福建省2019屆高三數(shù)學(xué)3月質(zhì)量檢查測(cè)試試題文（含解析）.docx

福建省2019屆高三數(shù)學(xué)3月質(zhì)量檢查測(cè)試試題 文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，則（）A. 0B. 2，3C. 1，2，3D. 0，1，2，3【答案】B【解析】【分析】可求出集合A，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可【詳解】解：；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2.若z為純虛數(shù)，且滿足，則a（）A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0列方程即可得解【詳解】解：由，得，z為純虛數(shù)，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）A. 82B. 97C. 100D. 115【答案】C【解析】【分析】先求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得，即可求解，得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，所以，解得，又由，所以，解得，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.在普通高中新課程改革中，某地實(shí)施“3+1+2”選課方案該方案中“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)，假設(shè)每門(mén)學(xué)科被選中的可能性相等，那么政治和地至少有一門(mén)被選中的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本題可從反面思考，兩門(mén)至少有一門(mén)被選中的反面是兩門(mén)都沒(méi)有被選中，兩門(mén)都沒(méi)被選中包含1個(gè)基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.【詳解】設(shè)兩門(mén)至少有一門(mén)被選中，則兩門(mén)都沒(méi)有選中，包含1個(gè)基本事件，則，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中合理應(yīng)用對(duì)立事件和古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，進(jìn)行模擬運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，模擬程序框圖，可得：，滿足判斷條件；，滿足判斷條件；，滿足判斷條件，不滿足判斷條件，輸出結(jié)果，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的識(shí)別與計(jì)算結(jié)果的輸出問(wèn)題，其中解答中利用模擬程序的運(yùn)算，逐次求解判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離等于2，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得a和b的關(guān)系，由焦點(diǎn)到漸近線的距離得，解得a和b，問(wèn)題得解【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為：，其漸近線方程為：依題意可知，解得，雙曲線C的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律，求得平移后的解析式，再令2xk，求得結(jié)論【詳解】將函數(shù)ysin（2x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 ysin（2x），令2xk，求得x，kZ，故函數(shù)的對(duì)稱中心為（，0），kZ，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題8.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以，又由，所以，又由，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.在正方體中，O為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，連接，找出異面直線與所成角，解三角形即可【詳解】解：如圖，連接，則，即為異面直線與所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，由余弦定理可得：即異面直線與所成角的余弦值為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，還考查了余弦定理，是中檔題10.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為,以為圓心,為半徑的圓與交于兩點(diǎn).若為直角三角形,則的離心率為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如圖所示，PF1F2為直角三角形，可得PF1F290，可得|PF1|2c，|PF22c，利用橢圓的定義可得2c+2c2a，即可得出【詳解】如圖所示，PF1F2為直角三角形，PF1F290，|PF1|2c，|PF22c，則2c+2c2a，解得e1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與圓的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11.已知函數(shù)，且，則a的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而分析可得為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，據(jù)此可得原不等式等價(jià)于，即，解不等式組即可。【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又，則函數(shù)為奇函數(shù)，分析易得，在上為增函數(shù)，則有，解得：，即a的取值范圍為；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，還考查了函數(shù)定義域知識(shí)及奇函數(shù)判斷，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。12.數(shù)列中，且，則數(shù)列前2019項(xiàng)和為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項(xiàng)求和法即可得解【詳解】解：，整理得：，又，可得：則數(shù)列前2019項(xiàng)和為：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量與的夾角為，|1，且（），則實(shí)數(shù)_.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出【詳解】向量與的夾角為，|1，且；2故答案為：2【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件14.若滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)【答案】.【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論【詳解】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由，得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，由，得此時(shí)故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平移求得目標(biāo)函數(shù)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題。15.如圖某三棱錐的三視圖都是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)【答案】.【解析】【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為正三棱錐，且兩兩互相垂直，再由補(bǔ)形法求得正三棱錐外接球的半徑，問(wèn)題得解【詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為正三棱錐，且兩兩互相垂直，把該三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，該三棱錐外接球的半徑為，外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖求面積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，考查了利用補(bǔ)形法求多面體外接球的表面積，是中檔題16.