04 力學(xué)：第四章 功和能+質(zhì)點力學(xué)綜合·課堂練習(xí)及部分習(xí)題解答.pdf

Zhang Shihui第四章 功和能 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題3 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題4 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題5 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題2 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題4 練習(xí)冊 第4題 練習(xí)冊 第3題 Zhang Shihui學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 第四章 功和能第四章 功和能 典型例題第典型例題第2 3題題 題 題 倔強系數(shù)為倔強系數(shù)為k 原長為 原長為l的彈簧 一端固定在圓周上的的彈簧 一端固定在圓周上的A 點 圓周半徑為點 圓周半徑為l 彈簧的另一端從距 彈簧的另一端從距A點點2l的的B點沿圓周移 動 點沿圓周移 動1 4周長到周長到C點 求彈性力在此過程中所作的功 點 求彈性力在此過程中所作的功 C A 提示提示 機械能 機械能 2 211 22 22 Aklkl 2 3 2 kl B 題題 兩個自由質(zhì)點 其質(zhì)量分別為兩個自由質(zhì)點 其質(zhì)量分別為m1和和m2 它們之間的相互 作用符合萬有引力定律 開始時 兩質(zhì)點間的距離為 它們之間的相互 作用符合萬有引力定律 開始時 兩質(zhì)點間的距離為l 它 們都處于靜止?fàn)顟B(tài) 試求當(dāng)它們的距離變?yōu)?它 們都處于靜止?fàn)顟B(tài) 試求當(dāng)它們的距離變?yōu)閘 2時 兩質(zhì)點 的速度各為多少 時 兩質(zhì)點 的速度各為多少 解解 保守力做功等于相應(yīng)勢能增量的相反數(shù) 保守力做功等于相應(yīng)勢能增量的相反數(shù) 1 122 mvm v 22 1212 1 122 11 222 Gm mGm m mvm v ll 動量守恒動量守恒 Zhang Shihui學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 第四章 功和能第四章 功和能 典型例題第典型例題第4題題 題 題 光滑圓盤上有一質(zhì)量為光滑圓盤上有一質(zhì)量為m的物體的物體A 拴在一根穿過圓 盤中心光滑小孔的細繩上 如圖所示 開始時 該物體 距圓盤中心 拴在一根穿過圓 盤中心光滑小孔的細繩上 如圖所示 開始時 該物體 距圓盤中心O的距離為的距離為r0 并以角速度 并以角速度 0 0繞盤心繞盤心O作圓周 運動 現(xiàn)向下拉繩 當(dāng)質(zhì)點 作圓周 運動 現(xiàn)向下拉繩 當(dāng)質(zhì)點A的徑向距離由的徑向距離由r0 0減少到減少到r0 0 2 時 向下拉的速度為時 向下拉的速度為v 求下拉過程中拉力所作的功 求下拉過程中拉力所作的功 A r0 O v 0 解解 以 以O(shè)為參考點 拉力始終沿細繩 因 此 相對于 為參考點 拉力始終沿細繩 因 此 相對于O的力矩為的力矩為0 設(shè)半徑減小為 設(shè)半徑減小為 r0 2小球的切向速度小球的切向速度vt 根據(jù)角動量守恒 根據(jù)角動量守恒 0 0t mv rmv r 22 0 11 22 B Wmvmv 222 Bt vvv 222 00 31 22 mrmv 半徑為半徑為r0 2時小球的總速度時小球的總速度 Zhang