2016年小學(xué)四年級奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程精講內(nèi)附參考答案

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 1 - 2016 年 小學(xué) 四年級奧林匹克 數(shù) 學(xué) 基礎(chǔ)教程 精講內(nèi)附參考答案 第 1講 速算與巧算（一） 第 2講 速算與巧算（二） 第 3講 高斯求和 第 4講 4， 8， 9整除的數(shù)的特征 第 5講 棄九法 第 6講 數(shù)的整除性（二） 第 7講 找規(guī)律（一） 第 8講 找規(guī)律（二） 第 9講 數(shù)字謎（一） 第 10 講 數(shù)字謎（二） 第 11 講 歸一問題與歸總問題 第 12 講 年齡問題 第 13 講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 第 14 講 盈虧問題與比較法（一） 第 15 講 盈虧問題與比較法（二） 第 16 講 數(shù)陣圖（一） 第 17 講 數(shù)陣圖（二） 第 18 講 數(shù)陣圖（三） 第 19 將 乘法原理 第 20 講 加法原理（一） 第 21 講 加法原理（二） 第 22 講 還原問題（一） 第 23 講 還原問題（二） 第 24 講 頁碼問題 第 25 講 智取火柴 第 26 講 邏輯問題（一） 第 27 講 邏輯問題（二） 第 28 講 最不利原則 第 29 講 抽屜原理（一） 第 30 講 抽屜原理（二） 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 2 - 第 1講 速算與巧算（一） 計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。 我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。 例 1 四年級一班第一小組有 10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分?jǐn)?shù)）如下： 86， 78， 77， 83， 91， 74， 92， 69， 84， 75。 求這 10名同學(xué)的總分 。 分析與解 ：通常的做法是將這 10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“ 80”作基準(zhǔn)，這 10個數(shù)與 80的差如下： 6， -2， -3， 3， 11， -6， 12， -11， 4， -5，其中“ -”號表示這個數(shù)比 80小。于是得到 總和 =80 10（ 6-2-3 3 11- 800 9 809。 實際計算時只需口算，將這些數(shù)與 80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下： 通過口算，得到 差數(shù)累加為 9，再加上 80 10，就可口算出結(jié)果為 809。 例 1 所用的方法叫做加法的 基準(zhǔn)數(shù)法 。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例 1的 80）叫做 基準(zhǔn)數(shù) ，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做 累計差 。由例 1得到： 總和數(shù) =基準(zhǔn)數(shù) 加數(shù)的個數(shù) +累計差 ， 平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù) +累計差 加數(shù)的個數(shù) 。 在使用基準(zhǔn)數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。 例 2 某農(nóng)場有 10塊麥田， 每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）： 462， 480， 443， 420， 473， 429， 468， 439， 475， 461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。 解 ：選基準(zhǔn)數(shù)為 450，則 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 3 - 累計差 =12 30 7 30 23 21 18 11 25 11 50， 平均每塊產(chǎn)量 =450 50 10 455（千克）。 答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為 455千克。 求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如 7 7 49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了 10 20 的平方，而 21 99的平方就 不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法 湊整補零法 。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。 例 3 求 292和 822的值。 解 ： 292=29 29 （ 29 1）（ 29-1） 12 30 28 1 840+1 841。 822 82 82 （ 82 2）（ 82 2） 22 80 84 4 6720+4 6724。 由上例看出，因為 29 比 30少 1，所以給 29“補” 1，這叫“補少”；因為 82比 80多 2，所以從 82 中“移走” 2，這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個 29補 1，就要給另一個 29減 1；給一個 82減了 2，就要給另一個 82加上 2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。 由湊整補零法計算 352，得 35 35 40 30 52=1225。這與三年級學(xué)的個位數(shù)是 5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。 這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平 方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。 例 4 求 9932和 20042的值。 解 ： 9932=993 993 （ 993 7）（ 993-7） +72 1000 986 49 986000 49 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 4 - 986049。 20042=2004 2004 （ 2004-4）（ 2004+4） 42 2000 2008 16 4016000 16 4016016。 下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。 請看下面的算式： 66 46， 73 88， 19 44。 這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為 10。這類算式有非常簡便的速算方法。 例 5 88 64？ 分析與解 ：由乘法分配律和結(jié)合律，得到 88 64 （ 80 8）（ 60 4） （ 80 8） 60（ 80 8） 4 80 60 8 60 80 4 8 4 80 60 80 6 80 4 8 4 80（ 60 6 4） 8 4 80（ 60 10） 8 4 8（ 6 1） 100+8 4。 