圓周運(yùn)動(dòng)輔導(dǎo)班講義.doc

圓周運(yùn)動(dòng)1、定義：物體運(yùn)動(dòng)軌跡為圓稱(chēng)物體做圓周運(yùn)動(dòng)。2、分類(lèi)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，如果在任意相等的時(shí)間里通過(guò)的圓弧長(zhǎng)度相等，這種運(yùn)動(dòng)就叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。物體在大小恒定而方向總跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲線運(yùn)動(dòng)。注意：這里的合力可以是萬(wàn)有引力衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)、庫(kù)侖力電子繞核旋轉(zhuǎn)、洛侖茲力帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)、彈力繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉(zhuǎn)、重力與彈力的合力錐擺、靜摩擦力水平轉(zhuǎn)盤(pán)上的物體等 變速圓周運(yùn)動(dòng)：如果物體受到約束，只能沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，而速率不斷變化如小球被繩或桿約束著在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，是變速率圓周運(yùn)動(dòng)合力的方向并不總跟速度方向垂直3、描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量（1）軌道半徑（r）：對(duì)于一般曲線運(yùn)動(dòng)，可以理解為曲率半徑。（2）線速度（v）：定義：質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的弧長(zhǎng)S和所用時(shí)間t的比值，叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度。定義式：線速度是矢量：質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)某點(diǎn)線速度的方向就在圓周該點(diǎn)切線方向上，實(shí)際上，線速度是速度在曲線運(yùn)動(dòng)中的另一稱(chēng)謂，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又稱(chēng)為圓頻率）：定義：質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)和圓心的連線轉(zhuǎn)過(guò)的角度跟所用時(shí)間的比值叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。大?。?(是t時(shí)間內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角)單位：弧度每秒（rad/s）（4）周期（T）：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期。（5）頻率（f，或轉(zhuǎn)速n）：物體在單位時(shí)間內(nèi)完成的圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。各物理量之間的關(guān)系：計(jì)算時(shí)，采用國(guó)際單位制，角度的單位采用弧度制。（6）圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所具有的指向圓心的加速度叫向心加速度。大小：（還有其它的表示形式，如：）方向：其方向時(shí)刻改變且時(shí)刻指向圓心。對(duì)于一般的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，公式仍然適用，為物體的加速度的法向加速度分量，r為曲率半徑；物體的另一加速度分量為切向加速度，表征速度大小改變的快慢（對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)而言，=0）（7）圓周運(yùn)動(dòng)的向心力向心力的大小為：）；向心力的方向時(shí)刻改變且時(shí)刻指向圓心。(8)離心運(yùn)動(dòng)當(dāng)物體受到的合外力時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)物體受到的合外力時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)當(dāng)物體受到的合外力時(shí)，物體做近心運(yùn)動(dòng)幾種常見(jiàn)的圓周傳動(dòng)裝置及其特點(diǎn)裝置特點(diǎn)同軸傳動(dòng)1.角速度相同，即AB2.周期相同，即TATB3.線速度與半徑成正比，即皮帶傳動(dòng)1.線速度大小相等，即vAvB2.周期與半徑成正比，即3.角速度與半徑成反比，即齒輪傳動(dòng)1.線速度大小相等，即vAvB2.周期與半徑成正比，即3.角速度與半徑成反比，即1、皮帶傳動(dòng)問(wèn)題如圖所示，為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑，則（ ）A. a點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等B. a點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等C. a點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等D. a點(diǎn)與d點(diǎn)的向心加速度大小相等解析：皮帶不打滑，故a、c兩點(diǎn)線速度相等，選C；c點(diǎn)、b點(diǎn)在同一輪軸上角速度相等，半徑不同，由 ，b點(diǎn)與c點(diǎn)線速度不相等，故a與b線速度不等，A錯(cuò)；同樣可判定a與c角速度不同，即a與b角速度不同，B錯(cuò)；設(shè)a點(diǎn)的線速度為 ，則a點(diǎn)向心加速度 ，由 ， ，所以 ，故 ，D正確。本題正確答案C、D。點(diǎn)評(píng)：處理皮帶問(wèn)題的要點(diǎn)為：皮帶（鏈條）上各點(diǎn)以及兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度大小相等，同一輪上各點(diǎn)的角速度相同。