02邊坡處治基本理論及穩(wěn)定性分析.doc

第2章 邊坡處治基本理論及穩(wěn)定性分析2.1概述 邊坡處治，首先要進(jìn)行穩(wěn)定性分析。邊坡穩(wěn)定分析的方法很多，目前在工程中廣為應(yīng)用的是傳統(tǒng)的極限平衡理論。近幾年，基于不同的力學(xué)模型而建立起來(lái)的各種數(shù)值分析計(jì)算方法也越來(lái)越受到工程界的重視。 一般來(lái)說(shuō)，不同的邊坡類型，不同的分析目的以及可獲得的基本資料情況，應(yīng)采用與之相適應(yīng)的計(jì)算理論和穩(wěn)定分析方法。2.1.1邊坡穩(wěn)定性概念 邊坡一般是指具有傾斜坡面的土體或巖體，由于坡表面傾斜，在坡體本身重力及其他外力作用下，整個(gè)坡體有從高處向低處滑動(dòng)的趨勢(shì)，同時(shí)，由于坡體土(巖)自身具有一定的強(qiáng)度和人為的工程措施，它會(huì)產(chǎn)生阻止坡體下滑的抵抗力。一般來(lái)說(shuō)，如果邊坡土(巖)體內(nèi)部某一個(gè)面上的滑動(dòng)力超過(guò)了土(巖)體抵抗滑動(dòng)的能力，邊坡將產(chǎn)生滑動(dòng)，即失去穩(wěn)定；如果滑動(dòng)力小于抵抗力，則認(rèn)為邊坡是穩(wěn)定的。 在工程設(shè)計(jì)中，判斷邊坡穩(wěn)定性的大小習(xí)慣上采用邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)來(lái)衡量。l955年，畢肖普(A.W.Bishop)明確了土坡穩(wěn)定安全系數(shù)的定義：(2.1)式中：沿整個(gè)滑裂面上的平均抗剪強(qiáng)度；r沿整個(gè)滑裂面上的平均剪應(yīng)力；邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)。按照上述邊坡穩(wěn)定性概念，顯然，1，土坡穩(wěn)定；5時(shí)，就會(huì)使求出的Fs值產(chǎn)生較大誤差，此時(shí)應(yīng)考慮Xi的影響或采用別的計(jì)算方法。 (2)由于畢肖普法計(jì)入了土條間作用力的影響，多數(shù)情況下求得的Fs值較瑞典法為大，一般來(lái)說(shuō)，瑞典法簡(jiǎn)單，但偏于安全；畢肖普法較接近實(shí)際，求得的Fs值較高，似可節(jié)省工程造價(jià)。兩種方法的設(shè)計(jì)計(jì)算國(guó)內(nèi)外都積累了大量經(jīng)驗(yàn)，在設(shè)計(jì)準(zhǔn)則及安全系數(shù)的確定上兩者是有差別的，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意計(jì)算方法和相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的一致，更不可張冠李戴。2.4 Janbu條分法2.4.1基本假定簡(jiǎn)布(Janbu)法又稱普遍條分法，它適用于任意形狀的滑裂面。如圖2.7所示土坡滑動(dòng)的一般情況，坡面是任意的，坡面上作用有各種荷載，在坡體的兩側(cè)作用有側(cè)向推力Ea和Eb，剪力Ta和Tb，滑裂面也是任意的。土條間作用力的合力作用點(diǎn)連線稱為推力線。在土坡斷面中任取一土條，其上作用有集中荷載P，Q及均布荷載q，Wr為土條自重力，土條兩側(cè)作用有土條條間力E、T及E+E，T+T，滑裂面上的作用力S和N。如圖2.8所示。為了求出一般情況下土坡穩(wěn)定安全系數(shù)以及滑裂面上的應(yīng)力分布，簡(jiǎn)布做了如下假定： (1)假定邊坡穩(wěn)定為平面應(yīng)變問(wèn)題。 (2)假定整個(gè)滑裂面上的穩(wěn)定安全系數(shù)是一樣的，可用式(2.1)表達(dá)。 (3)假定土條上所有垂直荷載的合力W：Wr+qx+P，其作用線和滑裂面的交點(diǎn)與N的作用點(diǎn)為同一點(diǎn)。(4)假定已知推力線的位置，即簡(jiǎn)單地假定土條側(cè)面推力成直線分布，如果坡面有超載，側(cè)自推力成梯形分布，推力線應(yīng)通過(guò)梯形的形心；如果無(wú)超載，推力線應(yīng)選在土條下三分點(diǎn)附近，對(duì)非粘性土(c=0)可在三分點(diǎn)處，對(duì)粘性土(c0)，可選在三分點(diǎn)以上(被動(dòng)情況)或選在三分點(diǎn)以下(主動(dòng)情況)。2.4.2計(jì)算公式根據(jù)以上假定和圖2.8，單位土條上作用的總垂直荷載為（2.17）式中：土的容重； z土條高度； q土條頂部的均布荷載；其余符號(hào)見前述。