于是，我們得到下面的速算式： 由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為 8 4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為 10的因數(shù)”的十位數(shù)加 1的乘積，本例為 8（ 6 1）。 例 6 77 91？ 解： 由例 3的解法得到 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 5 - 由上式看出，當(dāng)兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應(yīng)在十位上補一個 0，本例為 7 1 07。 用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。 練習(xí) 1 1.求下面 10個數(shù)的總和： 165， 152， 168， 171， 148， 156， 169， 161， 157， 149。 2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出 12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）： 26， 25， 25， 23， 27， 28， 26， 24， 29， 27， 27， 25。求這批麥苗的平均高度。 3.某車間有 9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為： 68， 91， 84， 75， 78， 81， 83， 72， 79。 他們共加工了多少個零件？ 4.計算： 13 16 10+11 17 12 15 12 16 13 12。 5.計算下列各題： （ 1） 372； （ 2） 532； （ 3） 912； （ 4） 682： （ 5） 1082； （ 6） 3972。 6.計算下列各題： （ 1） 77 28；（ 2） 66 55； （ 3） 33 19；（ 4） 82 44； （ 5） 37 33；（ 6） 46 99。 練習(xí) 1 答案 1.1596。 2.26厘米。 3.711個。 4.147。 5.（ 1） 1369； （ 2） 2809； （ 3） 8281； （ 4） 4624； （ 5） 11664； （ 6） 157609。 6.（ 1） 2156； （ 2） 3630； （ 3） 627； （ 4） 3608； （ 5） 1221； （ 6） 4554。 第 2講 速算與巧算（二） 上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的 “ 同補 ” 與 “ 補同 ”速算法。 兩個數(shù)之和等于 10，則稱這兩個數(shù) 互補 。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像 72 78， 26 86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 6 - 72 78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型； 26 86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為 “同補”速算法 和 “補同”速算法 。 例 1 （ 1） 76 74？ （ 2） 31 39？ 分析與解：本例兩題都是 “ 頭相同、尾互補 ” 類型。 （ 1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到 76 74 （ 70 6）（ 70+4） （ 70 6） 70（ 70 6） 4 70 70 6 70 70 4 6 4 70（ 70 6 4） 6 4 70（ 70 10） 6 4 7（ 7+1） 100 6 4。 于是，我們得到下面的速算式： （ 2）與（ 1）類似 可得到下面的速算式： 由例 1 看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補 0，如 1 9 09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加 1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是： 積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭 +1）” 。 我們在三年級時學(xué)到的 15 15， 25 25， 95 95的速算，實際上就是“同補”速算法。 例 2 （ 1） 78 38？ （ 2） 43 63？ 分析與解 ：本例兩題都是 “ 頭互補、尾相同 ” 類型。 （ 1）由乘法 分配律和結(jié)合律，得到 78 38 （ 70 8）（ 30 8） （ 70 8） 30（ 70 8） 8 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 7 - 70 30+8 30 70 8 8 8 70 30 8（ 30 70） 8 8 7 3 100 8 100 8 8 （ 7 3 8） 100 8 8。 于是，我們得到下面的速算式： （ 2）與（ 1）類似可得到下面的速算式： 由例 2 看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補 0，如 3 3 09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭 +尾” 。 例 1 和例 2 介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？ 我們先將互補的概念推廣一下。 當(dāng)兩個數(shù)的和是 10， 100， 1000，時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補 。如 43與 57互補， 99與 1互補， 555與 445互補。 在一個乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如 ， 因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是 70，后兩位數(shù)互補， 77 23 100，所以是“同補”型。又如， 等都是 “ 同補 ” 型。 當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是 “ 補同 ” 型，即 “ 頭互補，尾相同 ” 型。例如， 等都是 “ 補同 ” 型。 在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例 1的方法仍然適用。 例 3 （ 1） 702 708=？ （ 2） 1708 1792？ 解 ：（ 1） 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 8 - （ 2） 計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭（頭 +1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之 積作為乘積的后幾位。 注意：互補數(shù)如果是 n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后 2n 位，不足的位補“ 0”。 