2、 水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)：物體在轉(zhuǎn)盤(pán)上隨轉(zhuǎn)盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體與轉(zhuǎn)盤(pán)間分無(wú)繩和有繩兩種情況。無(wú)繩時(shí)由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤(pán)上放有質(zhì)量為m的物體，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力是其正壓力的 倍。求：（1）當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度 時(shí)，細(xì)繩的拉力 。（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度 時(shí)，細(xì)繩的拉力 。解析：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中物體與盤(pán)間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，則 ，解得 （1）因?yàn)?，所以物體所需向心力小于物與盤(pán)間的最大摩擦力，則物與盤(pán)產(chǎn)生的摩擦力還未達(dá)到最大靜摩擦力，細(xì)繩的拉力仍為0，即 。（2）因?yàn)?，所以物體所需向心力大于物與盤(pán)間的最大靜摩擦力，則細(xì)繩將對(duì)物體施加拉力 ，由牛頓第二定律得 ，解得 。圓錐擺：圓錐擺是運(yùn)動(dòng)軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。其特點(diǎn)是由物體所受的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也可以說(shuō)是其中彈力的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。3、 豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)處的受力特點(diǎn)及題型分類(lèi)。（1）彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有 ，即 ，否則不能通過(guò)最高點(diǎn)；（2）彈力只可能向上，如車(chē)過(guò)橋。在這種情況下有 ， ，否則車(chē)將離開(kāi)橋面，做平拋運(yùn)動(dòng)；（3）彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論：a. 當(dāng) 時(shí)物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng) 時(shí)物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng) 時(shí)物體受到的彈力恰好為零。b. 當(dāng)彈力大小 時(shí)，向心力有兩解 ；當(dāng)彈力大小 時(shí)，向心力只有一解 ；當(dāng)彈力 時(shí)，向心力等于零，這也是物體恰能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件。如圖所示，桿長(zhǎng)為 ，球的質(zhì)量為 ，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，已知在最高點(diǎn)處，桿對(duì)球的彈力大小為 ，求這時(shí)小球的瞬時(shí)速度大小。解析：小球所需向心力向下，本題中 ，所以彈力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，則 ， ；（2）若F向下，則 ， 例：一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球A、B，質(zhì)量分別為 、 ，沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度都是 ，當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好到最高點(diǎn)，若要此時(shí)作用于細(xì)管的合力為零，那么 、 、R和 應(yīng)滿足的關(guān)系是 。解析：由題意分別對(duì)A、B小球和圓環(huán)進(jìn)行受力分析如圖所示。對(duì)于A球有 對(duì)于B球有 根據(jù)機(jī)械能守恒定律 由環(huán)的平衡條件 而 ， 由以上各式解得 例：如圖所示，一根輕質(zhì)細(xì)桿的兩端分別固定著A、B兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，O點(diǎn)是一光滑水平軸，已知 ， ，使細(xì)桿從水平位置由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B球轉(zhuǎn)到O點(diǎn)正下方時(shí)，它對(duì)細(xì)桿的拉力大小是多少？解析：對(duì)A、B兩球組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得 因A、B兩球用輕桿相連，故兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，即 設(shè)B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)桿對(duì)小球的拉力為 ，由牛頓第二定律得 解以上各式得 ，由牛頓第三定律知，B球?qū)?xì)桿的拉力大小等于 ，方向豎直向下。4、圓周運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題例：如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為 的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤(pán)上，細(xì)繩另一端通過(guò)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為 的小球B，A的重心到O點(diǎn)的距離為 。若A與轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力為 ，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤(pán)繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度 的取值范圍。（取 ）解析：要使B靜止，A必須相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)靜止具有與轉(zhuǎn)盤(pán)相同的角速度。