2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅱ）（含解析版）

第 1頁 共 11頁 2014 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目 要求 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目 要求 1 5 分 設(shè)集合 M 0 1 2 N x x2 3x 2 0 則 M N A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 2 5 分 設(shè)復(fù)數(shù) z1 z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱 z1 2 i 則 z1z2 A 5B 5C 4 iD 4 i 3 5 分 設(shè)向量 滿足 則 A 1B 2C 3D 5 4 5 分 鈍角三角形 ABC 的面積是 AB 1 BC 則 AC A 5B C 2D 1 5 5 分 某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明 一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 0 75 連續(xù)兩天為優(yōu)良的 概率是 0 6 已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良 則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 A 0 8B 0 75C 0 6D 0 45 6 5 分 如圖 網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為 1 表示 1cm 圖中粗線畫出的是某零件的三視圖 該零件由一個(gè)底面半徑為 3cm 高為 6cm 的圓柱體毛坯切削得到 則切削掉部分的體積與原來毛 坯體積的比值為 A B C D 7 5 分 執(zhí)行如圖所示的程序框圖 若輸入的 x t 均為 2 則輸出的 S A 4B 5C 6D 7 8 5 分 設(shè)曲線 y ax ln x 1 在點(diǎn) 0 0 處的切線方程為 y 2x 則 a A 0B 1C 2D 3 9 5 分 設(shè) x y 滿足約束條件 則 z 2x y 的最大值為 A 10B 8C 3D 2 10 5 分 設(shè) F 為拋物線 C y2 3x 的焦點(diǎn) 過 F 且傾斜角為 30 的直線交 C 于 A B 兩點(diǎn) O 為坐標(biāo) 原點(diǎn) 則 OAB 的面積為 A B C D 11 5 分 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCA 90 M N 分別是 A1B1 A1C1的中點(diǎn) BC CA CC1 則 BM 與 AN 所成角的余弦值為 A B C D 12 5 分 設(shè)函數(shù) f x sin 若存在 f x 的極值點(diǎn) x0滿足 x02 f x0 2 m2 則 m 的取 值范圍是 A 6 6 B 4 4 C 2 2 D 1 1 第 2頁 共 11頁 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分分 第 第 13 題題 第第 21 題為必考題 每個(gè)試題考生都必須作答 題為必考題 每個(gè)試題考生都必須作答 第第 22 題題 第第 24 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 13 5 分 x a 10的展開式中 x7的系數(shù)為 15 則 a 14 5 分 函數(shù) f x sin x 2 2sin cos x 的最大值為 15 5 分 已知偶函數(shù) f x 在 0 單調(diào)遞減 f 2 0 若 f x 1 0 則 x 的取值范圍 是 16 5 分 設(shè)點(diǎn) M x0 1 若在圓 O x2 y2 1 上存在點(diǎn) N 使得 OMN 45 則 x0的取值范圍 是 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或驗(yàn)算步驟三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或驗(yàn)算步驟 17 12 分 已知數(shù)列 an 滿足 a1 1 an 1 3an 1 證明 an 是等比數(shù)列 并求 an 的通項(xiàng)公式 證明 18 12 分 如圖 四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為矩形 PA 平面 ABCD E 為 PD 的中點(diǎn) 證明 PB 平面 AEC 設(shè)二面角 D AE C 為 60 AP 1 AD 求三棱錐 E ACD 的體積 19 12 分 某地區(qū) 2007 年至 2013 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 y 單位 千元 的數(shù)據(jù)如表 年份2007200820092010201120122013 年份代號(hào) t1234567 人均純收入 y2 93 33 64 44 85 25 9 求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程 利用 中的回歸方程 分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況 并預(yù)測(cè)該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 附 回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 20 12 分 設(shè) F1 F2分別是 C 1 a b 0 的左 右焦點(diǎn) M 是 C 上一點(diǎn)且 MF2與 x 軸 垂直 直線 MF1與 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為 N 1 若直線 