高中數(shù)學(xué) 222《反證法》同步課件 新人教A版選修12.ppt

1 知識與技能了解反證法是間接證明的一種基本方法 了解反證法的思考過程 特點 2 過程與方法感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用 本節(jié)重點 反證法概念的理解以及反證法的解題步驟 本節(jié)難點 應(yīng)用反證法解決問題 用反證法證明問題 一般由證明p q 轉(zhuǎn)向證明 q r t t與假設(shè)矛盾或與某個真命題矛盾 從而到判斷 q為假 得出q為真 反證法 不是從已知條件去直接證明結(jié)論 而是先否定結(jié)論 在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上進行演繹推理 導(dǎo)出矛盾 從而肯定結(jié)論的真實性 1 反證法證明數(shù)學(xué)命題的四個步驟第一步 分清命題的條件和結(jié)論 第二步 做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè) 第三步 由假設(shè)出發(fā) 應(yīng)用演繹推理方法 推出矛盾的結(jié)果 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因 在于開始所做的假設(shè)不真 于是原結(jié)論成立 從而間接地證明了命題為真 常見的主要矛盾有 1 與數(shù)學(xué)公理 定理 公式 定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾 2 與假設(shè)矛盾 3 與公認的簡單事實矛盾 2 反證法適宜證明存在性 唯一性 帶有 至少有一個 或 至多有一個 等字樣的一些數(shù)學(xué)問題 3 用反證法證明不等式 常用的否定形式有 的反面為 的反面為 及 4 反證法屬于邏輯方法范疇 它的嚴謹體現(xiàn)在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中第一個否定是指 否定結(jié)論 假設(shè) 第二個否定是指 邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè) 反證法屬于 間接證明方法 書寫格式易錯之處是 假設(shè) 錯寫成 設(shè) 1 反證法的定義一般地 假設(shè)原命題不成立 經(jīng)過 最后得出 因此說明假設(shè) 從而證明了原命題 這樣的證明方法叫做反證法 反證法是的一種基本方法 2 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與矛盾 或與矛盾 或與定義 公理 矛盾等 正確的推理 矛盾 錯誤 成立 間接證明 已知條件 假設(shè) 定理 事實 例1 求證 若兩條平行直線a b中的一條與平面 相交 則另一條也與平面 相交 證明 不妨設(shè)直線a與平面 相交 b與a平行 從而要證b也與平面 相交 假設(shè)b不與平面 相交 則必有下面兩種情況 1 b在平面 內(nèi) 由a b a 平面 得a 平面 與題設(shè)矛盾 2 b 平面 則平面 內(nèi)有直線b 使b b 而a b 故a b 因為a 平面 所以a 平面 這也與題設(shè)矛盾 綜上所述 b與平面 只能相交 點評 直接證明直線與平面相交比較困難 故可考慮用反證法 注意該命題的否定形式不止一種 需一一駁倒 才能推出命題結(jié)論正確 已知p3 q3 2 求證p q 2 證明 假設(shè)p q 2 那么p 2 q 所以p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 將p3 q3 2代入消去p 得6q2 12q 6 0 即6 q 1 2 0 這與6 q 1 2 0矛盾 故假設(shè)錯誤 所以p q 2 點評 本題已知為p q的三次冪 而結(jié)論中只有p q的一次冪 若直接證明 應(yīng)考慮到用立方根 同時用放縮法 但很難證 故考慮采用反證法 點評 該命題中有 至少 直接方法很難證明 故可采用反證法 類題解法揭示 當命題中出現(xiàn) 至少 至多 不都 都不 沒有 唯一 等指示性詞語時 宜用反證法 注意 至少有一個 至多有一個 都是 的否定形式分別為 一個也沒有 至少有兩個 不都是 求證 一個三角形中 至少有一個內(nèi)角不小于60 證明 假設(shè) abc的三個內(nèi)角a b c都小于60 即 a 60 b 60 c 60 相加得 a b c 180 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾 所以 a b c都小于60 的假定不能成立 從而 一個三角形中 至少有一個內(nèi)角不小于60 例3 已知 一點a和平面 求證 經(jīng)過點a只能有一條直線和平面 垂直 分析 證明 根據(jù)點a和平面 的位置關(guān)系 分兩種情況證明 1 如圖 點a在平面 內(nèi) 假設(shè)經(jīng)過點a至少有平面 的兩條垂線ab ac 那么ab ac是兩條相交直線 它們確定一個平面 平面 和平面 相交于經(jīng)過點a的一條直線 因為ab 平面 ac 平面 a 所以ab a ac a 在平面 內(nèi)經(jīng)過點a有兩條直線都和直線a垂直 這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾 2 如圖 點a在平面 外 假設(shè)經(jīng)過點a至少有平面 的兩條垂線ab和ac b c為垂足 那么ab ac是兩條相交直線 它們確定一個平面 平面 和平面 相交于直線bc 因為ab 平面 ac 平面 bc ab bc ac bc在平面 內(nèi)經(jīng)過點a有兩條直線都和bc垂直 這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾 綜上 經(jīng)過一點a只能有平面 的一條垂線 已知直線m與直線a和b分別交于a b且a b 求證 過a b m有且只有一個平面 證明 a b 過a b有一個平面 又m a m b b a a b b a b 又a m b m m 即過a b m有一個平面 假設(shè)過a b m還有一個平面 異于平面 則a b a b 這與a b 過a b有且只有一個平面相矛盾 因此 過a b m有且只有一個平面 例4 求證 當x2 bx c2 0有兩個不相等的非零實數(shù)根時 bc 0 證明 假設(shè)bc 0 則有三種情況出現(xiàn) 1 若b 0 c 0 方程變?yōu)閤2 0 x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的根 這與已知方程有兩個不相等的實根矛盾 2 若b 0 c 0 方程變?yōu)閤2 c2 0 但當c 0時x2 c2 0與x2 c2 0矛盾 3 若b 0 c 0 方程變?yōu)閤2 bx 0 方程的根為x1 0 x2 b 這與已知條件 方程有兩個非零實根矛盾 綜上所述 bc 0 一 選擇題1 自然數(shù)a b c中恰有一個偶數(shù) 的否定為 a 自然數(shù)a b c都是奇數(shù)b 自然數(shù)a b c都是偶數(shù)c 自然數(shù)a b c中至少有兩個偶數(shù)d 自然數(shù)a b c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 答案 d 解析 恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況 其一是無偶數(shù) 其二是至少有兩個偶數(shù) 答案 c 3 命題 三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角 的結(jié)論的否定是 a 有兩個內(nèi)角是直角b 有三個內(nèi)角是直角c 至少有兩個內(nèi)角是直角d 沒有一個內(nèi)角是直角 答案 c 解析 最多 與 至少 互為否定 一個 對應(yīng) 兩個 4 a b c d的必要不充分條件是 a a cb b dc a c且b dd a c或b d 答案 d 解析 a b是既不充分也不必要條件 c是充分不必要條件 只有d正確 可用反證法證明 若a c或b d不成立 則a c且b d 相加得 a b c d 與a b c d矛盾 故條件是必要的 又取a 10 b 1 c 4 d 8知條件是不充分的 二 填空題5 有下列命題 空間四點中有三點共線 則這四點必共面 空間四點 其中任何三點不共線 則這四點不共面 垂直于同一直線的兩直線平行 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形 其中真