A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時(shí)，A有離心趨勢(shì)，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時(shí)，A有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，靜摩擦力背離圓心O。對(duì)于B： 對(duì)于A： ， 聯(lián)立解得 ， BAm所以 例：如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的AB兩處，上面繩長(zhǎng)l=2m，兩繩拉直時(shí)與軸的夾角分別為30和45，問(wèn)球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩始終有張力?解析設(shè)兩細(xì)線都拉直時(shí)，A、B繩的拉力分別為、，小球的質(zhì)量為m，A線與豎直方向的夾角為，B線與豎直方向的夾角為，受力分析，由牛頓第二定律得：當(dāng)B線中恰無(wú)拉力時(shí)， 由、解得rad/s 當(dāng)A線中恰無(wú)拉力時(shí)， （3分） 由、解得rad/s所以，兩繩始終有張力，角速度的范圍是rad/s rad/s例：如圖，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距 ，長(zhǎng) 的柔軟細(xì)線一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為500g的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在A、B上，若細(xì)線能承受的最大拉力 ，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂的時(shí)間為多少？解析：小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小不變。小球交替地繞A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減小，線中拉力 不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間t不斷減小。在第一個(gè)半圓內(nèi) ， 在第二個(gè)半圓內(nèi) ， 在第三個(gè)半圓內(nèi) ， 在第n個(gè)半圓內(nèi) ， 令 ，得 ，即在第8個(gè)半圓內(nèi)線還未斷，n取8，經(jīng)歷的時(shí)間為萬(wàn)有引力定律一.開(kāi)普勒三定律以及三定律出現(xiàn)的過(guò)程：（1）所有的行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。（2）任何一個(gè)行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。（3）所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。即R3 T2=k二.牛頓的萬(wàn)有引力定律1.內(nèi)容：自然界任何兩個(gè)物體之間都存在著相互作用的引力，兩物體間的引力的大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比.表達(dá)式：F其中G，叫萬(wàn)有引力常量，卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室用扭秤裝置，測(cè)出了引力常量.2.適用條件：公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn). 均勻球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r為兩球心間的距離.3.萬(wàn)有引力遵守牛頓第三定律，即它們之間的引力總是大小相等、方向相反.三.用開(kāi)普勒第三定律、向心力、牛頓第三定律推導(dǎo)牛頓的萬(wàn)有引力定律:四、用萬(wàn)有引力定律分析天體的運(yùn)動(dòng)1.基本方法：把天體運(yùn)動(dòng)近似看作圓周運(yùn)動(dòng)，它所需要的向心力由萬(wàn)有引力提供，即 2.估算天體的質(zhì)量和密度 “T 、 r”法由G得：即只要測(cè)出環(huán)繞星體M運(yùn)轉(zhuǎn)的一顆衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)的半徑和周期，就可以計(jì)算出中心天體的質(zhì)量.由，得：R為中心天體的星體半徑當(dāng)時(shí)，即衛(wèi)星繞天體M表面運(yùn)行時(shí)，由此可以測(cè)量天體的密度.“g、R”法 3.衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系(1)由得: 即軌道半徑越大，繞行速度越小(2)由得： 即軌道半徑越大，繞行角度越小(3)由G得： 即軌道半徑越大，繞行周期越大.4.三種宇宙速度 (1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：vm/s是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，最大繞行速度.“飄”起來(lái)的速度(2)第二宇宙速度(脫離速度)：vkm/s是物體掙脫地球的引力束縛需要的最小發(fā)射速度.(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：vkm/s是物體掙脫太陽(yáng)的引力束縛需要的最小發(fā)射速度.5.地球同步衛(wèi)星所謂地球同步衛(wèi)星是指相對(duì)于地面靜止的人造衛(wèi)星，它的周期T24h要使衛(wèi)星同步，同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方某一確定高度h（高度、運(yùn)行方向、加速度、角速度、線速度大小相同，質(zhì)量不同）由（）得：=表示地球半徑六、萬(wàn)有引力復(fù)習(xí)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題1、不同公式和問(wèn)題中的r，含義不同萬(wàn)有引力定律公式中的r指的是兩個(gè)物體間的距離，對(duì)于相距很遠(yuǎn)因而可以看做質(zhì)點(diǎn)的物體，指的是兩個(gè)球心的距離。而向心力公式中的r，對(duì)于橢圓軌道指的是曲率半徑，對(duì)于圓軌道指的是圓半徑。開(kāi)普勒第三定律中的r指的是橢圓軌道的半長(zhǎng)軸。因此，同一個(gè)r在不同公式中所具有的含義不同。