（試題 試卷 真題）換元法專題

解題方法及提分突破訓(xùn)練：換元法專題一真題鏈接1.（2011恩施州）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0時(shí)，我們可以將x-1看成一個(gè)整體，設(shè)x-1=y，則原方程可化為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，即x-1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時(shí)，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解為：x1=2，x2=5則利用這種方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解為（）Ax1=1，x2=3 Bx1=-2，x2=3Cx1=-3，x2=-1 Dx1=-1，x2=-22（2005溫州）用換元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6時(shí)，如果設(shè)x2+x=y，那么原方程可變形為（）Ay2+y-6=0 By2-y-6=0 Cy2-y+6=0 Dy2+y+6=03.（2005蘭州）已知實(shí)數(shù)x滿足 的值是（）A1或-2 B-1或2 C1 D-24已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，則（x2+y2）的值是（）二名詞釋義概念：換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個(gè)部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。經(jīng)驗(yàn)：換元法，可以運(yùn)用于因式分解、解方程或方程組等方面。換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，對(duì)于一些較繁較難的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)問題的特點(diǎn)，進(jìn)行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，現(xiàn)舉例說明.詳解：換元法主要有雙換元、整體換元、均值換元，倒數(shù)換元幾種形式。下面結(jié)合例題一一講解。三典題事例1.整體換元例1 分解因式： 解：設(shè)，則原式評(píng)注：此題還可以設(shè)，或，或。運(yùn)用換元法分解因式,是將原多項(xiàng)式中的某一部分巧用一個(gè)字母進(jìn)行代換,從而使原多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)簡化,進(jìn)而便于分解因式.2雙換元 例2 分解因式：解：設(shè)，兩式相加，則原式例3 解方程組解：設(shè)，.原方程組可化為解得即解得原方程組的解為而所謂雙換元法，就是根據(jù)多項(xiàng)式的特征用兩個(gè)字母(元)分別代換原多項(xiàng)式中的代數(shù)式，3.均值換元例4 解方程組解：由可設(shè)，即，代入，得.原方程組的解為說明：本題若按常規(guī)設(shè)法，可設(shè)，此時(shí)，由于出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，給運(yùn)算帶來麻煩，因此設(shè)，此時(shí)，沒有出現(xiàn)分類，使運(yùn)算變得簡捷.換元的作用：降次、化分式方程為整式方程、化繁為簡。 4. 系數(shù)對(duì)稱方程換元 例5 解方程： 分析：方程的系數(shù)相等，上面方程的系數(shù)是對(duì)稱的，可以通過變形后，換元： 變形：， ， 設(shè)， 得，可解出方程。5. 倒數(shù)換元 例6 分解因式 解：原式 四鞏固強(qiáng)化：1.分解因式：2.分解因式:.3.解方程： ；4. 解方程：.5.解方程:.6.解方程組: 7.計(jì)算:8.解方程組9.解方程組10.解方程組11.解方程組12. 解方程。 13解方程。代入，求方程的解，并檢驗(yàn)。五參考答案真題鏈接答案：1.解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，設(shè)y=2x+5，方程可以變?yōu)?y2-4y+3=0，y1=1，y2=3，當(dāng)y=1時(shí)，即2x+5=1，解得x=-2；當(dāng)y=3時(shí)，即2x+5=3，解得x=-1，所以原方程的解為：x1=-2，x2=-1故選D2.解：把x2+x整體代換為y，y2+y=6，即y2+y-6=0故選A3.4.解：設(shè)x2+y2=t則由原方程，得t2-t-12=0，（t+3）（t-4）=0，t+3=0或t-4=0，解得，t=-3或t=4；又t0，t=4故選B鞏固強(qiáng)化答案：1.解：原式 取“均值”，設(shè) 原式 2.解:設(shè),則原式= = = = =.3.解: 原方程可化為: . 設(shè),則方程化為: . 解方程,得 . 當(dāng)時(shí)， . 解得,. 當(dāng)時(shí), . 解得,或. 經(jīng)檢驗(yàn),知,都是原方程的解. 所以,原方程的解為,.4.解：原方程可化為: . 設(shè),則方程化為: . 解方程,得 . 當(dāng)時(shí), . 解得,. 當(dāng)時(shí), . 此方程無解. 經(jīng)檢驗(yàn),知都是原方程的解. 所以,原方程的解為.5.解:原方程可化為: . 即. 設(shè),則方程化為: . 解得,. 當(dāng)時(shí), . 解方程,得 . 當(dāng)時(shí), . , 方程無實(shí)數(shù)根. 因此,原方程的根為.6.解:設(shè),則原方程組可化為: 由(2)得,. (3) 將(3)代入(1),得 . 解得,(不能為負(fù),舍去). . 得 解得, 經(jīng)檢驗(yàn),知是原方程組的解. 所以,原方程組的解為.7.解:設(shè),則 原式= = =.8.解：由，得.設(shè)，則，代入，得.，.原方程組的解是9.解：設(shè)，.原方程組可化為解得即解得原方程組的解為10.解：設(shè)原方程組可化為 解得 ，解得11.解：由可設(shè)，即，代