MN 的斜率為 求 C 的離心率 2 若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2 且 MN 5 F1N 求 a b 第 3頁 共 11頁 21 12 分 已知函數(shù) f x ex e x 2x 討論 f x 的單調(diào)性 設(shè) g x f 2x 4bf x 當(dāng) x 0 時(shí) g x 0 求 b 的最大值 已知 1 4142 1 4143 估計(jì) ln2 的近似值 精確到 0 001 請(qǐng)考生在第請(qǐng)考生在第 22 23 24 三題中任選一題作答 如果多做 則按所做的第一題計(jì)分 作答時(shí)請(qǐng)寫清題 號(hào) 三題中任選一題作答 如果多做 則按所做的第一題計(jì)分 作答時(shí)請(qǐng)寫清題 號(hào) 選修 選修 4 1 幾何證明選講 幾何證明選講 22 10 分 如圖 P 是 O 外一點(diǎn) PA 是切線 A 為切點(diǎn) 割線 PBC 與 O 相交于點(diǎn) B C PC 2PA D 為 PC 的中點(diǎn) AD 的延長(zhǎng)線交 O 于點(diǎn) E 證明 BE EC AD DE 2PB2 選修 選修 4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23 在直角坐標(biāo)系 xOy 中 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 半圓 C 的極坐標(biāo)方 程為 2cos 0 求 C 的參數(shù)方程 設(shè)點(diǎn) D 在半圓 C 上 半圓 C 在 D 處的切線與直線 l y x 2 垂直 根據(jù) 1 中你得到的參數(shù) 方程 求直線 CD 的傾斜角及 D 的坐標(biāo) 六 解答題 共六 解答題 共 1 小題 滿分小題 滿分 0 分 分 24 設(shè)函數(shù) f x x x a a 0 證明 f x 2 若 f 3 5 求 a 的取值范圍 第 4頁 共 11頁 2014 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目 要求 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目 要求 1 考點(diǎn) 交集及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 求出集合 N 的元素 利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論 解答 解 N x x2 3x 2 0 x x 1 x 2 0 x 1 x 2 M N 1 2 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算 比較基礎(chǔ) 2 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出 z2 即可得到結(jié)論 解答 解 z1 2 i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 1 復(fù)數(shù) z1 z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱 2 1 關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 1 則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) z2 2 i 則 z1z2 2 i 2 i i2 4 1 4 5 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算 利用復(fù)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵 比較基礎(chǔ) 3 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 將等式進(jìn)行平方 相加即可得到結(jié)論 解答 解 分別平方得 2 10 2 6 兩式相減得 4 10 6 4 即 1 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的基本運(yùn)算 利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵 比較基礎(chǔ) 4 考點(diǎn) 余弦定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用三角形面積公式列出關(guān)系式 將已知面積 AB BC 的值代入求出 sinB 的值 分兩種情 況考慮 當(dāng) B 為鈍角時(shí) 當(dāng) B 為銳角時(shí) 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出 cosB 的值 利用余 弦定理求出 AC 的值即可 解答 解 鈍角三角形 ABC 的面積是 AB c 1 BC a S acsinB 即 sinB 當(dāng) B 為鈍角時(shí) cosB 利用余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 1 2 2 5 即 AC 當(dāng) B 為銳角時(shí) cosB 利用余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 1 2 2 1 即 AC 1 此時(shí) AB2 AC2 BC2 即 ABC 為直角三角形 不合題意 舍去 則 AC 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理 三角形面積公式 以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系 熟練掌握余弦定 理是解本題的關(guān)鍵 5 考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為 p 則由題意可得 0 75 p 0 6 由此解得 