同濟(jì)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)講義 (17).pdf

第二單元定積分的物理應(yīng)用第二單元定積分的物理應(yīng)用 本單單元內(nèi)容要點(diǎn)本單單元內(nèi)容要點(diǎn) 應(yīng)用定積分計(jì)算相應(yīng)的物理問(wèn)題應(yīng)用定積分計(jì)算相應(yīng)的物理問(wèn)題 主要內(nèi)容有主要內(nèi)容有 1 功功 2 水壓力水壓力 3 引力引力 本單單元教學(xué)要求本單單元教學(xué)要求 掌握用定積分求解物理問(wèn)題的基本方法和公式掌握用定積分求解物理問(wèn)題的基本方法和公式 本單元教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本單元教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 掌握三類物理問(wèn)題的求解方法掌握三類物理問(wèn)題的求解方法 尤其是在具體問(wèn)題中 用元素法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體的分析 尤其是在具體問(wèn)題中 用元素法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體的分析 由此得到相應(yīng)問(wèn)題的 計(jì)算公式 由此得到相應(yīng)問(wèn)題的 計(jì)算公式 難點(diǎn)難點(diǎn) 引力的計(jì)算引力的計(jì)算 教學(xué)時(shí)數(shù)教學(xué)時(shí)數(shù) 2課時(shí)課時(shí) 一 變力沿直線所作的功一 變力沿直線所作的功 從物理學(xué)中知道 如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受 到常力的作用 并且力作用的方向與位移的方向一 致 則當(dāng)物體移動(dòng)了距離 時(shí) 力對(duì)物體所作的功為 從物理學(xué)中知道 如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受 到常力的作用 并且力作用的方向與位移的方向一 致 則當(dāng)物體移動(dòng)了距離 時(shí) 力對(duì)物體所作的功為 F s F WFs F s 如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到變力的作用 如何求出相 應(yīng)的功 如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到變力的作用 如何求出相 應(yīng)的功 例例1 把一個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷放在 軸的坐標(biāo)原 點(diǎn)處 它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng) 并對(duì)周?chē)碾姾僧a(chǎn)生作用 力 由物理學(xué)知道 如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電 場(chǎng)中離原點(diǎn)為 的地方 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力為 是常數(shù) 當(dāng)這個(gè)單位正電荷從電場(chǎng)從 處沿 移動(dòng)到處時(shí) 求電場(chǎng)力所作的 功 把一個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷放在 軸的坐標(biāo)原 點(diǎn)處 它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng) 并對(duì)周?chē)碾姾僧a(chǎn)生作用 力 由物理學(xué)知道 如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電 場(chǎng)中離原點(diǎn)為 的地方 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力為 是常數(shù) 當(dāng)這個(gè)單位正電荷從電場(chǎng)從 處沿 移動(dòng)到處時(shí) 求電場(chǎng)力所作的 功 q r O Or ra rrb ab F 2 q Fk r k rOrdr ra b q 解取 為積分變量 在區(qū)間中取一小區(qū)間 當(dāng)單位電荷從 移動(dòng)到時(shí) 電場(chǎng)力 對(duì)它所作的功近似于 解取 為積分變量 在區(qū)間中取一小區(qū)間 當(dāng)單位電荷從 移動(dòng)到時(shí) 電場(chǎng)力 對(duì)它所作的功近似于 r a b r rdr rrdr 2 kq dr r 從而功元素為從而功元素為 2 kq dWdr r 于是所求的功為于是所求的功為 2 111 b b a a kq Wdrkqkq rrab 例例2 內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力的產(chǎn)生可簡(jiǎn)化為如下的模型 把汽缸 看作為一個(gè)圓柱形容器 在圓柱形容器中盛有一定的氣 體 