判斷算法的功能是解題的關鍵，屬于基礎題5在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么tanc=【考點】余弦定理的應用；正弦定理【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形【分析】由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨設a=2t，b=3t，c=4t，則由余弦定理可求cosc，結合范圍c（0，），利用同角三角函數關系式即可求值【解答】解：sina：sinb：sinc=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，不妨設a=2t，b=3t，c=4t，則cosc=，c（0，）tanc=故答案為：【點評】本題考查正余弦定理的應用，考查了比例的性質，同角的三角函數基本關系式的應用，屬中檔題6方程lgx=sinx的解的個數為3【考點】根的存在性及根的個數判斷【專題】函數的性質及應用【分析】由函數y=lgx的單調性可知：當0x10時，lgx1；又由正弦函數的有界性可知：sinx1畫出當x0時的圖象即可得出答案【解答】解：要使lgx有意義，必須x0分別作出函數y=lgx，y=sinx，當x0時的圖象：由函數y=lgx的單調性可知：當0x10時，lgx1；又sinx1由圖象可以看出：函數y=lgx與y=sinx的圖象有且僅有3個交點，故方程lgx=sinx的解的個數為3故答案為3【點評】熟練掌握對數函數和正弦函數的圖象和性質是解題的關鍵7函數f（x）=的定義域是（0，【考點】函數的定義域及其求法【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用【分析】關鍵二次根式的性質以及對數函數的性質得到關于x的不等式，解出即可【解答】解：由題意得：lgx0，解得：0x，故答案為：（0，【點評】本題考查了求函數的定義域問題，是一道基礎題8若函數f（x）=sin（x+）cosx（0）是偶函數，則的值等于【考點】正弦函數的奇偶性；兩角和與差的正弦函數；由y=asin（x+）的部分圖象確定其解析式【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值【分析】由條件利用三角函數的奇偶性可得=k+，kz，再結合0，可得的值【解答】解：函數f（x）=sin（x+）cosx 是偶函數，則=k+，kz再根據0，可得=，故答案為：【點評】本題主要三角函數的奇偶性，屬于基礎題9實系數一元二次方程ax2+bx+c=0，則“ac0”是“該方程有實數根”的充分不必要條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個合適的填寫）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】方程思想；綜合法；簡易邏輯【分析】根據充分必要條件的定義分別判斷其充分性和必要性即可【解答】解：對于實系數一元二次方程ax2+bx+c=0，=b24ac，若“ac0”，則0，“該方程有實數根”，是充分條件，若該方程有實數根，0，則推不出ac0，不是必要條件，故答案為：充分不必要【點評】本題考查了充分必要條件，根的判別式問題，是一道基礎題10若實數x、y滿足x0，y0，且log2x+log2y=log2（x+2y），則2x+y的最小值為9【考點】基本不等式在最值問題中的應用；對數的運算性質【專題】計算題；函數思想；轉化思想；函數的性質及應用；不等式的解法及應用【分析】求出x，y的關系式，然后利用基本不等式求解函數的最值即可【解答】解：實數x、y滿足x0，y0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+=9，當且僅當x=y=3時，取得最小值故答案為：9【點評】本題考查對數運算法則以及基本不等式的應用，考查計算能力11若4x52x+60，則函數f（x）=2x2x的值域是，【考點】一元二次不等式的解法；函數的值域【專題】轉化思想；換元法；函數的性質及應用；不等式的解法及應用【分析】用換元法，設t=2x，求出t的取值范圍，再把函數f（x）化為f（t），求f（t）的值域即可【解答】解：4x52x+60，（2x）252x+60，設t=2x，則原不等式化為t25t+60，解得2t3；又函數f（x）=2x2x=2x，f（t）=t（t2，3），f（t）=1+0，f（t）在t2，3上是增函數，f（2）f（t）f（3），即f（t）；f（x）的值域是，故答案為：，【點評】本題考查了不等式的解法和應用問題，也考查了求函數值域的應用問題，是綜合性題目12已知函數f（x）=，若0abc，滿足f（a）=f（b）=f（c），則的范圍為（1，2）【考點】分段函數的應用【專題】計算題；作圖題；函數的性質及應用【分析】作函數f（x）=的圖象，從而可得ab=1，f（c）1；從而求得【解答】解：作函數f（x）=的圖象如下，0abc，滿足f（a）=f（b）=f（c），log2a=log2b，即ab=1；f（c）=+，f（c）1；故1=2；故答案為：（1，2）【點評】本題考查了數形結合思想應用及對數的運算，同時考查了整體代換的思想應用13設、，且sincos（+）=sin，則tan的最小值是【考點】三角函數中的恒等變換應用【專題】方程思想；分析法；三角函數的求值【分析】由條件利用兩角和差的正弦公式、同角三角函數的基本關系可得 