根據(jù)力及力矩平衡條件，對(duì)每一土條，有（2.18）（2.19）（2.20）（2.21）式中：u滑裂面上的孔隙壓力；t中間變量，其余符號(hào)意義見前述及圖2.8所示。對(duì)整個(gè)邊坡滑動(dòng)土體，總水平力平衡，有將其代入式(2.20)，有將式(2.18)代入上式，有（2.23）（2.24）式(2.23)兩邊均含有Fs項(xiàng)，須用迭代法計(jì)算。由式(2.24)得（2.25）令（2.26）（2.27）將式(2.25)代入式(2.26)，并令（2.28）（2.29）則得到（2.30）可將表達(dá)式制成的關(guān)系曲線備用，將上述各中1剮參數(shù)M、N及代入式(2.23)，有（2.31）滑裂面上的剪應(yīng)力r由下式求出正應(yīng)力盯由下式求出在上列各式中，T及t=T/x均為未知。將式(2.26)和式(2.27)代入式(2.20)，得（2.33）每一土條側(cè)向水平力可由A點(diǎn)開始(見圖2.7)，從上往下逐條推求，即（2.34）求出E以后，T即可由式(2.21)求得，當(dāng)土條兩側(cè)的T均已知時(shí)，該土條的T及t也就容易求出。但因?yàn)榍驧、N的計(jì)算式中均含有t項(xiàng)，所以t無(wú)法直接解出，也必須采用迭代法來(lái)計(jì)算。2.4.3計(jì)算步驟 簡(jiǎn)布法的具體計(jì)算步驟如下： (1)假定滑裂面(可根據(jù)邊坡的具體情況和類似工程計(jì)算經(jīng)驗(yàn)確定)，劃分土條，求出各土條的tg、x、P、u、c、及Q。 (2)假定t0=0，有 (3)先假定=1,則M0=M0，。 (4)由選取，(一般)，求出，再求出。 (5)再由M0,N0求出。若求出的與相比誤差小于5，可選用，否則重新選取，再計(jì)算，直至滿足要求為止。 (6)當(dāng)t=0時(shí)，計(jì)算E0=N0-M0Fs0。 (7)求出各土條分界面的E0，從坡頂逐條往下推算，E0=Ea+E0，直到最后滿足條件Ea-Eb=E0。 (8)根據(jù)推力線位置(按前述第(4)條假定給出)求出tgat、ht，由集中水平荷載的位置求出ZQ。(9)計(jì)算 (10)求各土條分界面上第一個(gè)近似的T值 (11)求每一土條的T值和t值 (12)求出M、N的第l次近似值 (13)由假定，求出各土條的，并求得，若與相比誤差小于5，可選用，否則重新假定，再進(jìn)行計(jì)算。 (14)重復(fù)進(jìn)行(6)(13)步，從E1=N1-M1Fs1開始，直到算出安全系數(shù)的第二次近似值Fs2，將如與Fs1比較，若滿足精度要求，則迭代計(jì)算結(jié)束，并取Fs=Fs2，否則再重復(fù)(6)(13)步的計(jì)算。 (15)當(dāng)Fs確定后，再算出各土條滑裂面上的應(yīng)力i和i 通過(guò)上述計(jì)算，已獲得沿滑裂面上的平均安全系數(shù)Fs，所有土條分界面上的作用力Ei及Ti，每一土條底面的平均應(yīng)力i和i。 (16)校核各土條分界面上抵抗剪切的安全系數(shù)Fv。 假定土條界面上的水平向(法向)應(yīng)力h和垂直向(切向)應(yīng)力v均沿界面上呈直線分布，則有hi=EiZi，vi-TiZi，Zi為土條分界面長(zhǎng)度(高度)。若分界面上的總孔隙水壓力為Uhi(方向水平)，平均孔隙應(yīng)力Uhi=UhiZi，則（2.35）式中：分界面上的平均強(qiáng)度指標(biāo)。 一般來(lái)說(shuō)，F(xiàn)VFs，若FVFs，則說(shuō)明該土條界面上的FV已小于整體的Fs，應(yīng)調(diào)整推力作用線，使該界面上的V值落入容許范圍內(nèi)，調(diào)整推力線后，應(yīng)再作一次計(jì)算。 (17)整理計(jì)算結(jié)果。 Janbu法通常用來(lái)校核一些形狀比較特殊的滑裂面，一般不必假定很多滑裂面來(lái)計(jì)算，上述的迭代計(jì)算雖比較復(fù)雜和煩瑣，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般34輪迭代計(jì)算即可滿足要求。2.4.4王復(fù)來(lái)改進(jìn)條分法 根據(jù)土壓力的特點(diǎn)，如果假定土條的水平土壓力呈三角形分布，則其合力作用點(diǎn)在界面高度的下三分點(diǎn)處，這就是王復(fù)來(lái)的改進(jìn)條分法。任取一土條進(jìn)行分析，根據(jù)力的平衡條件導(dǎo)出基本方程組：（2.38）（2.39）對(duì)上述基本方程進(jìn)行整理代換后有（2.40）當(dāng)土條寬度足夠小時(shí)，認(rèn)為xi、Ti、Ei均趨于零，再忽略二次微量，則有（2.41）將式(2.41)代入式(2.40)，整理后有（2.42）安全系數(shù)公式同式(2.23)。