在等溫條件下 由于氣體的膨脹 把容器中的一個(gè) 活塞從一點(diǎn)處推移到另一點(diǎn)處 經(jīng)過(guò)一定的機(jī)械裝置將 活塞的這直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力傳播出去 如果活塞的面積為 計(jì)算活塞從點(diǎn) 移到點(diǎn) 的過(guò)程中氣體壓力所作的 功 內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力的產(chǎn)生可簡(jiǎn)化為如下的模型 把汽缸 看作為一個(gè)圓柱形容器 在圓柱形容器中盛有一定的氣 體 在等溫條件下 由于氣體的膨脹 把容器中的一個(gè) 活塞從一點(diǎn)處推移到另一點(diǎn)處 經(jīng)過(guò)一定的機(jī)械裝置將 活塞的這直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力傳播出去 如果活塞的面積為 計(jì)算活塞從點(diǎn) 移到點(diǎn) 的過(guò)程中氣體壓力所作的 功 a Sb 解取坐標(biāo)系如圖所示 活塞的位置用坐標(biāo) 來(lái)表示 由物理學(xué)知道 一定量的氣體在等溫條件下 壓強(qiáng) 與體積的乘積是常數(shù)即有 解取坐標(biāo)系如圖所示 活塞的位置用坐標(biāo) 來(lái)表示 由物理學(xué)知道 一定量的氣體在等溫條件下 壓強(qiáng) 與體積的乘積是常數(shù)即有 x p V k x a b O pVk 因所以因所以 VxS k p xS 于是作用在活塞上的力為于是作用在活塞上的力為 k FpS x 取 為積分變量 則功元素為取 為積分變量 則功元素為x k dWdx x 因而總功為因而總功為 ln b a kb Wdxk xa 例例3 一圓柱形蓄水池高一圓柱形蓄水池高5米 底半徑為米 底半徑為3米 池內(nèi)盛滿了 誰(shuí) 要把池內(nèi)的水全部吸出 需作多少功 米 池內(nèi)盛滿了 誰(shuí) 要把池內(nèi)的水全部吸出 需作多少功 單擊任意處即可觀看 解建立坐標(biāo)系如圖 單擊任意處即可觀看 解建立坐標(biāo)系如圖 x o x xdx 取 為積分變量 則對(duì)中的任意一個(gè)小 區(qū)間這一層薄水的重力為 取 為積分變量 則對(duì)中的任意一個(gè)小 區(qū)間這一層薄水的重力為 x 0 5 x 0 5 x xdx 2 9 83 dx 因而功元素為因而功元素為 88 2 dWx dx 于是 功為于是 功為 5 2 5 0 0 88 288 23462 2 x Wx dxJ 例例4 用鐵錘將一鐵釘擊入木板 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?與擊入木板的深度成正比 在第一次時(shí) 將鐵釘擊入 木板一厘米 如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等 問(wèn)鐵釘在第 次時(shí)將鐵釘擊入多少 用鐵錘將一鐵釘擊入木板 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?與擊入木板的深度成正比 在第一次時(shí) 將鐵釘擊入 木板一厘米 如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等 問(wèn)鐵釘在第 次時(shí)將鐵釘擊入多少 n 解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇閯t由條件得 第一次錘擊時(shí)所作的功為 解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇閯t由條件得 第一次錘擊時(shí)所作的功為 f f xkx 11 1 00 2 k Wf x dxkxdx 設(shè)第 次錘擊時(shí)所作的功為此時(shí)深度為設(shè)第 次錘擊時(shí)所作的功為此時(shí)深度為n n W h 則 則 2 0 1 2 h n Wkxdxkh 由題意 每次錘擊時(shí)所作的功相等 即有由題意 每次錘擊時(shí)所作的功相等 即有 2 1 11 22 n WnWknkhhn 所以第 次錘擊時(shí)擊入的深度為所以第 次錘擊時(shí)擊入的深度為n1 n hnn 二 水壓力二 水壓力 d pg d 從物理學(xué)中知道 水深 處的壓強(qiáng)為其中 是水的比重 為重力 如果有一塊面積為 的平板水 平地置于深度為 處 則平板一側(cè)所受的水壓力為 如果平板并非水平地置于水中 我們來(lái)得到此時(shí)平板一 側(cè)所受到的水壓力 從物理學(xué)中知道 水深 處的壓強(qiáng)為其中 是水的比重 為重力 如果有一塊面積為 的平板水 平地置于深度為 處 則平板一側(cè)所受的水壓力為 如果平板并非水平地置于水中 我們來(lái)得到此時(shí)平板一 側(cè)所受到的水壓力 g A FpA d 例例5 某水庫(kù)的閘門(mén)形狀為等腰梯形 它的兩條底邊的長(zhǎng) 分別為和高為較長(zhǎng)的底邊與水平面相 齊 計(jì)算閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力 某水庫(kù)的閘門(mén)形狀為等腰梯形 它的兩條底邊的長(zhǎng) 分別為和高為較長(zhǎng)的底邊與水平面相 齊 