2tan2tan+tantan=0，再根據=18tan20，求得tan的最小值【解答】解：sincos（+）=sin=sin（+），sincos（+）=sin（+）coscos（+）sin，化簡可得 tan（+）=2tan，即=2tan，2tan2tantan+tan=0，=18tan20，解得tan，（，），tan0，故答案為：【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，屬于基礎題14函數f（x）=axxlna（0a1），若對于任意x1，1，不等式f（x）e1恒成立，則實數a的取值范圍是，1）【考點】函數恒成立問題【專題】轉化思想；配方法；構造法；函數的性質及應用；導數的綜合應用【分析】求函數的導數，判斷函數的單調性，求出函數f（x）在1，1上的最大值即可，利用構造法進行求解【解答】解：函數的導數f（x）=axlnalna=lna（ax1），0a1，lna0，由f（x）0得lna（ax1）0，即ax10，則x0，此時函數單調遞增，由f（x）0得lna（ax1）0，即ax10，則x0，此時函數單調遞減，即當x=0時，函數取得最小值，f（0）=1，當x=1，則f（1）=alna當x=1，則f（1）=a1+lna，則f（1）f（1）=a2lna，設g（a）=a2lna，則g（a）=1+=（1）20，則g（a）在（0，1）上為增函數，則g（a）g（1）=112ln1=0，即g（a）0，則f（1）f（1）0，即f（1）f（1），即函數f（x）在x1，1上的最大值為f（1）=a1+lna，若對于任意x1，1，不等式f（x）e1恒成立，則f（1）=a1+lnae1，即+lnae1，設h（a）=+lna，則h（a）=+=（）2+，0a1，1，當h（a）h（1）=0，即h（a）=+lna在0a1上為減函數，由+lna=e1得a=則+lnae1等價為h（a）h（），即a1，故答案為：，1）【點評】本題主要考查函數恒成立問題，求函數的導數，判斷函數的單調性求出函數的最值是解決本題的關鍵本題的難點在于多次構造函數，多次進行進行求導，考查學生的轉化和構造能力和意識二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15在abc中，角a、b、c所對應的邊分別是a、b、c（1）若sin（a+）=，求a的值；（2）若cosa=，sinb+sinc=2sina，試判斷abc的形狀，并說明理由【考點】三角形的形狀判斷；兩角和與差的正弦函數【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用兩角和的正弦函數公式化簡已知可得cos（a+）=0，解得范圍0a，即可解得a的值（2）由正弦定理可得：b+c=2a，由cosa=，a（0，），解得：a=，由正弦定理可得：sinb+sinc=，由余弦定理可得：a2=b2+c2bc，由可解得：sin2a=sinbsinc=，由解得：sinb=sinc=sina=，即a=b=c=，從而得解【解答】（本題滿分為14分）解：（1）sin（a+）=sina+cosa=，解得：cos（a+）=0，0a，a+，解得：a+=，即a=7分（2）sinb+sinc=2sina，由正弦定理可得：b+c=2a，cosa=，a（0，），解得：a=，由可得sinb+sinc=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc，由可解得：a2=bc，由正弦定理可得：sin2a=sinbsinc=，由解得：sinb=sinc=sina=，即a=b=c=，故abc為等邊三角形14分【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數公式的應用，考查了正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題16已知函數（1）解不等式f（x）0；（2）當x1，4時，求f（x）的值域【考點】對數函數圖象與性質的綜合應用【專題】函數的性質及應用【分析】（1）先根據對數的運算性質對解析式化簡，再令log2x=t代入f（x）0，進而轉化為關于t的二次不等式，求出t的范圍再求對應的x的范圍；（2）由x1，4求出t0，2，代入后進行配方，利用二次函數的性質求出f（x）的最值即可【解答】解：（1）f（x）=（log2x2）（log2x+1）令log2x=t，f（x）=g（t）=（t2）（t+1），由f（x）0，可得（t2）（t+1）0，t2或t1，log2x2 