如果土坡兩端無(wú)外力，即Ea、Eb、Ta、Tb均為零，土坡共劃分為n個(gè)土條，則有： （2.43）計(jì)算時(shí)仍采用試算法或迭代法。迭代法步驟要比Janbu法簡(jiǎn)單一些。先假設(shè)Fs0，根據(jù)邊界條件E1=0，Tl=0，由式(2.42)、式(2.41)從下往上逐條推求側(cè)向推力直至n-1號(hào)土條，分別求出E2，T2，E3，T3，En，Tn；再根據(jù)Tn+1=0的條件，算出各土條的Tl，T2，Tm。，用假設(shè)的Fs0及Tl，T2，TN代入式(2.43)算得Fs的第一次近似值Fs1比較Fs1和Fs0，看是否滿足精度要求。如不滿足，則以Fs1當(dāng)作Fs0，重復(fù)上述步驟的計(jì)算，直到前后兩次的Fs值滿足精度要求時(shí)為止。 2.5不平衡推力傳遞系數(shù)法在滑體中取第i塊土條，如圖2.9所示，假定第i-1塊土條傳來(lái)的推力Pi-1的方向平于第I-1塊土條的底滑面，而第i塊土條傳送給第i+1塊土條的推力Pi平行于第i塊土條的底滑面。即是說(shuō)，假定每一分界上推力的方向平行于上一土條的底滑面，第i塊土條承受的各種作用力示于圖2.9中。將各作用力投影到底滑面上，其平衡方程如下：(2.44)式中： (2.45)式(2.44)中第1項(xiàng)表示本土條的下滑力，第2項(xiàng)表示土條的抗滑力，第3項(xiàng)表示上一土條傳下來(lái)的不平衡下滑力的影響，稱為傳遞系數(shù)。在進(jìn)行計(jì)算分析時(shí)，需利用式(2.44)進(jìn)行試算。即假定一個(gè)Fs值，從邊坡頂部第1塊土條算起求出它的不平衡下滑力P1(求P1時(shí)，式中右端第3項(xiàng)為零)，即為第l和第2塊土條之間的推力。再計(jì)算第2塊土條在原有荷載和P1作用下的不平衡下滑力P2，作為第2塊土條與第3塊土條之間的推力。依此計(jì)算到第n塊(最后一塊)，如果該塊土條在原有荷載及推力Pn-1作用下，求得的推力Pn剛好為零，則所設(shè)的Fs即為所求的安全系數(shù)。如Pn不為零，則重新設(shè)定Fs值，按上述步驟重新計(jì)算，直到滿足Pn=0的條件為止。一般可取3個(gè)Fs同時(shí)試算，求出對(duì)應(yīng)的3個(gè)Pn值，作出PnFs曲線，從曲線上找出Pn=0時(shí)的Fs值，該Fs值即為所求。為了使計(jì)算工作更加簡(jiǎn)化，在工程單位常采用快捷的簡(jiǎn)化方法：即對(duì)每一塊土條用下式計(jì)算不平衡下滑力：不平衡下滑力=下滑力Fs-抗滑力由此，式(2.44)可改寫為：(2.46)上式中，傳遞系數(shù)改用下式計(jì)算(2.47) 求解Fs的條件仍是Pn=0。由此可得出一個(gè)含F(xiàn)s的一次方程，故可以直接算出Fs而不用試算。所得結(jié)果與前述復(fù)雜的試算方法有時(shí)相差不大，但計(jì)算卻大為簡(jiǎn)化了。 如果采用總應(yīng)力法，式(2.46)中可略去Uili項(xiàng)，c、值可根據(jù)土的性質(zhì)及當(dāng)?shù)亟?jīng)驗(yàn)，采用勘測(cè)試驗(yàn)和滑坡反算相結(jié)合的方法來(lái)確定。Fs值可根據(jù)滑坡現(xiàn)狀及其對(duì)工程的影響等因素確定，一般取l.051.25。另外，要注意土條之間不能承受拉力，當(dāng)任何土條的推力Pi如果出現(xiàn)負(fù)值，則意味著Pi不再向下傳遞，而在計(jì)算下一塊土條時(shí)，上一塊土條對(duì)其的推力取Pi-1=0。 各土條分界面上的Pi求出后，可求出此分界面上的抗剪安全系數(shù)：(2.48)式中：UPj作用土條側(cè)面的孔隙水壓力； hi土條側(cè)面高度； 土條側(cè)面各土層的平均抗剪強(qiáng)度指標(biāo)。 傳遞系數(shù)法能夠計(jì)及土條界面上剪力的影響，計(jì)算也不繁雜，具有適用而又方便的優(yōu)點(diǎn)，在我國(guó)的鐵道部門得到廣泛采用。但傳遞系數(shù)法中Pi的方向被硬性規(guī)定為與上分塊土條的底滑面(底坡)平行，所以有時(shí)會(huì)出現(xiàn)矛盾，當(dāng)較大時(shí)，求出的Fvi可能小于l。同時(shí)，本法只考慮了力的平衡，對(duì)力矩平衡沒有考慮，這也存在不足。盡管如此，傳遞系數(shù)法因?yàn)橛?jì)算簡(jiǎn)捷，在很多實(shí)際工程問(wèn)題中，大部分滑裂面都較為平緩，對(duì)應(yīng)垂直分界面上的c、值也相對(duì)較大，基本上能滿足式(2.48)的要求。