p 的值 解答 解 設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為 p 則由題意可得 0 75 p 0 6 解得 p 0 8 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用 屬于基礎(chǔ)題 6 考點(diǎn) 由三視圖求面積 體積 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由三視圖判斷幾何體的形狀 通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可 解答 解 幾何體是由兩個(gè)圓柱組成 一個(gè)是底面半徑為 3 高為 2 一個(gè)是底面半徑為 2 高為 4 第 5頁 共 11頁 組合體體積是 32 2 22 4 34 底面半徑為 3cm 高為 6cm 的圓柱體毛坯的體積為 32 6 54 切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系 幾何體的體積的求法 考查空間想象能力以及計(jì)算能力 7 考點(diǎn) 程序框圖 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)條件 依次運(yùn)行程序 即可得到結(jié)論 解答 解 若 x t 2 則第一次循環(huán) 1 2 成立 則 M S 2 3 5 k 2 第二次循環(huán) 2 2 成立 則 M S 2 5 7 k 3 此時(shí) 3 2 不成立 輸出 S 7 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷 比較基礎(chǔ) 8 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 即 f x0 表示曲線 f x 在 x x0處的切線斜率 再代入計(jì)算 解答 解 y 0 a 1 2 a 3 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題 考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義 這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在高考中是經(jīng)常考查的內(nèi)容 一般只 要求導(dǎo)正確 就能夠求解該題 在高考中 導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)非常好的研究工具 經(jīng)常會(huì)被考查到 特 別是用導(dǎo)數(shù)研究最值 證明不等式 研究零點(diǎn)問題等等經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn) 學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)要引 起重視 9 考點(diǎn) 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 利用數(shù)形結(jié)合確定 z 的最大值 解答 解 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖 陰影部分 ABC 由 z 2x y 得 y 2x z 平移直線 y 2x z 由圖象可知當(dāng)直線 y 2x z 經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí) 直線 y 2x z 的截距最小 此時(shí) z 最大 由 解得 即 C 5 2 代入目標(biāo)函數(shù) z 2x y 得 z 2 5 2 8 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決 此類問題的基本方法 10 考點(diǎn) 拋物線的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo) 由直線的傾斜角求出斜率 寫出過 A B 兩點(diǎn)的直線方程 和 拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于 y 的一元二次方程 由根與系數(shù)關(guān)系得到 A B 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積 把 OAB 的面積表示為兩個(gè)小三角形 AOF 與 BOF 的面積和得答案 解答 解 由 y2 2px 得 2p 3 p 則 F 0 過 A B 的直線方程為 y x 即 x y 第 6頁 共 11頁 聯(lián)立 得 4y2 12y 9 0 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 則 y1 y2 3 y1y2 S OAB S OAF S OFB y1 y2 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系 考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法 涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題 常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線 然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題 是中檔題 11 考點(diǎn) 異面直線及其所成的角 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 畫出圖形 找出 BM 與 AN 所成角的平面角 利用解三角形求出 BM 與 AN 所成角的余弦值 解答 解 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCA 90 M N 分別是 A1B1 A1C1的中點(diǎn) 如圖 BC的 中點(diǎn)為 O 連結(jié) ON 則 MN0B 是平行四邊形 BM 與 AN 所成角就是 ANO