信號與系統(tǒng)第二章.ppt

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 即對于給定的激勵 根據(jù)描述系統(tǒng)響應與激勵之間的微分方程求的其響應的方法 歸結(jié)為 建立并求解線性微分方程 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間t 故稱為時域分析法 這種方法比較直觀 物理概念清楚 是學習各種變換域分析法的基礎(chǔ) 2 1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 一 微分方程的經(jīng)典解 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 微分方程的經(jīng)典解 y t 完全解 yh t 齊次解 yp t 特解 齊次解是齊次微分方程y n an 1y n 1 a1y 1 t a0y t 0的解 yh t 的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定 例描述某系統(tǒng)的微分方程為y t 5y t 6y t f t 求 1 當f t 2e t t 0 y 0 2 y 0 1時的全解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān) P41表2 1 2 2 齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān) 而與激勵f t 的函數(shù)形式無關(guān) 稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應 特解的函數(shù)形式由激勵確定 稱為強迫響應 解 1 特征方程為 2 5 6 0其特征根 1 2 2 3 齊次解為yh t C1e 2t C2e 3t由表2 2可知 當f t 2e t時 其特解可設為yp t Pe t將其代入微分方程得Pe t 5 Pe t 6Pe t 2e t解得P 1于是特解為yp t e t全解為 y t yh t yp t C1e 2t C2e 3t e t其中待定常數(shù)C1 C2由初始條件確定 y 0 C1 C2 1 2 y 0 2C1 3C2 1 1解得C1 3 C2 2最后得全解y t 3e 2t 2e 3t e t t 0 二 關(guān)于0 和0 初始值 若輸入f t 是在t 0時接入系統(tǒng) 則確定待定系數(shù)Ci時用t 0 時刻的初始值 即y j 0 j 0 1 2 n 1 而y j 0 包含了輸入信號的作用 不便于描述系統(tǒng)的歷史信息 在t 0 時 激勵尚未接入 該時刻的值y j 0 反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關(guān) 稱這些值為初始狀態(tài)或起始值 通常 對于具體的系統(tǒng) 初始狀態(tài)一般容易求得 這樣為求解微分方程 就需要從已知的初始狀態(tài)y j 0 設法求得y j 0 下列舉例說明 例 描述某系統(tǒng)的微分方程為y t 3y t 2y t 2f t 6f t 已知y 0 2 y 0 0 f t t 求y 0 和y 0 解 將輸入f t t 代入上述微分方程得y t 3y t 2y t 2 t 6 t 1 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應的動態(tài)方程式的恒等 方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導數(shù)必須相等 那么 上式對于t 0 也成立 在0 t 0 區(qū)間等號兩端 t 項的系數(shù)應相等 由于等號右端為2 t 故y t 應包含沖激函數(shù) 從而y t 在t 0處將發(fā)生躍變 即y 0 y 0 但y t 不含沖激函數(shù) 否則y t 將含有 t 項 由于y t 中不含 t 但含有 t 故y t 在t 0處是連續(xù)的 故y 0 y 0 2 對式 1 兩端積分有 由于積分在無窮小區(qū)間 0 0 進行的 且y t 在t 0連續(xù) 故 于是由上式得 y 0 y 0 3 y 0 y 0 2考慮y 0 y 0 2 所以y 0 y 0 2 y 0 y 0 2 2 由上可見 當微分方程等號右端含有沖激函數(shù) 及其各階導數(shù) 時 響應y t 及其各階導數(shù)中 有些在t 0處將發(fā)生躍變 但如果右端不含時 則不會躍變 三 零輸入響應和零狀態(tài)響應 y t yzi t yzs t 也可以分別用經(jīng)典法求解 注意 對t 0時接入激勵f t 的系統(tǒng) 初始值yzi j 0 yzi j 0 j 0 1 2 n 1 的計算 y j 0 yzi j 0 yzs j 0 y j 0 yzi j 0 yzs j 0 對于零輸入響應 由于激勵為零 故有yzi j 0 yzi j 0 y j 0 對于零狀態(tài)響應 在t 0 時刻激勵尚未接入 故應有yzs j 0 0yzs j 0 的求法下面舉例說明 例 描述某系統(tǒng)的微分方程為P50y t 3y t 2y t 2f t 6f t 已知y 0 2 y 0 0 f t t 求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應 解 1 零輸入響應yzi t 激勵為0 故yzi t 滿足yzi t 3yzi t 2yzi t 0yzi 0 yzi 0 y 0 2yzi 0 yzi 0 y 0 0該齊次方程的特征根為 1 2 故yzi t Czi1e t Czi2e 2t代入初始值并解得系數(shù)為Czi1 4 Czi2 2 代入得yzi t 4e t 2e 2t t 0 2 零狀態(tài)響應yzs t 滿足yzs t 3yzs t 2yzs t 2 t 6 t 并有yzs 0 yzs 0 0由于上式等號右端含有 t 故yzs t 含有 t 從而yzs t 躍變 即yzs 0 yzs 0 而yzs t 在t 0連續(xù) 即yzs 0 yzs 0 0 積分得 yzs 0 yzs 0 3 yzs 0 yzs 0 2 因此 yzs 0 2 yzs 0 2yzs 0 yzs 0 0 對t 0時 有yzs t 3yzs t 2yzs t 6不難求得其齊次解為Czs1e t Czs2e 2t 其特解為常數(shù)3 于是有yzs t Czs1e t Czs2e 