即使滑體頂部一、二塊土條可能滿足不了式(2.48)的要求，但也不致對(duì)Fs產(chǎn)生很大影響。所以，該方法還是為廣大工程技術(shù)人員所樂于采用。 2.6邊坡穩(wěn)定分析有限元法2.6.1有限元法概述 有限元法的突出優(yōu)點(diǎn)是適于處理非線性、非均質(zhì)和復(fù)雜邊界等問(wèn)題，而土體應(yīng)力變形分析就恰恰存在這些困難問(wèn)題，有限元方法的應(yīng)用，能比較好的解決這些困難，在處理邊坡穩(wěn)定分析中開辟了新的途徑。 有限元法就是用有限個(gè)單元體所構(gòu)成的離散化結(jié)構(gòu)代替原來(lái)的連續(xù)體結(jié)構(gòu)來(lái)分析土體的應(yīng)力和變形，這些單元體只在結(jié)點(diǎn)處有力的聯(lián)系。一般材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系或本構(gòu)關(guān)系可表示為(2.49)由虛位移原理可建立單元體的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，進(jìn)而寫出總體平衡方程(2.50)式中：K勁度矩陣； 結(jié)點(diǎn)位移列向量； R結(jié)點(diǎn)荷載列向量。 利用有限單元法，可考慮土的非線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系，求得每一個(gè)計(jì)算單元的應(yīng)力及變形后，便可根據(jù)不同強(qiáng)度指標(biāo)確定破壞區(qū)的位置及破壞范圍的擴(kuò)展情況。若設(shè)法將局部破壞與整體破壞聯(lián)系起來(lái)，求得合適的臨界滑面位置，再根據(jù)力的平衡關(guān)系推得安全系數(shù)，這樣，就能將穩(wěn)定問(wèn)題與應(yīng)力分析結(jié)合起來(lái)。或者求出在各種工作狀態(tài)下邊坡內(nèi)部的應(yīng)力分布狀況，由邊坡土的性質(zhì)確定一個(gè)破壞標(biāo)準(zhǔn)，以此來(lái)衡量邊坡的安全程度。 土體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的，反映到式(2.49)中，矩陣D就不是常量，而隨著應(yīng)力或應(yīng)變的變化，由此推得的勁度矩陣K也將發(fā)生變化，這使得土坡有限元的計(jì)算比一般彈性有限元計(jì)算要復(fù)雜得多。 影響土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的因素是很多的，有土體結(jié)構(gòu)，孔隙、密度、應(yīng)力歷史、荷載特征、孔隙水及時(shí)間效應(yīng)等。這些因素使得土體在受力后的行為非常復(fù)雜，而且往往是非線性的。 土體在應(yīng)力作用下產(chǎn)生的變形一般是非線性的，在各種應(yīng)力狀態(tài)下都有塑性變形；土體在受力后有明顯的塑性體積變形，而且在剪切時(shí)也會(huì)引起塑性體積變形(剪脹性)；土體受剪時(shí)發(fā)生剪應(yīng)變，其中一部分為彈性剪應(yīng)變，另一部分與土顆粒間相對(duì)錯(cuò)動(dòng)滑移而產(chǎn)生塑性剪應(yīng)變，剪應(yīng)力引起剪應(yīng)變，體積應(yīng)力也會(huì)引起剪應(yīng)變；土體還表現(xiàn)出硬化和軟化特性，應(yīng)力路徑和應(yīng)力歷史對(duì)變形有影響，中主應(yīng)力和固結(jié)壓力對(duì)變形也有影響，而且表現(xiàn)出各向異性。我們一般根據(jù)土的變形特性建立土的本構(gòu)模型，反過(guò)來(lái)，它也是檢驗(yàn)本構(gòu)模型理論的客觀標(biāo)準(zhǔn)。2.6.2彈性非線性模型 土體可采用非線性彈性模型來(lái)反映其本構(gòu)關(guān)系。彈性非線性模型是根據(jù)廣義虎克定律建立剛度矩陣D。由于其非線性性質(zhì)，包含在矩陣D中的彈性常數(shù)E、就不再是常量，而是隨應(yīng)力狀態(tài)而改變的量。當(dāng)土體處于某一應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，若施加微小的應(yīng)力增量，則可用該應(yīng)力狀態(tài)下的彈性常數(shù)形成矩陣D，或者其逆矩陣C，來(lái)計(jì)算其相應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽?，?2.51)或者寫成(2.52)式中： 彈性常數(shù)E、是應(yīng)力狀態(tài)的函數(shù)。 