高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案.docx

等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【教學(xué)目標(biāo)】1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)： 理解等比數(shù)列的概念并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.真題再現(xiàn);1.(2016全國，17)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.(1)證明由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.2.(2014全國，17)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明.證明(1)由an13an1得an13又a1，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以.于是1.所以.知識梳理：知識點(diǎn)1等比數(shù)列的有關(guān)概念1定義；如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，公比的表達(dá)式為q.2等比中項(xiàng)；如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.知識點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式1通項(xiàng)公式：ana1qn1amqnm.2前n項(xiàng)和公式：Sn1必會結(jié)論；等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若mnpq2k，則amanapaqa.(2)若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，|an|，a，anbn，(0)仍然是等比數(shù)列(3)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(4)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，當(dāng)公比為1時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列(5)若等比數(shù)列an共2k(kN*)項(xiàng)，則q.2必清誤區(qū)；(1)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q1與q1分類討論，與等差數(shù)列不同(2)由an1qan(q0)并不能斷言an是等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算1(2015全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42 C63 D84【解析】a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故選B.【答案】B2已知等比數(shù)列an中，a22，a5128.(1)求通項(xiàng)an；(2)若bnlog2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn360，求n的值【解】(1)設(shè)an的公比為q，由a22，a5128，及a5a2q3，得1282q3，所以q4，所以ana2qn224n222n3.(2)因?yàn)閎nlog222n32n3，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以Snn(1)2n22n，令n22n360，得n120，n218(舍)，故n20為所求歸納：解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法1方程的思想；等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解2數(shù)形結(jié)合的思想；通項(xiàng)ana1qn1可化為anqn，因此an是關(guān)于n的函數(shù)，點(diǎn)(n，an)是曲線yqx上一群孤立的點(diǎn)3分類討論的思想；當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Snna1；當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)考點(diǎn)二: 等比數(shù)列的判定與證明(1)(2014重慶高考)對任意等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是()Aa1，a3，a9成等比數(shù)列 Ba2，a3，a6成等比數(shù)列Ca2，a4，a8成等比數(shù)列 Da3，a6，a9成等比數(shù)列(2)(2014全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.證明：是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；證明：.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閝3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列故選D.【答案】D(2)由an13an1得an13.又a1，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項(xiàng)公式為an.由知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以.于是1.所以.跟蹤訓(xùn)練：1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列【解】(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a1212；當(dāng)n2時(shí)，a12a2(a1a2)4，a24；當(dāng)n3時(shí)，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)證明：a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，得nan(n1)Sn(n2)Sn12nanSn2Sn12，Sn2Sn120，即Sn2Sn12.Sn22(Sn12)S1240.Sn120，2.即Sn2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列歸納：等比數(shù)列的判定方法1定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列2等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列3通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成ancqn1(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列4前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列考點(diǎn)三: 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(1)(2014廣東高考)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則_.【解析】(1)因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)法一S6S312，an的公比q1.由得q3，.法二因?yàn)閍n是等比數(shù)列，所以S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即(S6S3)2S3(S9S6)，將S6S3代入得.【答案】(1)50(2)跟蹤訓(xùn)練：1在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a31，a51，則a2a2a6a3a7()A4B6C8D84【解析】在等比數(shù)列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28.【答案】C2各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2，S3n14，則S4n_.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比數(shù)列設(shè)S2nx，則2，x2,14x成等比數(shù)列，則有(x2)22(14x)，解得x6，即S2n6，從而數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則S4nS3n2416，因此S4n30.【答案】30歸納：等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形；(2)等比中項(xiàng)的變形；(3)前n項(xiàng)和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口。學(xué)生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記