Shihui學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 第四章 功和能第四章 功和能 典型例題第典型例題第5題 第題 第6題題 題 題 一質(zhì)點在如圖所示的坐標(biāo)平面內(nèi)作圓周運動 有一力 作用在質(zhì)點上 在該質(zhì)點從坐標(biāo)原點運動到 一質(zhì)點在如圖所示的坐標(biāo)平面內(nèi)作圓周運動 有一力 作用在質(zhì)點上 在該質(zhì)點從坐標(biāo)原點運動到 0 2R 位置過程中 力對它所作的功為多少 位置過程中 力對它所作的功為多少 0 j yi xFF 00 02 2 000 00 2 PP OO R AF dr F xdxiF ydy F xdxF ydyF R 解 解 Ox P y R 題 題 設(shè)兩粒子之間的相互作用力為排斥力 其變化規(guī)律為設(shè)兩粒子之間的相互作用力為排斥力 其變化規(guī)律為 f k r3 k為常數(shù) 若取無窮遠處為零勢能參考位置 試求 兩粒子相距為 為常數(shù) 若取無窮遠處為零勢能參考位置 試求 兩粒子相距為r時的勢能 時的勢能 解 解 既然求勢能 那提到的力就是保守力 保守力做功與 路徑無關(guān) 因此可以選沿 既然求勢能 那提到的力就是保守力 保守力做功與 路徑無關(guān) 因此可以選沿r的方向積分 以 處為零勢能點的方向積分 以 處為零勢能點 32 2 p rrr kk Ef drfdrdr rr r處勢能處勢能 Zhang Shihui練習(xí)冊練習(xí)冊 第四章 功和能第四章 功和能 第第3題題 題 題 質(zhì)量為質(zhì)量為m的輪船在水中行駛 停機時的速度大小為的輪船在水中行駛 停機時的速度大小為v0 水的阻力為 水的阻力為 kv k為常數(shù) 求停機后輪船滑行為常數(shù) 求停機后輪船滑行L距離的 過程中水的阻力作的功 距離的 過程中水的阻力作的功 dv Fmam dt 00 00 1 2 2 lL f kkL Akvdxkx v dxkLv mm 解 解 由牛頓第二定律 積分 水阻力作功 由牛頓第二定律 積分 水阻力作功 dv kvm dt dxdv km dtdt 0 0 xv v kdxmdv 0 k vxv m Zhang Shihui練習(xí)冊練習(xí)冊 第四章 功和能第四章 功和能 第第4題題 y 解 解 設(shè)繩長設(shè)繩長l 柱質(zhì)量 柱質(zhì)量m1 框質(zhì)量 框質(zhì)量 m2 建立圖示坐標(biāo) 建立圖示坐標(biāo)Oxy 柱和框在 柱和框在 O點速度均為零 點速度均為零 題 題 輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體 圓柱體又 套在可沿水平方向移動的框架內(nèi) 框架槽沿鉛直方向 框 架質(zhì)量為 的圓柱體 圓柱體又 套在可沿水平方向移動的框架內(nèi) 框架槽沿鉛直方向 框 架質(zhì)量為200g 自懸線靜止于鉛直位置開始 框架在水平 力 自懸線靜止于鉛直位置開始 框架在水平 力F 20 0N作用下移至圖中位置 求圓柱體的速度 線長作用下移至圖中位置 求圓柱體的速度 線長 20cm 不計摩擦 不計摩擦 l 1 v 30 30 x F 2 v O 1 m g 設(shè)柱在圖示位置的速度為設(shè)柱在圖示位置的速度為v1 方向 與線 方向 與線l垂直 框的速度為垂直 框的速度為v2 方向 水平向右 則由套接關(guān)系 方向 水平向右 則由套接關(guān)系 知知 211 cos30 x vvv Zhang Shihui練習(xí)冊練習(xí)冊 第四章 功和能第四章 功和能 第第4題題 柱柱m1與框與框m2構(gòu)成的質(zhì)點系在從豎直位置運動到圖示位置過 程中 構(gòu)成的質(zhì)點系在從豎直位置運動到圖示位置過 程中 只有重力只有重力W1和拉力和拉力F做功做功 