問(wèn)題在于土體的E、如何隨應(yīng)力變化而變化，怎樣建立其關(guān)系表達(dá)式，即建立其彈性非線性模型。 下面簡(jiǎn)要介紹鄧肯(Duncan)和張(zhang)的雙曲線模型。 (1)切線彈性模量 對(duì)于通常的砂土和粘土，Kondner建議將其應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系用雙曲線表示如下：(2.54)式中：1大主應(yīng)力； 3小主應(yīng)力； 軸向應(yīng)變；a、b常數(shù)。在式(2.54)中，令，則得到 (2.55)其中(1-3)u為應(yīng)力差的漸近值。令抗壓強(qiáng)度與應(yīng)力差漸近值的比值為R，則有(2.56)式中：(1-3)f土體抗壓強(qiáng)度； R破壞比，小于l，通常為0.751.00。 由式(2.55)、式(2.56)得到常數(shù)b，即（2.57）由式(2.54)求導(dǎo)數(shù)，得到土的切線模量（2.58）在式(2.58)中令=0，得到（2.59）E0為初始切線模量，常數(shù)。為初始切線模量的倒數(shù)。將式(2.54)做一些變換，得到（2.60） 以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，上式將是一條直線，a、b分別是這條直線的截距和斜率。用這種方式整理試驗(yàn)資料，可很方便地確定參數(shù)a和b。 試驗(yàn)表明，土體的切線模量隨著側(cè)限壓力而改變。鄧肯(Duncan)和張(Zhang)建議用下式表示初始切線模量與側(cè)限壓力之間的關(guān)系：（2.61）式中：E0初始切線模量；Pa大氣壓力；3小主應(yīng)力；K、n參數(shù)。為了考慮土的抗拉強(qiáng)度，王復(fù)來(lái)建議用下式計(jì)算初始切線模量：（2.62）式中：t土體拉抗強(qiáng)度；其余符號(hào)意義同前。對(duì)式(2.62)兩邊取對(duì)數(shù)，可知此式在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是一條直線，利用這一點(diǎn)，可方便地利用試驗(yàn)資料決定參數(shù)K和n。 根據(jù)MohrCoulomb破壞準(zhǔn)則，抗拉強(qiáng)度可由下式表示：（2.63）把a(bǔ)、b代入式(2.58)，得到切線模量Et如下（2.64）為便于用于有限元計(jì)算，從上式中消去應(yīng)變，把式(2.54)改寫為將上式代入式(2.64)，消去，得（2.65）其中：稱為應(yīng)力度。把E0、S、的表達(dá)式代入式(2.65)，有（2.66）式(2.66)可方便地用于土體的有限元分析。式中的c、R、K、n共5個(gè)參數(shù)應(yīng)通過(guò)試驗(yàn)求得。 (2)回彈模量在實(shí)際工程中，可能發(fā)生卸荷以及卸荷后再加荷的情況。通過(guò)試驗(yàn)資料表明，土體在卸荷再加荷過(guò)程中，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可足夠準(zhǔn)確地用一個(gè)統(tǒng)一的切線模量Eu表示。卸荷再加荷的切線模量與應(yīng)力水平關(guān)系不大，而只與側(cè)限壓力有關(guān)，可表示為（2.67） 式中：Eu卸荷及再加荷的切線模量； Ku、n參數(shù)。 實(shí)際中，此處的n值可采用初始切線模量計(jì)算式(2.61)中的n值，參數(shù)Ku一般比初始切線模量酥的參數(shù)K為大。 (3)切線泊松比 在計(jì)算土體的應(yīng)力和應(yīng)變時(shí)，除了切線模量E外，還要用到泊松比。土體的側(cè)向變形和縱向變形之間的關(guān)系也可用雙曲線表示（2.68）或（2.69）式中：a軸同應(yīng)變； r徑向應(yīng)變(三軸試驗(yàn))； 0相對(duì)應(yīng)于零應(yīng)變時(shí)的初始泊松比； m參數(shù)。由式(2.69)可得（2.70）根據(jù)泊松比定義（2.71）即有（2.72）試驗(yàn)資料表明，初始泊松比0隨側(cè)限壓力3的增加而減少，可表示如下：（2.73）式中：g、h參數(shù)，由試驗(yàn)資料確定；其余符號(hào)意義同前。將式(2.73)代入式(2.72)，得泊松比如下： （2.74）上式計(jì)算中有3個(gè)參數(shù)g、h、m，由試驗(yàn)確定。式(2.66)和式(2.74)分別用于計(jì)算土體的切線模量和泊松比，是由鄧肯提出的，通常稱為鄧肯模型。(4)體積變形模量1980年鄧肯和Wonz等人改用體積變形模量K.