實(shí)變函數(shù)試題庫(kù)參考答案.doc

實(shí)變函數(shù)試題題庫(kù)參考答案一、選擇題1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空題1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:對(duì)于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可測(cè)；34、有；35、；36、；37、可測(cè)函數(shù)；38、點(diǎn)態(tài)收斂與一致收斂；39、；40、次可數(shù)可加性；41、可測(cè)函數(shù)；42、可測(cè)函數(shù)；43、單調(diào)性；44、（開(kāi)）；45、推廣；46、測(cè)度；47、；48、，（閉集）；49、常數(shù)；50、可測(cè)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)；51、；52、零測(cè)集； 53、可測(cè)函數(shù)；54、依測(cè)度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判斷題 1、( ) 理由: 集合具有無(wú)序性 2、( ) 理由: 舉一反例, 比如: 取A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ ） 理由:符號(hào)表示集合間的關(guān)系,不能表示元素和集合的關(guān)系. 5、( ) 理由:表示沒(méi)有任何元素的集合,而表示單元素集合,這個(gè)元素是6、( ) 理由: 表示沒(méi)有任何元素的集合,而0表示單元素集合,這個(gè)元素是0 7、( ) 理由: 根據(jù)內(nèi)點(diǎn)的定義, 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn) 8、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外點(diǎn),但卻屬于E的余集分9、( ) 理由: 有內(nèi)點(diǎn)的定義可得. 10、( ) 理由: 有內(nèi)點(diǎn)的定義可得. 11、( ) 理由: 舉例說(shuō)明,比如: E=(0,1),元素1是E的邊界點(diǎn),但屬于E. 12、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的內(nèi)點(diǎn),但不屬于E 13、（）理由: 因有若，E不可測(cè)，而可測(cè) 14、（）理由: 因 兩可測(cè)集的并可測(cè)。15、（） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（） 理由: 反例：， 把是按n后按j的順序形成的函數(shù)列 18、（） 理由: 因的測(cè)度可能無(wú)限 19、（） 理由: 因若（可測(cè)），則 20、（） 理由: 反例：自然數(shù)集外測(cè)度為零。21、（） 理由: 若是E的不可測(cè)集就不行。22、（） 理由: 反例：， 23、（） 理由: 因，存在單調(diào)下降趨于c的有理數(shù)列， 則有 ，故可測(cè)。24、（） 理由: 因 四、簡(jiǎn)答題1、答: 令f(2n) = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面驗(yàn)證f是自然數(shù)全體到偶數(shù)全體的一一映射.（1） 設(shè)m自然數(shù)全體, n自然數(shù)全體且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)0, 則m、n為偶數(shù)，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 則m、n為奇數(shù)，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f 是單射。（2） 對(duì)于任意的m偶數(shù)全體若m=0, 則有f(1)=0 ;若m0, 則有f(m)=m;若mn 時(shí)則，顯然是可數(shù)集. 3、證明: 令C=AB, 則有, 故C是可數(shù)集或有限集若C是有限集，顯然. 若C是可數(shù)集，顯然，設(shè)，。令，則。而顯然是可數(shù)集。故而是可數(shù)集. 4、證明：設(shè) （）, 則是可數(shù)集，于是知全體正有理數(shù)成一可數(shù)集。 因正負(fù)有理數(shù)成一一對(duì)應(yīng)，故負(fù)有理數(shù)成一可數(shù)集。但全體有理數(shù)，故有理數(shù)全體成一可數(shù)集。5、證明：在每個(gè)區(qū)間中取一有理數(shù)與這個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)，則不同的區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的有理數(shù)，故A與有理數(shù)的子集對(duì)等。 而有理數(shù)集是可列的，所以A是至多可列的。 6、證明：令 其中，Z為整數(shù)集。顯然是可數(shù)集, 并且。因?yàn)榭蓴?shù)個(gè)可數(shù)集的并是可數(shù)集，故是可數(shù)集。7、證明：必要性，取，則，從而 充分性，令，則，且。因此 8、證明：設(shè)是E上a, e有限的可測(cè)函數(shù)，由魯金定理得，在E上基本連續(xù)，即對(duì)存在，及連續(xù)函數(shù)g滿足 （1） （2） 于是對(duì)，所以 9、證明：因?qū)Γ?10、證明：因，由Riesz定理，存在的子列，使 ，且 設(shè)時(shí)有，且 這樣時(shí)，有，從而 注意 11、證明：設(shè)， 令 則，且 由的定義知 故有 12、證明：有使，且在上一致收斂于 令，則在收斂于f，且。 從而 13、證： 14、證明：因 故， 從而 令 ，得 注意到故 ，即，a, e于E 15、證明：若E有界，則， 從而，即E可測(cè) 若E無(wú)界，則存在互不相交的有界集列，使。 而每個(gè) ，且 ，所以 ， 因 ，所以E是可測(cè)的。 16、證明：首先 因， 故 所以 17、證明：因A可測(cè)，取，有 又因（定義3中取T = B即得） 所以 18、證明：顯然 ，（時(shí)） （ 故 從而 19、證明：令，因在上可積，故在上也可積，且有 所以 故 。 20、證明：因?yàn)槭巧系挠薪绾瘮?shù)，故可設(shè)，其中為常數(shù)。 則 所以 21、證明：用表示上的特征函數(shù)，由假設(shè)對(duì)于任何至少屬于個(gè)，所以，因而。而另一方面，故，從而這個(gè)集中必有一集，它的測(cè)度大于或等于。22、證明：令， ，易