在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例 2 的方法仍然適用（見例 4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例 2 的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。 例 4 2865 7265？ 解 ： 練習(xí) 2 計算下列各題： 1.68 62； 2.93 97； 3.27 87； 4.79 39； 5.42 62； 6.603 607； 7.693 607； 8.4085 6085。 第 3講 高斯求和 德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算： 1 2 3 4 99 100？ 老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于 5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)： 1 100 2 99 3 98 49 52 50 51。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 9 - 1 100 正好可以分成這樣的 50 對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為 （ 1+100） 100 2 5050。 小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于 “ 等差數(shù)列 ”的求和問題。 若干個數(shù)排成一列稱為 數(shù)列 ，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為 首項 ，最后一項稱為 末項 。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為 等差數(shù)列 ，后項與前項之差稱為 公差 。例如： （ 1） 1， 2， 3， 4， 5， 100； （ 2） 1， 3， 5， 7， 9， 99；（ 3） 8， 15， 22， 29， 36， 71。 其中（ 1）是首項為 1，末項為 100，公差為 1 的等差數(shù)列；（ 2）是首項為 1，末項為 99，公差為 2的等差數(shù)列；（ 3）是首項為 8，末項為 71，公差為 7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法，得到 等差數(shù)列的求和公式 ： 和 =（首項 +末項）項數(shù) 2。 例 1 1 2 3 1999？ 分析與解 ：這串加數(shù) 1， 2， 3， 1999是等差數(shù)列，首項是 1，末項是 1999，共有 1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得 原式 =（ 1 1999） 1999 2 1999000。 注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。 例 2 11 12 13 31？ 分析與解 ：這串加數(shù) 11， 12， 13， 31 是等差數(shù)列，首 項是 11，末項是 31，共有 31-11 1 21（項）。 原式 =（ 11+31） 21 2=441。 在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù) =（末項 -首項）公差 +1， 末項 =首項 +公差（項數(shù) -1） 。 例 3 3 7 11 99？ 分析與解 ： 3， 7， 11， 99是公差為 4的等差數(shù)列， 項數(shù) =（ 99 3） 4 1 25， 原式 =（ 3 99） 25 2 1275。 例 4 求首項是 25，公差是 3的等差數(shù)列的前 40項的和。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 10 - 解 ：末項 =25 3（ 40-1） 142， 和 =（ 25 142） 40 2 3340。 利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。 例 5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是 12 厘米 2，邊長是 1 根火柴棍。問：（ 1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（ 2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？ 分析：最大三角形共有 8 層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表： 由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。 解 ：（ 1）最大三角形面積為 （ 1 3 5 15） 12 （ 1 15） 8 2 12 768（厘米 2）。 2）火柴棍的數(shù)目為 3 6 9+ +24 （ 3 24） 8 2=108（根）。 答：最大三角形的面積是 768厘米 2，整個圖形由 108根火柴擺成。 例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成 3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成 3 只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成 3 只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？ 分析與解 ：一只球變成 3 只球，實際上多 了 2只球。第一次多了 2只球，第二次多了 2 2只球第十次多了 2 10 只球。因此拿了十次后，多了 2 1 2 2 2 10 2（ 1 2 10） 2 55 110（只）。 加上原有的 3只球，盒子里共有球 110 3 113（只）。 綜合列式為： 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 11 - （ 3-1）（ 1 2 10） 3 2（ 1 10） 10 2 3 113（只）。 練習(xí) 3 1.計算下列各題： （ 1） 2 4 6 200； （ 2） 17 19 21 39； （ 3） 5 8 11 14 50； （ 4） 3 10 17 24 101。 2.求首項是 5，末項是 93，公差是 4的等差數(shù)列的和。 3.求首項是 13，公差是 5的等差數(shù)列的前 30 項的和。 4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？ 5.求 100以內(nèi)除以 3 余 2的所有數(shù)的和。 6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？ 第四講 我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被 2， 3， 5 整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被 4， 8， 9整除的數(shù)的特征。 數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 性質(zhì) 1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除 。例如， 48能被 16整除， 16能被 8 整除，那么 48一定能被 8整除。 性質(zhì) 2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除 。例如， 21與 15都能被 3整除，那么 21 15 及 21-15都能被 3整除。 