2t 3代入初始值求得yzs t 4e t e 2t 3 t 0 2 2沖激響應和階躍響應 一 沖激響應 由單位沖激函數(shù) t 所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應 簡稱沖激響應 記為h t h t T 0 t 例1描述某系統(tǒng)的微分方程為y t 5y t 6y t f t 求其沖激響應h t 解根據(jù)h t 的定義有h t 5h t 6h t t h 0 h 0 0先求h 0 和h 0 因方程右端有 t 故利用沖激平衡法 h t 中含 t h t 含 t h 0 h 0 h t 在t 0連續(xù) 即h 0 h 0 積分得 h 0 h 0 5 h 0 h 0 6 1 考慮h 0 h 0 由上式可得h 0 h 0 0 h 0 1 h 0 1對t 0時 有h t 5h t 6h t 0故系統(tǒng)的沖激響應為一齊次解 微分方程的特征根為 2 3 故系統(tǒng)的沖激響應為h t C1e 2t C2e 3t t 代入初始條件求得C1 1 C2 1 所以h t e 2t e 3t t 例2描述某系統(tǒng)的微分方程為y t 5y t 6y t f t 2f t 3f t 求其沖激響應h t 解 選新變量y1 t 它滿足y1 t 5y1 t 6y1 t f t 設h1 t 為沖激響應 得到系統(tǒng)的沖激響應h t h1 t 2h1 t 3h1 t 式1求h1 同例1 得其沖激響應h1 t e 2t e 3t t 再求h1 t h1 t 并帶入式1 等到系統(tǒng)的沖激響應為h t t 3e 2t 6e 3t t 二 階躍響應 g t T t 0 由于 t 與 t 為微積分關(guān)系 故 LTI系統(tǒng) 由單位階躍函數(shù) t 所引起零狀態(tài)響應 稱為單位階躍響應 簡稱階躍響應 用g t 表示 當激勵f t t 時 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應g t 滿足 由于等號右端只含 t 故除g n t 外 其他各階導數(shù)均連續(xù) 2 3卷積積分 一 信號的時域分解與卷積積分 1 信號的時域分解 1 預備知識 問f1 t p t 直觀看出 2 任意信號分解 0 號脈沖高度f 0 寬度為 用p t 表示為 f 0 p t 1 號脈沖高度f 寬度為 用p t 表示為 f p t 1 號脈沖高度f 寬度為 用p t 表示為 f p t 這些脈沖的和近似的等于f t 2 任意信號作用下的零狀態(tài)響應 根據(jù)h t 的定義 t h t 由時不變性 t h t f t 由齊次性 f h t 由疊加性 f t yzs t 卷積積分 3 卷積積分的定義 已知定義在區(qū)間 上的兩個函數(shù)f1 t 和f2 t 則定義積分 為f1 t 與f2 t 的卷積積分 簡稱卷積 記為f t f1 t f2 t 注意 積分是在虛設的變量 下進行的 為積分變量 t為參變量 結(jié)果仍為t的函數(shù) 二 卷積的圖解法 卷積過程可分解為四步 1 換元 t換為 得f1 f2 2 反轉(zhuǎn)平移 由f2 反轉(zhuǎn) f2 右移t f2 t 3 乘積 f1 f2 t 4 積分 從 到 對乘積項積分 注意 t為參變量 下面舉例說明 例f t h t 如圖所示 求yzs t h t f t 解 采用圖形卷積 f t f 反折 f 平移t t 0時 f t 向左移 f t h 0 故yzs t 0 0 t 1時 f t 向右移 1 t 2時 3 t時 f t h 0 故yzs t 0 2 t 3時 0 圖解法一般比較繁瑣 但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的 確定積分的上下限是關(guān)鍵 例 f1 t f2 t 如圖所示 已知f t f2 t f1 t 求f 2 f1 f1 2 解 1 換元 2 f1 得f1 3 f1 右移2得f1 2 4 f1 2 乘f2 5 積分 得f 2 0 面積為0 注意 1 積分上下限的確定2 不是所有函數(shù)都可以進行卷積積分 一般 兩個函數(shù)均有始的 一定可積 否則 視情況而定 收斂函數(shù)可積 2 4卷積積分的性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學運算 它有許多重要的性質(zhì) 或運算規(guī)則 靈活地運用它們能簡化卷積運算 下面討論均設卷積積分是收斂的 或存在的 一 卷積代數(shù) 滿足乘法的三律 交換律 f1 t f2 t f2 t f1 t 2 分配律 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t 3 結(jié)合律 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t 二 奇異函數(shù)的卷積特性 1 f t t t f t f t P69 證 f t t t0 f t t0 注 與f t t 的區(qū)別 2 f t t f t 證 f t n t f n t 3 f t t t t t t 三 卷積的微積分性質(zhì) 1 證 上式 n t f1 t f2 t n t f1 t f2 t f1 n t f2 t 2 證 上式 t f1 t f2 t t f1 t f2 t f1 1 t f2 t 3 在f1 0或f2 1 0的前提下 f1 t f2 t f1 t f2 1 t 例1 f1 t 1 f2 t e t t 求f1 t f2 t 解 通常復雜函數(shù)放前面 代入定義式得f2 t f1 t 注意 套用f1 t f2 t f1 t f2 1 t 0 f2 1 t 0顯然是錯誤的 例2 f1 t 如圖 f2 t e t t 求f1 t f2 t 解法一 f1 t f2 t f1 t f2 1 t f1 t t t 2 f1 t f2 t 1 e t t 1 e t 2 t 2 解 f1 t t t 2 f1 t f2 t t f2 t t 2 f2 t t f2 t f2 1 t 四 卷積的時移特性 若f t f1 t f2 t 則f1 t t1 f2 t t2 f1 t t1 t2 f2 t f1 t f2 t t1 t2 f t t1 t2 前例 f1 t 如圖 f2 t e t t 求f1 t f2 t 利用時移特性 有 t 2 f2 t f2 1 t 2 f1 t f2 t 1 e t t 1 e t 2 t 2 例 f1 t f2 t 如圖 求f1 t f2 t 解 f