BC CA CC1 設(shè) BC CA CC1 2 CO 1 AO AN MB 在 ANO 中 由余弦定理可得 cos ANO 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線對(duì)稱角的求法 作出異面直線所成角的平面角是解題的關(guān)鍵 同時(shí)考查余 弦定理的應(yīng)用 12 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的定義域和值域 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由題意可得 f x0 且 k k Z 再由題意可得當(dāng) m2最小時(shí) x0 最小 而 x0 最小為 m 可得 m2 m2 3 由此求得 m 的取值范圍 解答 解 由題意可得 f x0 即 k k z 即 x0 m 再由 x02 f x0 2 m2 即 x02 3 m2 可得當(dāng) m2最小時(shí) x0 最小 而 x0 最小為 m m2 m2 3 m2 4 求得 m 2 或 m 2 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題主要正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù)的零點(diǎn)的定義 體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 屬于中檔題 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分分 第 第 13 題題 第第 21 題為必考題 每個(gè)試題考生都必須作答 第 題為必考題 每個(gè)試題考生都必須作答 第 22 題題 第第 24 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 13 考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中 令 x 的冪指數(shù)等于 3 求出 r 的值 即可求得 x7的系數(shù) 再根 據(jù) x7的系數(shù)為 15 求得 a 的值 解答 解 x a 10的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr 1 x10 r ar 令 10 r 7 求得 r 3 可得 x7的系數(shù)為 a3 120a3 15 a 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 求展開式中某項(xiàng)的系數(shù) 二項(xiàng)式 系數(shù)的性質(zhì) 屬于中檔題 14 1 考點(diǎn) GP 兩角和與差的三角函數(shù) HW 三角函數(shù)的最值 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 第 7頁 共 11頁 專題 56 三角函數(shù)的求值 分析 由條件利用兩角和差的正弦公式 余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 f x sinx 從而求得函數(shù) 的最大值 解答 解 函數(shù) f x sin x 2 2sin cos x sin x 2sin cos x sin x cos cos x sin 2sin cos x sin x cos cos x sin sin x sinx 故函數(shù) f x 的最大值為 1 故答案為 1 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式 余弦公式的應(yīng)用 正弦函數(shù)的最值 屬于中檔題 15 1 3 考點(diǎn) 奇偶性與單調(diào)性的綜合 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為 f x 1 f 2 即可得到結(jié) 論 解答 解 偶函數(shù) f x 在 0 單調(diào)遞減 f 2 0 不等式 f x 1 0 等價(jià)為 f x 1 f 2 即 f x 1 f 2 x 1 2 解得 1 x 3 故答案為 1 3 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用 將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為 f x 1 f 2 是解決本題的關(guān)鍵 16 1 1 考點(diǎn) 直線與圓的位置關(guān)系 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系 畫出圖形 利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論 解答 解 由題意畫出圖形如圖 點(diǎn) M x0 1 要使圓 O x2 y2 1 上存在點(diǎn) N 使得 OMN 45 則 OMN 的最大值大于或等于 45 時(shí)一定存在點(diǎn) N 使得 OMN 45 而當(dāng) MN 與圓相切時(shí) OMN 取得最大值 此時(shí) MN 1 圖中只有 M 到 M 之間的區(qū)域滿足 MN 1 x0的取值范圍是 1 1 點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系 直線與直線設(shè)出角的求法 數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略 之一 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或驗(yàn)算步驟三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或驗(yàn)算步驟 17 解答 證明 3 0 數(shù)列 an 是以首項(xiàng)為 公比為 3 的等比數(shù)列 an 即 由 知 當(dāng) n 2 時(shí) 3n 1 3n 3n 1 當(dāng) n 1 時(shí) 成立 當(dāng) n 2 時(shí) 1 第 