性質(zhì) 3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除 。例如， 126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 與 7 互質(zhì)，那么 126 能被 9 7 63整除。 利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以 解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來： （ 1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是 0， 2， 4， 6， 8中的一個，那么這個數(shù)就能被 2整除。 （ 2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是 0或 5，那么這個數(shù)就能被 5整除。 （ 3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 3整除，那么這個數(shù)就能被 3整除。 （ 4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被 4（或 25）整除，那么這個數(shù)就能被 4（或 25）整除。 （ 5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被 8（或 125）整除，那么這個數(shù)就能被 8（或 125）整除。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 12 - （ 6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 9整除，那么這個數(shù)就能被 9整除。 其中（ 1）（ 2）（ 3）是三年級學(xué)過的內(nèi)容，（ 4）（ 5）（ 6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。 因為 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除的性質(zhì) 1 知，整百的數(shù)都能被 4（或 25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì) 2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被 4（或 25）整除，這個數(shù)就能被 4（或 25）整除。這就證明了（ 4）。 類似地可以證明（ 5）。 （ 6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明 方法。 837 800 30 7 8 100 3 10 7 8（ 99 1） 3（ 9 1） 7 8 99 8 3 9 3 7 （ 8 99 3 9）（ 8 3 7）。 因為 99 和 9 都能被 9 整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì) 1 和性質(zhì) 2 知，（ 8x99 3x9）能被 9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì) 2，由（ 8 3 7）能被 9整除，就能判斷 837能被 9整除。 利用（ 4）（ 5）（ 6）還可以求出一個數(shù)除以 4， 8， 9的余數(shù)： （ 4 ）一個數(shù)除以 4的余數(shù)，與它的末兩位除以 4的余數(shù)相同。 （ 5）一個數(shù)除以 8的余數(shù)，與它的末三 位除以 8的余數(shù)相同。 （ 6）一個數(shù)除以 9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)相同。 例 1 在下面的數(shù)中，哪些能被 4整除？哪些能被 8整除？哪些能被 9整除？ 234， 789， 7756， 8865， 3728.8064。 解 ：能被 4整除的數(shù)有 7756， 3728， 8064； 能被 8整除的數(shù)有 3728， 8064； 能被 9整除的數(shù)有 234， 8865， 8064。 例 2 在四位數(shù) 56 2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被 9， 8， 4整除？ 解：如果 56 2能被 9整除，那么 5 6 2 13 應(yīng)能 被 9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是 5，即四位數(shù)是 5652 時能被 9整除； 如果 56 2能被 8整除，那么 6 2應(yīng)能被 8 整除，所以當(dāng)十位數(shù)是 3或 7，即四位數(shù)是5632 或 5672時能被 8整除； 如果 56 2能被 4整除，那么 2應(yīng)能被 4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是 1， 3， 5， 7， 9，即四位數(shù)是 5612， 5632， 5652， 5672， 5692時能被 4 整除。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 13 - 到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被 2， 3， 5， 4， 8， 9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì) 3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被 6整除，因為 6 2 3， 2與 3 互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被 2 整除又能被 3 整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì) 3，可判定這個數(shù)能被 6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被 12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被 3和 4整除；判斷一個數(shù)能否被 72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被 8和 9整除；如此等等。 例 3 從 0， 2， 5， 7 四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被 2， 5， 3 整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。 解 ：因為組成的三位數(shù)能同時被 2， 5整除，所以個位數(shù)字為 0。根據(jù)三位數(shù)能被 3整除的特征，數(shù)字和 2 7 0與 5 7 0都能被 3整除，因此所求的這些數(shù)為 270， 570， 720， 750。 例 4 五位數(shù) 能被 72整除，問： A與 B各代表什么數(shù)字？ 分析與解 ：已知 能被 72整除。因為 72 8 9， 8和 9是互質(zhì)數(shù)，所以 既能被 8整除，又能被 9整除。根據(jù)能被 8整除的數(shù)的特征，要求 能被 8整除，由此可確定 B6。再根據(jù)能被 9整除的數(shù)的特征， 的各位數(shù)字之和為 A 3 2 9 B A 3 f 2 9 6 A 20， 因為 l A 9，所以 21 A 20 29。