作為計(jì)算參數(shù)，定義如下：（2.75）式中：v體積變形；Kb、m試驗(yàn)確定的常數(shù)。求出Kt和Et后，再計(jì)算泊松比（2.76）鄧肯模型反映了土體變形的主要規(guī)律，但有許多方面沒有得到反映。它反映了非線性；把總變形中的塑性變形部分也當(dāng)著彈性變形處理，通過(guò)彈性常數(shù)的調(diào)整來(lái)近似地考慮這部分塑性變形；它用于增量計(jì)算，能反映應(yīng)力路徑對(duì)變形的影響；通過(guò)回彈模量Eu與加荷模量Et的差別部分體現(xiàn)加荷歷史對(duì)變形的影響，但卻沒反映固結(jié)壓力增加與降低的差別，也沒有反映加荷、卸荷對(duì)的影響；鄧肯模型沒有反映中主應(yīng)力對(duì)E、和強(qiáng)度指標(biāo)的影響，不能反映剪脹性；也不能反映軟化和各向異性等問(wèn)題。 盡管如此，上述鄧肯模型由于計(jì)算參數(shù)是從試驗(yàn)曲線的直接擬合得來(lái)，比較直觀，易為工程人員所接受；對(duì)于主應(yīng)力方向沒有明顯偏轉(zhuǎn)的問(wèn)題，其計(jì)算結(jié)果一般是可以接受的。因此鄧肯模型在實(shí)際工程計(jì)算中得到廣泛的應(yīng)用。2.6.3雙屈服面彈塑性模型 以劍橋模型為代表的彈塑性模型等，從假定的屈服面出發(fā)推導(dǎo)出應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，計(jì)算的位移有時(shí)偏大一些，但計(jì)算結(jié)果定性上較為合理。沈珠江院土在汲取了鄧肯模型和劍橋模型的優(yōu)點(diǎn)后，提出了雙屈服面彈塑性模型，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有劍橋模型的形式，但有關(guān)系數(shù)則像鄧肯模型一樣，從應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而得來(lái)。 (1)屈服函數(shù)與彈塑性矩陣 把總應(yīng)變?cè)隽糠殖蓮椥詰?yīng)變?cè)隽縠和塑性應(yīng)變?cè)隽縫兩部分，即（2.77）再把塑性應(yīng)變?cè)隽糠殖蓛刹糠?，即?.78）假足對(duì)應(yīng)于每一部分塑性應(yīng)變各有一個(gè)屈服面，采用正交流動(dòng)法則，應(yīng)變?cè)隽靠捎?jì)算如下：（2.79）式中：f1、f2分別為兩個(gè)屈服面函數(shù)；A1、A2分別相應(yīng)于屈服面f1、f2的塑性系數(shù)。設(shè)式中：P、分別為八面體正應(yīng)力和剪應(yīng)力；其余符號(hào)意義同前。沈珠江建議分別用橢圓和冪函數(shù)為第1和第2屈服函數(shù)，即 （2.80）式中：r橢圓的長(zhǎng)、短軸之比； s冪次系數(shù)。 設(shè)v=1+2+3為體積應(yīng)變，為八面體剪切應(yīng)變，由式(2.79)、式(2.80)兩式，得其增量如下：式中：K、G分別為彈性體積模量和剪切模量。 由式(2.80)，有把上式代入式(2.81)，得到式中：在平面上采用PrandtReuss流動(dòng)法則，式(2.83)可擴(kuò)展為（2.84）式中：eij應(yīng)變偏量；sij應(yīng)力偏量；ijKronecker單位函數(shù)。考慮到，式(2.84)兩邊乘上sij后可解出，再代入式(2.82)和式(2.84)中，得到（2.85）式中：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，式(2.85)變成如下形式：（2.86）式中： Dep為對(duì)稱的彈塑性矩陣。 (2)塑性系數(shù) 假定塑性系數(shù)A1和A2只是應(yīng)力狀態(tài)的函數(shù)，與應(yīng)力路徑無(wú)關(guān)，于是室內(nèi)簡(jiǎn)單應(yīng)力路徑下測(cè)得的結(jié)果，可以直接應(yīng)用于現(xiàn)場(chǎng)的復(fù)雜應(yīng)力條件，可用常規(guī)三軸試驗(yàn)的結(jié)果。此時(shí)代入式(2.82)，并定義得到由上式可解出A1、A2： 上面公式中，E1可用式(2.66)計(jì)算。沈珠江用拋物線擬合試驗(yàn)得出的v1關(guān)系曲線，由定義t=v1，得到式中，Cd為3=Lat時(shí)的最大主應(yīng)變；d為體應(yīng)變隨3而變化的冪次；Rd為最大體應(yīng)變發(fā)生時(shí)的應(yīng)力比(剪脹比)。卸荷一再加荷的切線模量由式(2.67)計(jì)算求得。