或log2x1，x4或不等式的解集是（2）x1，4，t0，2， fmax（x）=g（2）=0，f（x）的值域是【點評】本題考查了對數的運算性質，對數函數和二次函數性質的應用，以及換元法求函數的值域問題17已知ar，函數f（x）=（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）若a1，函數y=f（x）在0，a+1上最大值是f（a+1），求實數a的取值范圍【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值【專題】綜合題；分類討論；綜合法；導數的綜合應用【分析】（1）由求導公式和法則求出f（x），求出導函數的零點，然后分a=1，a1和a1三種情況，分別由二次函數的性質判斷出導數在各區(qū)間段內的符號，由導數與函數單調性的關系判斷原函數的單調區(qū)間；（2）由（1）和條件判斷出f（x）在0，a+1上的單調性，確定f（x）在0，a+1上的最大值，由條件列出不等式，求出實數a的取值范圍【解答】解：（1）由題意得，f（x）=x2（a+1）x+a=（x1）（xa），令f（x）=0，得x1=1，x2=a，當a=1時，f（x）=（x1）20，所以f（x）在（，+）單調遞增；當a1時，當xa或x1時，f（x）0，當ax1時，f（x）0，所以f（x）在（，a），（1，+）內單調遞增，在（a，1）內單調遞減；當a1時，當x1或xa時，f（x）0，當1xa時f（x）0，所以f（x）在（，1），（a，+）內單調遞增，在（1，a）內單調遞減綜上，當a1時，f（x）在（，a），（1，+）內單調遞增，在（a，1）內單調遞減；當a=1時，f（x）在（，+）單調遞增；當a1時，f（x）在（，1），（a，+）內單調遞增，在（1，a）內單調遞減（2）由（1）知，當a1時，f（x）在（，1），（a，+）內單調遞增，在（1，a）內單調遞減，所以f（x）在0，1），（a，a+1內單調遞增，在（1，a）內單調遞減，則f（x）在0，a+1上的最大值是f（0）或f（a+1），因為f（x）在0，a+1上最大值是f（a+1），所以，則，化簡得，解得，所以a的取值范圍是（1，2）【點評】本題考查求導公式、法則，利用導數研究函數的單調性、最值，考查分類討論思想，是中檔題18已知函數f（x）=sin2x2asin（x+）+2，設t=sinx+cosx，且x（，）（1）試將函數f（x）表示成關于t的函數g（t），并寫出t的范圍；（2）若g（t）0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）若方程f（x）=0有四個不同的實數根，求a的取值范圍【考點】三角函數中的恒等變換應用；根的存在性及根的個數判斷【專題】函數的性質及應用；導數的概念及應用；三角函數的圖像與性質【分析】（1）利用三角函數恒等變換可得t=sin（x+），且x（，），t（0，可求g（t）=t22at+1，t（0，（2）由題意可得a，在t（0，上恒成立，令h（t）=，可求h（t）=，由，即可利用函數的單調性解得a的取值范圍（3）方程f（x）=0有四個不同的解等價于g（t）在（0，）上有兩個不相等的實根，問題轉化為g（t）=t22at+1在（0，上有兩個不相等的實根的條件為：，從而解得a的范圍【解答】解：（1）t=sinx+cosx=sin（x+），且x（，），x+（0，），t=sin（x+）（0，sin2x=2sinxcosx=（sinx+cosx）2（sin2x+cos2x）=t21，g（t）=sin2x2asin（x+）+2=t212at+2=t22at+1，t（0，（2）g（t）=t22at+10恒成立，t（0，a，在t（0，上恒成立令h（t）=，則h（t）=，由，可得h（t）在（0，1單調遞減，在1，上單調遞增，所以h（t）min=h（1）=1，所以：ah（t）min=h（1）=1時，在t（0，上g（t）0恒成立（3）方程f（x）=0有四個不同的解等價于g（t）在（0，）上有兩個不相等的實根，問題轉化為g（t）=t22at+1在（0，上有兩個不相等的實根的條件為：，解得：，可得：1a故若方程f（x）=0有四個不同的實數根，a（1，）【點評】本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，考查了導數的概念及應用，根的存在性及根的個數判斷，綜合性強，屬于中檔題19廣告公司為某游樂場設計某項設施的宣傳畫，根據該設施的外觀，設計成的平面圖由半徑為2m的扇形aob和三角區(qū)域bco構成，其中c，o，a在一條直線上，acb=，記該設施平面圖的面積為s（x）m2，aob=xrad，其中x（1）寫出s（x）關于x的函數關系式；（2）如何設計aob，使得s（x）有最大值？【考點】弧度制的應用【專題】函數思想；三角函數的圖像與性質【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面積，然后，求和即可得到相應的解析式；（2）根據三角函數輔助角公式和導數的計算等知識求解其最大值即可【解答】解：（1）扇形aob的半徑為2m，aob=xrad，s扇形=x22=2x，過點b作邊ac的垂線，垂足為d，如圖所示：則bod=x，bd=2sin（x）=2sinx，od=2cos（x）=2cosx，acb=，cd=bd=2sinx，sboc=cobd=（2sinx2cosx）2sinx=2sin2x2sinxcosx=