在這個范圍內(nèi)只有 27能被 9整除，所以 A 7。 解答例 4的關(guān)鍵是把 72 分解成 8 9，再分別根據(jù)能被 8和 9整除的數(shù)的特征去討論 B和 A所代 表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定 B 所代表的數(shù)字，因為 B 代表的數(shù)字不受 A 的取值大小的影響，一旦 B代表的數(shù)字確定下來， A所代表的數(shù)字就容易確定了。 例 5 六位數(shù) 是 6 的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？ 分析與解 ：因為 6 2 3，且 2 與 3 互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被 2 整除又能被 3 整除。由六位數(shù)能被 2整除，推知 A 可取 0， 2， 4， 6， 8這五個值。再由六位數(shù)能被 3整除，推知 3 A B A B A 3 3A 2B 能被 3整除，故 2B能被 3整除。 B可取 0， 3， 6， 9這 4個值。由于 B可以取 4個值， A可以取 5個值，題目沒有要求 A B，所以符合條件的六位數(shù)共有 5 4 20（個）。 例 6 要使六位數(shù) 能被 36整除，而且所得的商最小，問 A， B， C各代表什么數(shù)字？ 分析與解：因為 36 4 9，且 4與 9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被 4整除又能被 9整除。六位數(shù) 能被 4整除，就要 能被 4整除，因此 C可取 1， 3， 5， 7， 9。 要使所得的商最小，就要使 這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是 A盡量小，其次是B 盡量小，最后是 C盡量小。先試取 A=0。六位數(shù) 的各位數(shù)字之和為 12 B C。它應(yīng)小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 14 - 能被 9整除，因此 B C 6或 B C 15。因為 B， C應(yīng)盡量小，所 以 B C 6，而 C只能取 1，3， 5， 7， 9，所以要使 盡可能小，應(yīng)取 B 1， C 5。 當(dāng) A=0， B=1， C 5時，六位數(shù)能被 36整除，而且所得商最小，為 150156 36 4171。 練習(xí) 4 1 6539724能被 4， 8， 9， 24， 36， 72中的哪幾個數(shù)整除？ 2個位數(shù)是 5，且能被 9整除的三位數(shù)共有多少個？ 3一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是 3，十位上的數(shù)字都是 6，并且它們既能被 2 整除又能被 3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？ 4五位數(shù) 能被 12整除，求這個五位數(shù)。 5有一個能被 24整除的四位數(shù) 23，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？ 6從 0， 2， 3， 6， 7 這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被 8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？ 7在 123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被 72整除。 8學(xué)校買了 72 只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是 67.9元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第 5講 棄九法 從第 4 講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被 9 整除，那么這個數(shù)能被 9 整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被 9 除余數(shù)是幾，那么這 個數(shù)被 9 除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被 9整除或者求出被 9除的余數(shù)是幾。 例如， 3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為 3 6 4 5 7 3 2 30， 30被 9除余 3，所以 3645732這個數(shù)不能被 9整除，且被 9除后余數(shù)為 3。 但是，當(dāng)一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？ 因為我們只是判斷這個式子被 9 除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是 9 時，就把這些數(shù)劃掉，如 3 6 9， 4 5 9， 7 2 9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個 3（如 下圖），所以這個數(shù)除以 9的余數(shù)是 3。 這種 將和為 9 或 9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以 9的余數(shù)的方法，叫做棄九法 。 一個數(shù)被 9 除的余數(shù)叫做這個數(shù)的 九余數(shù) 。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 15 - 例 1 求多位數(shù) 7645821369815436715 除以 9的余數(shù)。 分析與解 ：利用棄九法，將和為 9的數(shù)依次劃掉。 只剩下 7， 6， 1， 5四個數(shù)，這時口算一下即可?？谒阒?7， 6， 5的和是 9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下 1。所以這個多位數(shù)除以 9余 1。 例 2 將自然數(shù) 1， 2， 3， 依次無間隔地寫下去組成一個數(shù) 1234567891011213如果一直寫到自然數(shù) 100，那么所得的數(shù)除以 9的余數(shù)是多少？ 分析與解 ：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為 9 或 9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知 1 2 3 9 45， 而 45是 9的倍數(shù)，所以每一組 1， 2， 3， 9都可以劃掉。在 1 99 這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組 1， 2， 3， 9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組 1， 2， 3， 9，也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，除了 0 以外，只剩下最后的 100 中的數(shù) 字 1。所以這個數(shù)除以 9余 1。 在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以 9 的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與 1 2 100除以 9的余數(shù)相同。 