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小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 1 - 2016 年 小學(xué) 四年級奧林匹克 數(shù) 學(xué) 基礎(chǔ)教程 精講內(nèi)附參考答案 第 1講 速算與巧算(一) 第 2講 速算與巧算(二) 第 3講 高斯求和 第 4講 4, 8, 9整除的數(shù)的特征 第 5講 棄九法 第 6講 數(shù)的整除性(二) 第 7講 找規(guī)律(一) 第 8講 找規(guī)律(二) 第 9講 數(shù)字謎(一) 第 10 講 數(shù)字謎(二) 第 11 講 歸一問題與歸總問題 第 12 講 年齡問題 第 13 講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 第 14 講 盈虧問題與比較法(一) 第 15 講 盈虧問題與比較法(二) 第 16 講 數(shù)陣圖(一) 第 17 講 數(shù)陣圖(二) 第 18 講 數(shù)陣圖(三) 第 19 將 乘法原理 第 20 講 加法原理(一) 第 21 講 加法原理(二) 第 22 講 還原問題(一) 第 23 講 還原問題(二) 第 24 講 頁碼問題 第 25 講 智取火柴 第 26 講 邏輯問題(一) 第 27 講 邏輯問題(二) 第 28 講 最不利原則 第 29 講 抽屜原理(一) 第 30 講 抽屜原理(二) 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 2 - 第 1講 速算與巧算(一) 計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué),必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計算能力既是一種技巧,也是一種思維訓(xùn)練,既能提高計算效率、節(jié)省計算時間,更可以鍛煉記憶力,提高分析、判斷能力,促進思維和智力的發(fā)展。 我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法,本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。 例 1 四年級一班第一小組有 10名同學(xué),某次數(shù)學(xué)測驗的成績(分?jǐn)?shù))如下: 86, 78, 77, 83, 91, 74, 92, 69, 84, 75。 求這 10名同學(xué)的總分 。 分析與解 :通常的做法是將這 10個數(shù)直接相加,但這些數(shù)雜亂無章,直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn),這些數(shù)雖然大小不等,但相差不大。我們可以選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”,比如以“ 80”作基準(zhǔn),這 10個數(shù)與 80的差如下: 6, -2, -3, 3, 11, -6, 12, -11, 4, -5,其中“ -”號表示這個數(shù)比 80小。于是得到 總和 =80 10( 6-2-3 3 11- 800 9 809。 實際計算時只需口算,將這些數(shù)與 80的差逐一累加。為了清楚起見,將這一過程表示如下: 通過口算,得到 差數(shù)累加為 9,再加上 80 10,就可口算出結(jié)果為 809。 例 1 所用的方法叫做加法的 基準(zhǔn)數(shù)法 。這種方法適用于加數(shù)較多,而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)(如例 1的 80)叫做 基準(zhǔn)數(shù) ,各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做 累計差 。由例 1得到: 總和數(shù) =基準(zhǔn)數(shù) 加數(shù)的個數(shù) +累計差 , 平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù) +累計差 加數(shù)的個數(shù) 。 在使用基準(zhǔn)數(shù)法時,應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù),這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來,所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。 例 2 某農(nóng)場有 10塊麥田, 每塊的產(chǎn)量如下(單位:千克): 462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475, 461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。 解 :選基準(zhǔn)數(shù)為 450,則 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 3 - 累計差 =12 30 7 30 23 21 18 11 25 11 50, 平均每塊產(chǎn)量 =450 50 10 455(千克)。 答:平均每塊麥田的產(chǎn)量為 455千克。 求一位數(shù)的平方,在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知,如 7 7 49(七七四十九)。對于兩位數(shù)的平方,大多數(shù)同學(xué)只是背熟了 10 20 的平方,而 21 99的平方就 不大熟悉了。有沒有什么竅門,能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢?這里向同學(xué)們介紹一種方法 湊整補零法 。所謂湊整補零法,就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差,通過移多補少,將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù),再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。 例 3 求 292和 822的值。 解 : 292=29 29 ( 29 1)( 29-1) 12 30 28 1 840+1 841。 822 82 82 ( 82 2)( 82 2) 22 80 84 4 6720+4 6724。 