根據(jù)質(zhì)點系的動能定理 根據(jù)質(zhì)點系的動能定理 22 1 1221 11 sin30 1 cos30 22 mvm vFlm gl l 1 v 30 30 x F 2 v O 1 m g 將 式代入 式 可得 將 式代入 式 可得 222 1 12 11 11 cos 30sin30 1 cos30 22 mvm vFlm gl 2 1 1 12 sin30 1 cos30 13 28 Flm gl v mm 2 4m sv Zhang Shihui質(zhì)點力學(xué)綜合 例例例例1 1 1 1 彈簧勁度系數(shù)為彈簧勁度系數(shù)為k 質(zhì)量忽略質(zhì)量忽略 豎直放置 下端懸一質(zhì)量為 豎直放置 下端懸一質(zhì)量為m的小球 開始使彈簧為原 長而小球恰好與地接觸 今將彈簧上端緩慢 提起 直到小球剛能脫離地面為止 在此過 程中外力作功為 的小球 開始使彈簧為原 長而小球恰好與地接觸 今將彈簧上端緩慢 提起 直到小球剛能脫離地面為止 在此過 程中外力作功為 F 22 2m gk 例例例例2 2 2 2 半徑為半徑為R的半球形容器中 質(zhì)量為的半球形容器中 質(zhì)量為m的 質(zhì)點自邊緣上的 的 質(zhì)點自邊緣上的A點由靜止下滑 到達最 低點 點由靜止下滑 到達最 低點B時對容器的正壓力大小為時對容器的正壓力大小為 N 在由 在由A 滑到滑到B的過程中 摩擦力對質(zhì)點做的功的過程中 摩擦力對質(zhì)點做的功 R O A B 2 2 21 11 3 22 f mv WEEmvmgRNmgR Nmg R 提示 提示 提示 提示 Zhang Shihui學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 質(zhì)點力學(xué)綜合質(zhì)點力學(xué)綜合 第第15題題 題 題 兩個質(zhì)量分別為兩個質(zhì)量分別為m1和和m2的木塊的木塊A和和B 用一個質(zhì)量忽略 不計 勁度系數(shù)為 用一個質(zhì)量忽略 不計 勁度系數(shù)為k的彈簧聯(lián)接起來 放置在光滑水平面 上 使 的彈簧聯(lián)接起來 放置在光滑水平面 上 使A緊靠墻壁 用力推木塊緊靠墻壁 用力推木塊B使彈簧壓縮使彈簧壓縮x0 然后釋 放 已知 然后釋 放 已知m1 m m2 3m 求 1 釋放后 求 1 釋放后 A B速度相等 時 瞬時速度的大小 2 釋放后 彈簧的最大伸長量 速度相等 時 瞬時速度的大小 2 釋放后 彈簧的最大伸長量 解解 設(shè)彈簧恢復(fù)原長時設(shè)彈簧恢復(fù)原長時B物體的 速度為 物體的 速度為v0 根據(jù)機械能守恒 根據(jù)機械能守恒 AB k 1 m 2 m 22 020 11 22 kxm v 00 3m vx k 2012 m vmm v 速度相等時 據(jù)動量守恒 速度相等時 據(jù)動量守恒 00 333 44 m vvx k 速度相等時 伸長量最大 速度相等時 伸長量最大 222 2012maxmax0 1111 2222 m vmm vkxxx Zhang Shihui學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 質(zhì)點力學(xué)綜合質(zhì)點力學(xué)綜合 第第17題題 題 題 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的粒子的粒子A受到另一重粒子受到另一重粒子B的萬有引力作用 的萬有引力作用 B保持在原點不動 起初 當(dāng)保持在原點不動 起初 當(dāng)A離離B很遠很遠 r 時 時 A具有速 度 方向沿圖中所示直線 具有速 度 方向沿圖中所示直線Aa B與這直線的垂直距離為與這直線的垂直距離為 D 粒子 粒子A由于粒子由于粒子B的作用而偏離原來的路線 沿著圖中 所示的軌道運動 