2、萬(wàn)有引力、向心力和重力對(duì)于赤道上的某一個(gè)物體 ，有 當(dāng)速度增加時(shí)，重力減小，向心力增加，當(dāng)速度（即第一宇宙速度）時(shí)，mg = 0，物體將“飄”起來(lái)，星球處于瓦解的臨界狀態(tài)。天體表面重力加速度的計(jì)算例：一物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在航天飛機(jī)中，當(dāng)航天飛機(jī)以a=g/2的加速度隨火箭向上加速升高的過(guò)程中，某時(shí)刻測(cè)得物體與航天飛機(jī)中的支持物的相互擠壓力為120N，求此時(shí)航天飛機(jī)距地面的高度（地球半徑取6.4106m,g取10m/s2） 天體質(zhì)量和密度的計(jì)算例：宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。若拋出時(shí)初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。解析：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h,第一次平拋的水平射程為x,則有 x2+h2=L2 由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得知，當(dāng)初速度增大到2倍時(shí)，其水平射程也增大到2x,可得 （2x）2+h2=(L)2 設(shè)該星球上的重力加速度為g，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得： h=gt2 由萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律得： mg= G 聯(lián)立以上各式解得M=。例：中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)=s。問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G=6.6710m/kg.s)解析：設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬(wàn)有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時(shí)，中子星才不會(huì)瓦解。設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M ，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m，則有 由以上各式得，代入數(shù)據(jù)解得：。黃金代換公式的應(yīng)用2005年我國(guó)成功發(fā)射并回收了“神州”六號(hào)載人飛船。設(shè)飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若飛船經(jīng)歷時(shí)間t繞地球運(yùn)行n圈，則飛船離地面的高度為（已知地球半徑為R，地面的重力加速度為g）（ ）A. B. C. D. 雙星問(wèn)題例1兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)周期為T(mén)，求兩星的總質(zhì)量 解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1 M2，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T(mén)的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為l1 12由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得 l1 +12=R 聯(lián)立解得說(shuō)明：雙星是一個(gè)整體，圍繞著它們的質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，所以角速度相同，兩星之間由萬(wàn)有引力相維系，它們到質(zhì)心的距離與它們的質(zhì)量成反比黑洞問(wèn)題例：神奇的黑洞是近代引力理論預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖56所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率V和運(yùn)行周期T0A圖56BO（1）可見(jiàn)星A所受暗星的B引力FA等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m/的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力。設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m/（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率V、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式；（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大小太陽(yáng)質(zhì)量m0的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見(jiàn)星的速率2.7105m/s，運(yùn)行周期T=4.7104s，質(zhì)量m1=6 m0，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G6.6710-11N.m2/kg2, m0=2.01030kg)解析：（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)為，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有設(shè)A、B之間的距離為r，又r= r1+r2，由上述各式得 由萬(wàn)有引力定律有將式代入得令（1） 由牛頓第二定律有又可見(jiàn)星A的軌道半徑由解得（3）將m1=6 m0代入式得代入數(shù)據(jù)得 設(shè)m2=n m0（n0），將其代入式，得 可見(jiàn)的值隨n的增大而增大，試令n=2，得若使式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m2必而在于2倍的m0，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。衛(wèi)星變軌問(wèn)題例：2006年9月3日歐洲航天局的第一枚月球探測(cè)器“智能1號(hào)”成功撞上月球。已知“智能1號(hào)”月球探測(cè)器環(huán)繞月球沿