【步步高】高三數(shù)學一輪 13.4 數(shù)學歸納法課時檢測 理 （含解析）北師大版.doc

13.4 數(shù)學歸納法一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，在第二步時，正確的證法是()a假設nk(kn)，證明nk1命題成立b假設nk(k是正奇數(shù))，證明nk1命題成立c假設n2k1(kn)，證明nk1命題成立d假設nk(k是正奇數(shù))，證明nk2命題成立解析a、b、c中，k1不一定表示奇數(shù)，只有d中k為奇數(shù)，k2為奇數(shù)答案d2用數(shù)學歸納法證明“2nn21 對于nn0 的正整數(shù) n 都成立”時，第一步證明中的起始值 n0 應取() a2 b3 c5 d6解析 分別令 n02,3,5, 依次驗證即可答案 c3對于不等式n1(nn*)，某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kn*且k1)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，當nk1時，不等式成立，則上述證法()a過程全部正確bn1驗得不正確c歸納假設不正確d從nk到nk1的推理不正確解析在nk1時，沒有應用nk時的假設，不是數(shù)學歸納法答案d4.利用數(shù)學歸納法證明“1aa2an1(a1，nn*)”時，在驗證n1成立時，左邊應該是()a 1 b 1ac 1aa2 d 1aa2a3解析當n1時，左邊1aa2，故選c.答案 c5用數(shù)學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上()ak21b(k1)2c. d(k21)(k22)(k23)(k1)2解析當nk時，左側123k2，當nk1時，左側123k2(k21)(k1)2，當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案d6下列代數(shù)式(其中kn*)能被9整除的是()a667k b27k1c2(27k1) d3(27k)解析 (1)當k1時，顯然只有3(27k)能被9整除(2)假設當kn(nn*)時，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.這就是說，kn1時命題也成立由(1)(2)可知，命題對任何kn*都成立答案 d7用數(shù)學歸納法證明1，則當nk1時，左端應在nk的基礎上加上()a. bc. d.解析當nk時，左側1，當nk1時，左側1.答案c二、填空題8對大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根據(jù)上述分解規(guī)律，若n213519, m3(mn*)的分解中最小的數(shù)是21，則mn的值為_解析 依題意得 n2100, n10. 易知 m321m2, 整理得(m5)(m4)0, 又 mn*, 所以 m5, 所以mn15.答案 159.用數(shù)學歸納法證明：；當推證當nk1等式也成立時，用上歸納假設后需要證明的等式是.解析 當nk1時，故只需證明即可.答案 10如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(nn*)行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是_111121133114641解析所有數(shù)字之和sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案2n2n11在數(shù)列an中，a1且snn(2n1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式是_解析當n2時，a1a26a2，即a2a1；當n3時，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；當n4時，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an12用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，當?shù)诙郊僭On2k1(kn*)命題為真時，進而需證n_時，命題亦真解析 n為正奇數(shù)，假設n2k1成立后，需證明的應為n2k1時成立答案 2k1三、解答題13用數(shù)學歸納法證明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.證明 (1)當n1時，左邊121，右邊(1)01，原等式成立(2)假設nk(kn*，k1)時，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，當nk1時，則有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，nk1時，等式也成立，由(1)(2)得對任意nn*有12223242(1)n1n2(1)n1.14已知數(shù)列an中，a1a(a2)，對一切nn*，an0，an1.求證：an2且an1an.證明法一an10，an1，an220，an2.若存在ak2，則ak12，由此可推出ak22，a12，與a1a2矛盾，故an2.an1an0，an1an.法二(用數(shù)學歸納法證明an2)當n1時，a1a2，故命題an2成立；假設nk(k1且kn*)時命題成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1時命題也成立綜上所述，命題an2對一切正整數(shù)成立an1an的證明同上15已知數(shù)列an中，a11，an1c.(1)設c，bn，求數(shù)列bn的通項公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范圍解析(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首項為，公比為4的等比數(shù)列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用數(shù)學歸納法證明：當c2時，anan1.()當n1時，a2ca1，命題成立；()設當nk(k1且kn*)時，akak1，則當nk1時，ak2ccak1.故由()()知當c2時，anan1.當c2時，因為can1an，所以acan10有解，所以an，令，當2c時，an3.當c時，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)當nlog3時，an13，an13，與已知矛盾因此c不符合要求所以c的取值范圍是.16是否存在常數(shù)a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nn*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由解析假設存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nn*都成立當n1時，a(bc)1；當n2時，2a(4bc)6；當n3時，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當n1時，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立假設nk(kn*)時等式成立，即122232k2(k1)22212k(2