由上例看出,因為 29 比 30少 1,所以給 29“補” 1,這叫“補少”;因為 82比 80多 2,所以從 82 中“移走” 2,這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘,所以對其中一個數(shù)“移多補少”后,還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中,給一個 29補 1,就要給另一個 29減 1;給一個 82減了 2,就要給另一個 82加上 2。最后,還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。 由湊整補零法計算 352,得 35 35 40 30 52=1225。這與三年級學(xué)的個位數(shù)是 5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。 這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平 方值,也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。 例 4 求 9932和 20042的值。 解 : 9932=993 993 ( 993 7)( 993-7) +72 1000 986 49 986000 49 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 4 - 986049。 20042=2004 2004 ( 2004-4)( 2004+4) 42 2000 2008 16 4016000 16 4016016。 下面,我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。 請看下面的算式: 66 46, 73 88, 19 44。 這幾道算式具有一個共同特點,兩個因數(shù)都是兩位數(shù),一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同,另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為 10。這類算式有非常簡便的速算方法。 例 5 88 64? 分析與解 :由乘法分配律和結(jié)合律,得到 88 64 ( 80 8)( 60 4) ( 80 8) 60( 80 8) 4 80 60 8 60 80 4 8 4 80 60 80 6 80 4 8 4 80( 60 6 4) 8 4 80( 60 10) 8 4 8( 6 1) 100+8 4。 于是,我們得到下面的速算式: 由上式看出,積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積,本例為 8 4;積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為 10的因數(shù)”的十位數(shù)加 1的乘積,本例為 8( 6 1)。 例 6 77 91? 解: 由例 3的解法得到 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 5 - 由上式看出,當(dāng)兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時,應(yīng)在十位上補一個 0,本例為 7 1 07。 用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。 練習(xí) 1 1.求下面 10個數(shù)的總和: 165, 152, 168, 171, 148, 156, 169, 161, 157, 149。 2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況,量出 12株麥苗的高度分別為(單位:厘米): 26, 25, 25, 23, 27, 28, 26, 24, 29, 27, 27, 25。求這批麥苗的平均高度。 3.某車間有 9個工人加工零件,他們加工零件的個數(shù)分別為: 68, 91, 84, 75, 78, 81, 83, 72, 79。 他們共加工了多少個零件? 4.計算: 13 16 10+11 17 12 15 12 16 13 12。 5.計算下列各題: ( 1) 372; ( 2) 532; ( 3) 912; ( 4) 682: ( 5) 1082; ( 6) 3972。 6.計算下列各題: ( 1) 77 28;( 2) 66 55; ( 3) 33 19;( 4) 82 44; ( 5) 37 33;( 6) 46 99。 練習(xí) 1 答案 1.1596。 2.26厘米。 3.711個。 4.147。 5.( 1) 1369; ( 2) 2809; ( 3) 8281; ( 4) 4624; ( 5) 11664; ( 6) 157609。 6.( 1) 2156; ( 2) 3630; ( 3) 627; ( 4) 3608; ( 5) 1221; ( 6) 4554。 第 2講 速算與巧算(二) 上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法,這一講討論乘法的 “ 同補 ” 與 “ 補同 ”速算法。 兩個數(shù)之和等于 10,則稱這兩個數(shù) 互補 。在整數(shù)乘法運算中,常會遇到像 72 78, 26 86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補,或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 6 - 72 78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補,這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型; 26 86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同,這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目,有非常簡捷的速算方法,分別稱為 “同補”速算法 和 “補同”速算法 。 例 1 ( 1) 76 74? ( 2) 31 39? 分析與解:本例兩題都是 “ 頭相同、尾互補 ” 類型。 ( 1)由乘法分配律和結(jié)合律,得到 76 74 ( 70 6)( 70+4) ( 70 6) 70( 70 6) 4 70 70 6 70 70 4 6 4 70( 70 6 4) 6 4 70( 70 10) 6 4 7( 7+1) 100 6 4。 于是,我們得到下面的速算式: ( 2)與( 1)類似 可得到下面的速算式: 由例 1 看出,在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中,積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積(不夠兩位時前面補 0,如 1 9 09),積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)(或乘數(shù))的十位數(shù)與十位數(shù)加 1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是: 積的末兩位是“尾尾”,前面是“頭(頭 +1)” 。 