已知這軌道與 的作用而偏離原來的路線 沿著圖中 所示的軌道運動 已知這軌道與B之間的最短距離為之間的最短距離為d 求 求 B的質(zhì)量的質(zhì)量mB A B a d D v 0 v 解 解 設(shè)粒子設(shè)粒子A到達距到達距B最短距 離為 最短距 離為d時的速度為時的速度為v A對對B所 在點的角動量守恒 有 所 在點的角動量守恒 有 0AA Dm vm vd A B系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒 A在很遠處時 引力勢能為零在很遠處時 引力勢能為零 22 0 11 22 AB AA Gm m m vm v d 22 2 0 2 B Dd mv Gd 聯(lián)立聯(lián)立 Zhang Shihui 例例例例3 3 3 3 在光滑的水平面上 平放有一固定半圓形屏障 質(zhì)量為 在光滑的水平面上 平放有一固定半圓形屏障 質(zhì)量為m滑塊以初速度沿切線方向進入屏障內(nèi) 滑 塊與屏障間的摩擦系數(shù)為 求滑塊從屏障另一端滑 出后摩擦力所作的功 滑塊以初速度沿切線方向進入屏障內(nèi) 滑 塊與屏障間的摩擦系數(shù)為 求滑塊從屏障另一端滑 出后摩擦力所作的功 0 解 解 解 解 分析滑塊的受力 如圖所示 采用自然坐標(biāo)系 列寫方程 法向 切向 分析滑塊的受力 如圖所示 采用自然坐標(biāo)系 列寫方程 法向 切向 1 2 n R mmaN 2 d d t mmaN 0 R n fN N 1 代入代入 2 式得 式得 Rt 2 d d 學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 質(zhì)點力學(xué)綜合質(zhì)點力學(xué)綜合 第第18題題 Zhang Shihui 12 St S Std d d d d d d d 代入上式得代入上式得S R d d 兩邊積分兩邊積分 R S R 0 d d 0 0 R R R 0 ln e 0 1 代入代入 2 式得式得 Rt 2 d d n fN N 2 0 1 1 2 KBKA AEEme 學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 質(zhì)點力學(xué)綜合質(zhì)點力學(xué)綜合 第第18題題 Zhang Shihui 題 題 光滑水平面上水平固定一半徑為光滑水平面上水平固定一半徑為R圓 環(huán) 物體與環(huán)內(nèi)側(cè)的摩擦系數(shù)為 圓 環(huán) 物體與環(huán)內(nèi)側(cè)的摩擦系數(shù)為 k t 0 時 物體的速率為時 物體的速率為v0 求 求 1 t 時刻物體 的速率 時刻物體 的速率 2 在時間 在時間t內(nèi)物體經(jīng)過的路程 內(nèi)物體經(jīng)過的路程 R v0 解 解 物體做圓周運動物體做圓周運動 R v mNF n 2 2 k vdv Rdt 0 2 0 tv k v dv dt Rv 0 0k v R v Rvt ds v dt 0 00 0 st k v R dsdt Rvt 0 ln 1 k k vtR s R tk dv FNm dt 又又 練習(xí)冊練習(xí)冊 質(zhì)點力學(xué)綜合質(zhì)點力學(xué)綜合 第第1題題 Zhang Shihui 子彈射入過程 斜面對木塊支持力不可忽略 而內(nèi)力子彈射入過程 斜面對木塊支持力不可忽略 而內(nèi)力 重力 子彈重力 子彈 木塊系統(tǒng)在平行斜面方向動量近似守恒木塊系統(tǒng)在平行斜面方向動量近似守恒 題 題 質(zhì)量為質(zhì)量為M的木塊在光滑的固定斜面上 由的木塊在光滑的固定斜面上 由A點從靜止開 始下滑 當(dāng)經(jīng)過路程 點從靜止開 始下滑 當(dāng)經(jīng)過路程l運動到運