利用高斯求和法，知此和是 5050。因為 5050 的數(shù)字和為 5 0 5 0=10，利用棄九法，棄去一個 9余 1，故 5050 除以 9余 1。因此題中的數(shù)除以 9余 1。 例 3 檢驗下面的加法算式是否正確： 2638457 3521983 6745785 12907225。 分析與解 ：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為 8， 4， 6， 8+4+6的九余數(shù)為 0；和的九余數(shù)為 1。因為 0 1，所以這個算式不正確。 例 4 檢驗下面的減法算式是否正確： 7832145-2167953 5664192。 分析與解 ：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加 9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是 3， 減數(shù)的九余數(shù)是 6，由（ 9+3） -6 6 知，原題等號左邊的九余數(shù)是 6。等號右邊的九余數(shù)也是 6。因為 6 6，所以這個減法運算可能正確。 值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例 5）運算的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 16 - 如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有 0， 1， 2，8 九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。 例 5 檢驗下面的乘法算式是否正確： 46876 9537 447156412。 分析與解 ：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是 4，乘數(shù)的九余數(shù)是 6，4 6 24， 24的九余數(shù)是 6。乘積的九余數(shù)是 7。 6 7，所以這個算式不正確。 說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù) =除數(shù)商 +余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗 383801 253=1517 的正確性，只需檢驗 1517 253=383801的正確性。 練習(xí) 5 1求下列各數(shù)除以 9的余數(shù)： （ 1） 7468251； （ 2） 36298745； （ 3） 2657348； （ 4） 6678254193。 2求下列各式除以 9的余數(shù)： （ 1） 67235 82564； （ 2） 97256-47823； （ 3） 2783 6451； （ 4） 3477+265 841。 3用棄九法檢驗下列各題計算的正確性： （ 1） 228 222 50616； （ 2） 334 336 112224； （ 3） 23372428 6236 3748； （ 4） 12345 6789 83810105。 4有一個 2000 位的數(shù) A 能被 9 整除，數(shù) A 的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 B，數(shù) B 的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 C，數(shù) C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 D。求 D。 第 6講 數(shù)的整除性（二） 這一講主要講能被 11 整除的數(shù)的特征。 一個數(shù)從右邊數(shù)起，第 1， 3， 5，位稱為奇數(shù)位，第 2， 4， 6，位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位是偶數(shù)位。例如 9位數(shù) 768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示： 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 17 - 能被 11 整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位 上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被 11整除，那么這個數(shù)就能被 11 整除 。 例 1 判斷七位數(shù) 1839673 能否被 11整除。 分析與解 ：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為 1 3 6 3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為 8 9 7=24，因為 24-13=11能被 11整除，所以 1839673能被 11 整除。 根據(jù)能被 11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以 11的余數(shù)。 一個數(shù)除以 11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以 11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù) 字之和上再增加 11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。 例 2 求下列各數(shù)除以 11 的余數(shù)： （ 1） 41873； （ 2） 296738185。 分析與解 ：（ 1） （ 4 8 3）（ 1 7） 11 =7 11 0 7， 所以 41873除以 11的余數(shù)是 7。 （ 2）奇數(shù)位之和為 2 6 3 1 5=17，偶數(shù)位之和為 9 7 8 8 32。因為 17 32，所以應(yīng)給 17增加 11的整數(shù)倍，使其大于 32。 （ 17+11 2） -32 7， 所以 296738185除以 11的余數(shù)是 7。 需要說明的是，當(dāng)奇數(shù)位 數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以 11，所得余數(shù)與 11 的差即為所求。如上題（ 2）中，（ 32-17） 11 1 4，所求余數(shù)是 11-4=7。 例 3 求 除以 11的余數(shù)。 分析與解 ：奇數(shù)位是 101 個 1，偶數(shù)位是 100個 9。 （ 9 100-1 101） 11 =799 11=72 7， 11-7=4，所求余數(shù)是 4。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 18 - 例 3還有其它簡捷解法，例如每個“ 19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差 9-1 8， 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差 8 99=8 9 11，能被 11 整除。所以例 3 相當(dāng)于求最后三位數(shù) 191除以 11 的余數(shù)。 例 4 用 3， 3， 7， 7四個數(shù)碼能排出哪些能被 11 整除的四位數(shù)？ 解 ：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個 3和一個 7即可。