假定泊松比為常數(shù)，彈性體積模量K和剪切模量G可由下式計(jì)算對(duì)大多數(shù)土，可取=0.30。 屈服面參數(shù)r和s，對(duì)于土體，根據(jù)沈珠江的計(jì)算結(jié)果，可取r=2，s=3。2.6.4非線性有限元計(jì)算 將荷載R作用于離散體結(jié)構(gòu)，則產(chǎn)生相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移，由式(2.50)可解出。由于土的本構(gòu)關(guān)系是非線性的，與關(guān)系如圖2.10a)所示，那么R與的關(guān)系也是非線性的，如圖2.10b)所示。曲線包含了應(yīng)力各分量與應(yīng)變各分量之間的關(guān)系。其斜率可抽象理解為D。 R和的坐標(biāo)也是示意性的，曲線的斜率可理解為勁度矩陣K，和的關(guān)系是在試驗(yàn)基礎(chǔ)上由本構(gòu)模型給定的，在進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)它是已知的。而R與的關(guān)系是未知的，它決定于d與的關(guān)系。下面介紹如何根據(jù)非線性的與的關(guān)系來(lái)求解非線性的R與的求解方法。 一般來(lái)說(shuō)，求解方法有迭代法和增量法2種。 (1)迭代法 迭代法是用修正勁度的方法(變勁度法)，或保持勁度不變而用調(diào)整荷載的方法(常勁度法)，重復(fù)試算逐步逼近真實(shí)解，在每次試算中作一次線性有限元計(jì)算。它可分為割線迭代、余量迭代、初應(yīng)力迭代和初應(yīng)變迭代等。下面作一簡(jiǎn)要介紹。(a)割線迭代法假定非線性的余量應(yīng)力與全量應(yīng)變關(guān)系是已知的，即式(2.49)中反映全量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的剛度矩陣D隨應(yīng)力的變化是已知的，D相當(dāng)于圖2.1la)中割線的斜率，又叫割線剛度。對(duì)彈性非線性問(wèn)題，它含有彈性常數(shù)，稱為割線彈性常數(shù)，如割線彈模Es，割線泊松比s。在有限元計(jì)算時(shí)，把荷載R全部作用于結(jié)構(gòu)，先取一組適當(dāng)?shù)膹椥猿?shù)ES1和S1形成勁度矩陣K1，用式(2.50)解得位移的第一次近似值1，如圖2.11b)中的M1點(diǎn)所示。由1解算各單位的應(yīng)變1和應(yīng)力*1，如圖2.11a)中的N1點(diǎn)所示。*1不一定符合給定的非線性關(guān)系，則在非線性的與的關(guān)系曲線上找出1，所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力1，再由1和1確定割線彈性常數(shù)的第二次近似值ES2和S2，形成新的勁度矩陣K2，解第2次位移近似值2。如此反復(fù)進(jìn)行解算，直至前后兩次位移解相當(dāng)接近(或滿足預(yù)先給定的精度要求)為止。此時(shí)所解得的位移，應(yīng)變和應(yīng)力就是所求的解。將上述的計(jì)算步驟再簡(jiǎn)敘如下：對(duì)第i次迭代由i-1次迭代所得應(yīng)變i-1。根據(jù)曲線，由i-1求對(duì)應(yīng)的i-1，計(jì)算割線彈性常數(shù)Esi和si； 由Esi和si形成勁度矩陣Ki； 解方程組Kii=R，解得i； 由i求各單元應(yīng)變i； 由i，利用ESi和Si求i； 由i，利用關(guān)系求i； 由i和i確定i+1次迭代所用的ESi+1和Si+1。 重復(fù)步，比較i+1次計(jì)算所得的I+1與第i次計(jì)算所得的i，兩者接近或滿足精度要求，則停止計(jì)算，并根據(jù)步算出、，即為所求。否則，再進(jìn)行步計(jì)算。 在迭代過(guò)程中，每次迭代都向真實(shí)解逼近，即圖2.11中的N1，N2，Ni，越接近曲線上的N點(diǎn)，M1，M2，Mi，也越來(lái)越接近真實(shí)解。 (b)余量迭代法 余量迭代是先將總荷載施加于結(jié)構(gòu)作一次有限元計(jì)算，解得的應(yīng)變?cè)诜蔷€性關(guān)系上所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，該應(yīng)力與外荷載一般來(lái)說(shuō)是不平衡的，在總荷載中扣除計(jì)算所得的應(yīng)力所平衡了的那部分荷載，剩下的不平衡荷載則再施加于結(jié)構(gòu)，再作迭代計(jì)算。如此反復(fù)，直至全部平衡。 如圖2.12所示，第l次試算后得1、1、*1，在非線性關(guān)系上對(duì)應(yīng)的1。 