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)【答案】.【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求最值，再作出其圖象，然后對(duì)a討論，結(jié)合圖象進(jìn)行分析、求解【詳解】解：函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且最大值為，當(dāng)時(shí)，易知不滿足題意；當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示，由圖象可知，綜上可知，a的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，還考查了分類思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程成演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求A；（2）若，點(diǎn)D在邊上，求的面積【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得：，結(jié)合范圍，可得，進(jìn)而可求A的值（2）在ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形內(nèi)角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面積公式即可計(jì)算得解【詳解】（1），由正弦定理可得：，可得：，可得：，可得：，可得：（2），點(diǎn)D在邊上，在中，由正弦定理，可得：，可得：，可得：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題18.如圖，在直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，且（1）求證：；（2）求M到平面的距離【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)證明平面得出；（2）利用相似比求出，根據(jù)計(jì)算M到平面的距離【詳解】（1）證明：連接，平面，平面，是等邊三角形，又，平面，又平面，又，平面，平面，（2）解：，即，解得又，設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，設(shè)M到平面的距離為d，則，即M到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，還考查了轉(zhuǎn)化思想及空間思維能力，考查了棱錐的體積計(jì)算及等體積法求點(diǎn)面距離，屬于中檔題19.“工資條里顯紅利，個(gè)稅新政入民心”隨著2019年新年鐘聲的敲響，我國(guó)自1980年以來(lái)，力度最大的一次個(gè)人所得R（簡(jiǎn)稱個(gè)稅）改革迎來(lái)了全面實(shí)施的階段某IT從業(yè)者為了解自己在個(gè)稅新政下能享受多少稅收紅利，繪制了他在26歲35歲（2009年2018年）之間各年的月平均收入y（單位：千元）的散點(diǎn)圖：注：年齡代碼110分別對(duì)應(yīng)年齡2635歲（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程；（2）如果該IT從業(yè)者在個(gè)稅新政下的專項(xiàng)附加扣除為3000元/月，試?yán)茫?）的結(jié)果，將月平均收入視為月收入，根據(jù)新舊個(gè)稅政策，估計(jì)他36歲時(shí)每個(gè)月少繳交的個(gè)人所得稅附注：1參考數(shù)據(jù)：，其中；取2參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為3新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額（含稅）計(jì)算方法及稅率表如下：舊個(gè)稅稅率表（個(gè)稅起征點(diǎn)3500元）新個(gè)稅稅率表（個(gè)稅起征點(diǎn)5000元）繳稅級(jí)數(shù)每月應(yīng)納稅所得額（含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)稅率（%）每月應(yīng)納稅所得額（含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除稅率（%）1不超過(guò)1500元的都分3不超過(guò)3000元的都分32超過(guò)1500元至4500元的部分10超過(guò)3000元至12000元的部分103超過(guò)4500元至9000元的部分20超過(guò)12000元至25000元的部分204超過(guò)9000元至35000元的部分25超過(guò)25000元至35000元的部分255超過(guò)35000元至55000元的部分30超過(guò)35000元至55000元的部分30【答案】（1）；（2）2130元.【解析】【分析】（1）利用已知求出y關(guān)于t的線性回歸方程，從而得出y關(guān)于x的回歸方程；（2）估計(jì)36歲時(shí)的收入和兩種政策對(duì)應(yīng)的個(gè)稅，得出結(jié)論【詳解】解：（1），則y關(guān)于x的回歸方程為：（2）該從業(yè)者36歲時(shí)的月收入約為元，若按舊個(gè)稅政策，需繳納個(gè)稅為：，若按新個(gè)稅政策，需繳納個(gè)稅為：，他36歲時(shí)每個(gè)月少繳交的個(gè)人所得稅2130元【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回歸方程的求解及數(shù)據(jù)估計(jì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題20.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，的面積為.（1）求方程；（2）若，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）把代入拋物線方程可得：，解得根據(jù)的面積為列方程，解得，問(wèn)題得解（2）假設(shè)存在定點(diǎn)S，使得設(shè)，線段的中點(diǎn)為由，可得，化為：當(dāng)軸時(shí)滿足題意，因此點(diǎn)S必然在x軸上設(shè)直線的方程為：與拋物線方程聯(lián)立可得：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得可得線段的垂直平分線方程，問(wèn)題得解【詳解】解：（1）把代入拋物線方程，可得：，解得的面積為，解得E的方程為：（2）假設(shè)存在定點(diǎn)S，使得設(shè)，線段的中點(diǎn)為由拋物線定義可得：，整理得：當(dāng)軸時(shí)滿足題意，因此點(diǎn)S必然在x軸上設(shè)直線的方程為：聯(lián)立，化為：，線段的垂直平分線方程為：，令，可得：存在定點(diǎn)，使得【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力、方程思想，屬于難題21.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】【分析】（1）時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且即可得出的單調(diào)性（2）令由對(duì)a分類討論，即可得出的單調(diào)性，極值與最值，問(wèn)題得解【詳解】（1）時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）令由時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)且時(shí)，不滿足 恒成立。時(shí)，令，可得，可得可得：時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，而只有滿足條件【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值、考查了方程與不等式的解法、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；（2）把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得【詳解】（1）由2得2+2sin22，將2x2+y2，ysin代入