8頁 共 11頁 對(duì) n N 時(shí) 點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等比數(shù)列 用放縮法證明不等式 證明數(shù)列為等比數(shù)列 只需要根據(jù)等比數(shù)列 的定義就行 數(shù)列與不等式常結(jié)合在一起考 放縮法是常用的方法之一 通過放大或縮小 使原數(shù)列變成一個(gè)等比數(shù)列 或可以用裂項(xiàng)相消法求和的新數(shù)列 屬于中檔題 18 解答 證明 連接 BD 交 AC 于 O 點(diǎn) 連接 EO O 為 BD 中點(diǎn) E 為 PD 中點(diǎn) EO PB 2 分 EO 平面 AEC PB 平面 AEC 所以 PB 平面 AEC 6 分 解 延長(zhǎng) AE 至 M 連結(jié) DM 使得 AM DM 四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為矩形 PA 平面 ABCD CD 平面 AMD CD MD 二面角 D AE C 為 60 CMD 60 AP 1 AD ADP 30 PD 2 E 為 PD 的中點(diǎn) AE 1 DM CD 三棱錐 E ACD 的體積為 點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定 幾何體的體積的求法 二面角等指數(shù)的應(yīng)用 考查邏輯思 維能力 是中檔題 19 解答 解 由題意 1 2 3 4 5 6 7 4 2 9 3 3 3 6 4 4 4 8 5 2 5 9 4 3 0 5 4 3 0 5 4 2 3 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程為 0 5t 2 3 由 知 b 0 5 0 故 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加 平均 每年增加 0 5 千元 將 2015 年的年份代號(hào) t 9 代入 0 5t 2 3 得 0 5 9 2 3 6 8 故預(yù)測(cè)該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入為 6 8 千元 點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸分析的應(yīng)用 本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的 系數(shù) 這是整個(gè)題目做對(duì)的必備條件 本題是一個(gè)基礎(chǔ)題 第 9頁 共 11頁 20 解答 解 1 M 是 C 上一點(diǎn)且 MF2與 x 軸垂直 M 的橫坐標(biāo)為 c 當(dāng) x c 時(shí) y 即 M c 若直線 MN 的斜率為 即 tan MF1F2 即 b2 a2 c2 即 c2 a2 0 則 即 2e2 3e 2 0 解得 e 或 e 2 舍去 即 e 由題意 原點(diǎn) O 是 F1F2的中點(diǎn) 則直線 MF1與 y 軸的交點(diǎn) D 0 2 是線段 MF1的中點(diǎn) 設(shè) M c y y 0 則 即 解得 y OD 是 MF1F2的中位線 4 即 b2 4a 由 MN 5 F1N 則 MF1 4 F1N 解得 DF1 2 F1N 即 設(shè) N x1 y1 由題意知 y1 0 則 c 2 2 x1 c y1 即 即 代入橢圓方程得 將 b2 4a 代入得 解得 a 7 b 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的性質(zhì) 利用條件建立方程組 利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵 綜合 性較強(qiáng) 運(yùn)算量較大 有一定的難度 21 解答 解 由 f x 得 f x ex e x 2 即 f x 0 當(dāng)且僅當(dāng) ex e x 即 x 0 時(shí) f x 0 函數(shù) f x 在 R 上為增函數(shù) g x f 2x 4bf x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x 則 g x 2 e2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 ex e x 2 2b ex e x 4b 4 2 ex e x 2 ex e x 2 2b ex e x 2 ex e x 2 4 當(dāng) 2b 4 即 b 2 時(shí) g x 0 當(dāng)且僅當(dāng) x 0 時(shí)取等號(hào) 從而 g x 在 R 上為增函數(shù) 而 g 0 0 x 0 時(shí) g x 0 符合題意 當(dāng)b 2時(shí) 若x滿 足2 ex e x 2b 2即 得 此時(shí) g x 0 又由 g 0 0 知 當(dāng)時(shí) g x 0 不符合題意 綜合 知 b 2 得 b 的最大值為 2 1 4142 1 4143 根據(jù) 中 g x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x 第 10頁 共 11頁 為了湊配 ln2 并利用的近似值 故將 ln即代入 g x 的解析式中 得 當(dāng) b 2 時(shí) 由 g x 0 得 從而 令 得 2 當(dāng)時(shí) 由 g x 0 得 得 所以 ln2 的近似值為 0 693 點(diǎn)評(píng) 1 本題三個(gè)小題的難度逐步增大 考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性深層次的把握能力 對(duì)思維的 要求較高 屬壓軸題 2 從求解過程來看 對(duì)導(dǎo)函數(shù)解析式的合理變形至關(guān)重要 因?yàn)檫@直接影響到對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷 是解決本題的一個(gè)重要突破口 3 本題的難點(diǎn)在于如何尋求 ln2 關(guān)鍵是