1*與外荷R是平衡的，但1與R不能維持平衡。由各單元的應(yīng)力1，可用下式求單元結(jié)點(diǎn)力（2.92）式中：B幾何矩陣； Fe單元結(jié)點(diǎn)力。 各結(jié)點(diǎn)將相鄰單元在該點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力迭加起來(lái)形成R1，應(yīng)力解1是與R1平衡的，尚有R2=R-R1未得到平衡。在第2次試算中將剩余荷載R2作為外荷施加于結(jié)構(gòu)上，解出位移，并從非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中確定應(yīng)力增量，又使得R2中的一部分荷載得到平衡，剩余的不平衡荷載為R3。如此迭代，從而使余荷逐漸減小，最后使應(yīng)力解答結(jié)果與實(shí)際的外荷載相平衡，解變?yōu)檎鎸?shí)解。 余量迭代法第i次的具體計(jì)算步驟如下： 由各單元的i-1求切線彈性常數(shù)Et、t，從而形成彈性矩陣Di； 由Di形成勁度矩陣Ki； 計(jì)算單元結(jié)點(diǎn)力(用式(2.92)，各單元結(jié)點(diǎn)迭加形成Ri-1(當(dāng)i=1時(shí)，令R0=0)； 計(jì)算剩余荷載Ri=R-Ri-1； 根據(jù)Ri，Ki，由Kii=Ri解算i； 由i計(jì)算i總應(yīng)變?yōu)閕=i-l+i，從非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系上確定對(duì)應(yīng)的應(yīng)力i； 重復(fù)步，直至所計(jì)算的R很小或滿足精度要求時(shí)為止。 (2)增量法 增量法是將全荷載分為若干級(jí)微小增量，逐級(jí)用有限元法計(jì)算。對(duì)于每一級(jí)增量，在計(jì)算時(shí)假定材料性質(zhì)不變，用一般的線性有限元計(jì)算方法，解得位移、應(yīng)變和應(yīng)力相應(yīng)的增量。而各級(jí)增量荷載之間，材料性質(zhì)不同，剛度矩陣不同，用它來(lái)反映非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。這種方法實(shí)際上是用分段直線來(lái)逼近曲線，即以折線代替應(yīng)力應(yīng)變曲線。增量法有基本增量法、中點(diǎn)增量法和增量法。下面主要介紹中點(diǎn)增量法。 各級(jí)荷載作用下的材料性質(zhì)是由剛度矩陣D來(lái)體現(xiàn)的。無(wú)論彈性矩陣還是彈塑性矩陣，都決定于應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于某一級(jí)荷載，應(yīng)力從初始狀態(tài)到終了狀態(tài)，彈性常數(shù)是變化的。設(shè)想用該級(jí)荷載下的平均應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的D來(lái)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果會(huì)比以初始應(yīng)力狀態(tài)來(lái)計(jì)算要好。這就是中點(diǎn)增量法的基本思路和特點(diǎn)。 中點(diǎn)增量法第i步的計(jì)算步驟如下： 用前級(jí)終了時(shí)的應(yīng)力，也就是本級(jí)的初始應(yīng)力i-l，確定剛度矩陣Di。先確定切線彈性常數(shù)Eti和ti從而形成Di。這相當(dāng)于圖2.13a)中Ni-1點(diǎn)處曲線的斜率； 由Di形成勁度矩陣Ki，相當(dāng)于圖2.13b)中Mi-1點(diǎn)的斜率； 解線性方程Ki=Ri，得位移增量i，相應(yīng)的位移總量i=i-1+i； 由i求各單元應(yīng)變?cè)隽縤和應(yīng)力增量i，即i=i-1+i，i=i-1+i；取應(yīng)力平均值；由平均應(yīng)力求，再形成；解方程組，求得位移增量i，相應(yīng)的位移總量i=i-1+i；由i求應(yīng)變?cè)隽縤和應(yīng)力增量i，進(jìn)而求應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)俊Ｖ悬c(diǎn)增量法并不能使計(jì)算結(jié)果收斂于真實(shí)解，只是改進(jìn)了計(jì)算方法。要獲得真實(shí)解，還需采用迭代計(jì)算。即在上述中點(diǎn)增量法中，對(duì)每一級(jí)荷載增量，重復(fù)計(jì)算步，使得前后兩次迭代計(jì)算結(jié)果的差別很小，