有 3377， 3773， 7337， 7733。 例 5 用 1 9九個數(shù)碼組成能被 11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。 分析與解 ：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是 987654321，由 （ 9 7 5 3 1） -（ 8 6 4 2） 5 知， 987654321不能被 11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要 使奇數(shù)位的數(shù)字和增加 3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少 3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?5 3 2=11，這個數(shù)就能被 11 整除。調(diào)整“ 4321”，只要 4 調(diào)到奇數(shù)位， 1 調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大 3，就可達到目的。此時， 4， 3 在奇數(shù)位， 2， 1 在偶數(shù)位，后四位最大是 2413。所求數(shù)為 987652413。 例 6 六位數(shù) 能被 99整除，求 A和 B。 分析與解 ：由 99=9 11，且 9與 11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被 9整除又能被 11整除。因為六位數(shù)能被 9整除，所以 A+2+8+7+5+B 22+A+B 應(yīng)能被 9整除，由此推知 A B 5或 14。又因為六位數(shù)能被 11整除，所以 （ A 8 5）（ 2 7 B） A-B 4 應(yīng)能被 11整除，即 A-B+4=0或 A-B+4=11。 化簡得 B-A 4或 A-B 7。 因為 A+B與 A-B同奇同偶，所以有 在（ 1）中， A 5與 A 7不能同時滿足，所以無解。 在（ 2）中，上、下兩式相加，得 （ B A）（ B-A） 14 4， 2B 18， 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 19 - B=9。 將 B=9代入 A B=14，得 A 5。 所以， A=5， B 9。 練 習(xí) 6 1為使五位數(shù) 6 295 能被 11整除，內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？ 2用 1， 2， 3， 4四個數(shù)碼能排出哪些能被 11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？ 3求能被 11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。 4求下列各數(shù)除以 11的余數(shù)： （ 1） 2485； （ 2） 63582； （ 3） 987654321。 5求 除以 11的余數(shù)。 6六位數(shù) 5A634B 能被 33整除，求 A+B。 7七位數(shù) 3A8629B 是 88的倍數(shù)，求 A和 B。 第 7講 找規(guī)律（一） 我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學(xué) 習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列 0， 1， 2， 0， 1， 2， 0， 1， 2， 0，是按照 0， 1， 2三個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。 下面，我們通過一些例題作進一步講解。 例 1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照 5 盞紅燈 、再接 4盞藍燈、再接 3盞黃燈，然后又是 5盞紅燈、 4盞藍燈、 3盞黃燈、這樣排下去。問： （ 1）第 100盞燈是什么顏色？ （ 2）前 150盞彩燈中有多少盞藍燈？ 分析與解 ：這是一個周期變化問題。彩燈按照 5 紅、 4 藍、 3 黃，每 12 盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。 （ 1） 100 12 8 4，所以第 100盞燈是第 9個周期的第 4盞燈，是紅燈。 （ 2） 150 12=12 6，前 150盞燈共有 12 個周期零 6盞燈， 12個周期中有藍燈 4 12 48（盞），最后的 6盞燈中有 1盞藍燈，所以共有藍燈 48 1=49（盞）。 例 2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于 25。已知第 1個數(shù)是 3，第 6個數(shù)是 6，第 11個數(shù)是 7。問：這串?dāng)?shù)中第 24個數(shù)是幾？前 77個數(shù)的和是多少？ 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級） - 20 - 分析與解 ：因為第 1， 2， 3， 4 個數(shù)的和等于第 2， 3， 4， 5 個數(shù)的和，所以第 1 個數(shù)與第 5個數(shù)相同。進一步可推知，第 1， 5， 9， 13，個數(shù)都相同。 同理，第 2， 6， 10， 14，個數(shù)都相同，第 3， 7， 11， 15，個數(shù)都相同，第 4， 8，12， 16個數(shù)都相同。 也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第 2 個數(shù)等于第 6 個數(shù)，是 6；第 3個數(shù) 等于第 11個數(shù)，是 7。前三個數(shù)依次是 3， 6， 7，第四個數(shù)是 25-（ 3+6+7） =9。 這串?dāng)?shù)按照 3， 6， 7， 9 的順序循環(huán)出現(xiàn)。第 24 個數(shù)與第 4 個數(shù)相同，是 9。由 77 4 9 1知，前 77個數(shù)是 19個周期零 1個數(shù)，其和為 25 19+3=478。 例 3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第 3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串?dāng)?shù)中第 88個數(shù)是幾？ 628088640448 分析與解 ：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這 兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位： 當(dāng)寫出第 21， 22 位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第 1， 2 位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每 20 個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由 88 20=4 8 知，第 88 個數(shù)與第 8 個數(shù)相同，所以第 88個數(shù)是 4。 從例 3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。 例 4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么