計(jì)算閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力 10 6 mm20 m 20m 10m x o x xdx 6m 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為積分變量 變化范圍為 在中任取一個(gè)小區(qū)間 而閘門(mén)上對(duì)應(yīng)該小區(qū)間的窄 條各點(diǎn)處所受到的水的壓強(qiáng)近似等于 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為積分變量 變化范圍為 在中任取一個(gè)小區(qū)間 而閘門(mén)上對(duì)應(yīng)該小區(qū)間的窄 條各點(diǎn)處所受到的水的壓強(qiáng)近似等于 x 0 20 0 20 x xdx 2 xg kN m 窄條的寬度近似為因而這一窄條一側(cè)所受到的 水壓力近似為 窄條的寬度近似為因而這一窄條一側(cè)所受到的 水壓力近似為 10 5 x 10 5 x dFgxdx 于是所求的水壓力為于是所求的水壓力為 20 3 20 2 0 0 10514373 kN 515 xx Fgxdxgx 例例6 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶 桶內(nèi)盛有半桶水 設(shè) 桶的底面半徑為水的比重為求桶的一端面上的水 壓力 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶 桶內(nèi)盛有半桶水 設(shè) 桶的底面半徑為水的比重為求桶的一端面上的水 壓力 R x dxx o x 解建立坐標(biāo)系如圖 取為積分變量 在 區(qū)間中取小區(qū)間則在一個(gè)小矩形上 各點(diǎn)的壓強(qiáng)為常數(shù) 解建立坐標(biāo)系如圖 取為積分變量 在 區(qū)間中取小區(qū)間則在一個(gè)小矩形上 各點(diǎn)的壓強(qiáng)為常數(shù) x 0 xR x xdx px 0 R 22 2 dPx Rx dx 注意到小矩形的寬為則小矩形片所受到的 水壓力為 注意到小矩形的寬為則小矩形片所受到的 水壓力為 22 2 Rx 從而端面上所受到的水壓力為從而端面上所受到的水壓力為 22 0 2 R Px Rx dx 22223 0 2 3 R Rx d RxR 例例7 將直角邊分別為的直角三角形薄板垂直地浸 入水中 斜邊朝下 長(zhǎng)邊與水面平行 且到水面的距離 恰為該邊的邊長(zhǎng) 求薄板受到的水壓力 將直角邊分別為的直角三角形薄板垂直地浸 入水中 斜邊朝下 長(zhǎng)邊與水面平行 且到水面的距離 恰為該邊的邊長(zhǎng) 求薄板受到的水壓力 2aa a 2a 2a x 解建立坐標(biāo)系如圖 面積元為所受到的 水壓力 解建立坐標(biāo)系如圖 面積元為所受到的 水壓力 2 ax dx 22 dPaxaxdx 所以 相應(yīng)的水壓力為所以 相應(yīng)的水壓力為 3 0 7 22 3 a Paxaxdxa 三 引力三 引力 由物理學(xué)知道 質(zhì)量分別為相距為 的兩質(zhì)點(diǎn) 間的引力大小為 由物理學(xué)知道 質(zhì)量分別為相距為 的兩質(zhì)點(diǎn) 間的引力大小為 12 m mr 12 2 m m Fk r 其中 為引力系數(shù) 引力的方向沿這兩質(zhì)點(diǎn)的連線方 向 其中 為引力系數(shù) 引力的方向沿這兩質(zhì)點(diǎn)的連線方 向 k 例例8 有一長(zhǎng)度為 線密度為 的均勻細(xì)棒 在其中垂 線上距棒 單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)計(jì)算該棒對(duì) 質(zhì)點(diǎn)的引力 有一長(zhǎng)度為 線密度為 的均勻細(xì)棒 在其中垂 線上距棒 單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)計(jì)算該棒對(duì) 質(zhì)點(diǎn)的引力 l am M M 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為 積分變量 在區(qū)間 上 將小段近似看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)量為則引力為 解建立坐標(biāo)系如圖 取 為 積分變量 在區(qū)間 上 將小段近似看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)量為則引力為 y y ydy dy 22 Mdy Fk ay M a y ydy y x 2 l 2 l r 從而在水平方向的分力元素為從而在水平方向的分力元素為 3 2 22 x am dy dFk ay 于是得到引力在水平方向的分力為于是得到引力在水平方向的分力為 2 3 2 222 22 21 4 l x l kamkm l Fdy a alay 由對(duì)稱性 引力在鉛直方向分力由對(duì)稱性 引力在鉛直方向分力0 y F 例例9 設(shè)有一半徑為中心角為的圓弧型細(xì)棒 其線 密度為常數(shù)在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)試求 這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 設(shè)有一半徑