12-3高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六版本.doc

習(xí)題12-3 1. 求下列齊次方程的通解: (1); 解 原方程變?yōu)? 令, 則原方程化為 , 即, 兩邊積分得 , 即, 將代入上式得原方程的通解 , 即. (2); 解 原方程變?yōu)? 令, 則原方程化為 , 即, 兩邊積分得 ln(ln u-1)=ln x+ln C, 即u=eCx+1, 將代入上式得原方程的通解 y=xeCx+1. (3)(x2+y2)dx-xydy=0; 解 這是齊次方程. 令, 即y=xu, 則原方程化為 (x2+x2u2)dx-x2u(udx+xdu)=0, 即, 兩邊積分得 u2=ln x2+C, 將代入上式得原方程的通解 y2=x2(ln x2+C). (4)(x3+y3)dx-3xy2dy=0; 解 這是齊次方程. 令, 即y=xu, 則原方程化為 (x3+x3u3)dx-3x3u2(udx+xdu)=0, 即, 兩邊積分得 , 即, 將代入上式得原方程的通解 x3-2y3=Cx . (5); 解 原方程變?yōu)? 令, 則原方程化為 , 即,兩邊積分得 3ln(shu)=2ln x+ln C, 即sh3u=Cx2, 將代入上式得原方程的通解 . (6). 解 原方程變?yōu)? 令, 則原方程化為 , 即,分離變量得 , 兩邊積分得 ln(u+2eu)=-ln y+ln C, 即y(u+2eu)=C, 將代入上式得原方程的通解 , 即. 2. 求下列齊次方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解: (1)(y2-3x2)dy+2xydx=0, y|x=0=1; 解 這是齊次方程. 令, 即y=xu, 則原方程化為 (x2u2-3x2)(udx+xdu)+2x2udx=0, 即 , 或兩邊積分得 -3ln |u|+ln|u+1|+ln|u-1|=ln|x|+ln|C|, 即u2-1=Cxu3, 將代入上式得原方程的通解 y2-x2=Cy3. 由y|x=0=1得C=1, 故所求特解為y2-x2=y3. (2), y|x=1=2; 解 令, 則原方程化為 , 即, 兩邊積分得 , 將代入上式得原方程的通解 y2=2x2(ln x+C). 由y|x=1=2得C=2, 故所求特解為y2=2x2(ln x+2). (3)(x2+2xy-y2)dx+(y2+2xy-x2)dy=0, y|x=1=1. 解 這是齊次方程. 令, 即y=xu, 則原方程化為 (x2+2x2u-x2u2)dx+(x2u2+2x2u-x2)(udx+xdu)=0,即 , 或 , 兩邊積分得 ln|u+1|-ln(u2+1)=ln|x|+ln|C|, 即u+1=Cx(u2+1), 將代入上式得原方程的通解 x+y=C(x2+y2). 由y|x=1=1得C=1, 故所求特解為x+y=(x2+y2). 3. 設(shè)有連結(jié)點(diǎn)O(0, 0)和A(1, 1)的一段向上凸的曲線(xiàn)弧, 對(duì)于上任一點(diǎn)P(x, y), 曲線(xiàn)弧與直線(xiàn)段所圍圖形的面積為x2, 求曲線(xiàn)弧的方程. 解 設(shè)曲線(xiàn)弧的方程為y=y(x). 由題意得 , 兩邊求導(dǎo)得 , 即 . 令, 則有 , 即, 兩邊積分得 u=-4ln x+C .將代入上式得方程