我們在三年級時學(xué)到的 15 15, 25 25, 95 95的速算,實際上就是“同補”速算法。 例 2 ( 1) 78 38? ( 2) 43 63? 分析與解 :本例兩題都是 “ 頭互補、尾相同 ” 類型。 ( 1)由乘法 分配律和結(jié)合律,得到 78 38 ( 70 8)( 30 8) ( 70 8) 30( 70 8) 8 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 7 - 70 30+8 30 70 8 8 8 70 30 8( 30 70) 8 8 7 3 100 8 100 8 8 ( 7 3 8) 100 8 8。 于是,我們得到下面的速算式: ( 2)與( 1)類似可得到下面的速算式: 由例 2 看出,在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中,積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積(不夠兩位時前面補 0,如 3 3 09),積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)(或乘數(shù))的個位數(shù)?!把a同”速算法簡單地說就是: 積的末兩位數(shù)是“尾尾”,前面是“頭頭 +尾” 。 例 1 和例 2 介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時,情況會發(fā)生什么變化呢? 我們先將互補的概念推廣一下。 當(dāng)兩個數(shù)的和是 10, 100, 1000,時,這兩個數(shù)互為補數(shù),簡稱互補 。如 43與 57互補, 99與 1互補, 555與 445互補。 在一個乘法算式中,當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同,后面的幾位數(shù)互補時,這個算式就是“同補”型,即“頭相同,尾互補”型。例如 , 因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同,都是 70,后兩位數(shù)互補, 77 23 100,所以是“同補”型。又如, 等都是 “ 同補 ” 型。 當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補,后面的幾位數(shù)相同時,這個乘法算式就是 “ 補同 ” 型,即 “ 頭互補,尾相同 ” 型。例如, 等都是 “ 補同 ” 型。 在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時,例 1的方法仍然適用。 例 3 ( 1) 702 708=? ( 2) 1708 1792? 解 :( 1) 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 8 - ( 2) 計算多位數(shù)的“同補”型乘法時,將“頭(頭 +1)”作為乘積的前幾位,將兩個互補數(shù)之 積作為乘積的后幾位。 注意:互補數(shù)如果是 n位數(shù),則應(yīng)占乘積的后 2n 位,不足的位補“ 0”。 在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時,如果“補”與“同”,即“頭”與“尾”的位數(shù)相同,那么例 2 的方法仍然適用(見例 4);如果“補”與“同”的位數(shù)不相同,那么例 2 的方法不再適用,因為沒有簡捷實用的方法,所以就不再討論了。 例 4 2865 7265? 解 : 練習(xí) 2 計算下列各題: 1.68 62; 2.93 97; 3.27 87; 4.79 39; 5.42 62; 6.603 607; 7.693 607; 8.4085 6085。 第 3講 高斯求和 德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人,上學(xué)時,有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算: 1 2 3 4 99 100? 老師出完題后,全班同學(xué)都在埋頭計算,小高斯卻很快算出答案等于 5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢?原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn): 1 100 2 99 3 98 49 52 50 51。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 9 - 1 100 正好可以分成這樣的 50 對數(shù),每對數(shù)的和都相等。于是,小高斯把這道題巧算為 ( 1+100) 100 2 5050。 小高斯使用的這種求和方法,真是聰明極了,簡單快捷,并且廣泛地適用于 “ 等差數(shù)列 ”的求和問題。 若干個數(shù)排成一列稱為 數(shù)列 ,數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項,其中第一項稱為 首項 ,最后一項稱為 末項 。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為 等差數(shù)列 ,后項與前項之差稱為 公差 。例如: ( 1) 1, 2, 3, 4, 5, 100; ( 2) 1, 3, 5, 7, 9, 99;( 3) 8, 15, 22, 29, 36, 71。 其中( 1)是首項為 1,末項為 100,公差為 1 的等差數(shù)列;( 2)是首項為 1,末項為 99,公差為 2的等差數(shù)列;( 3)是首項為 8,末項為 71,公差為 7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法,得到 等差數(shù)列的求和公式 : 和 =(首項 +末項)項數(shù) 2。 例 1 1 2 3 1999? 分析與解 :這串加數(shù) 1, 2, 3, 1999是等差數(shù)列,首項是 1,末項是 1999,共有 1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得 原式 =( 1 1999) 1999 2 1999000。 注意:利用等差數(shù)列求和公式之前,一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。 例 2 11 12 13 31? 分析與解 :這串加數(shù) 11, 12, 13, 31 是等差數(shù)列,首 項是 11,末項是 31,共有 31-11 1 21(項)。 原式 =( 11+31) 21 2=441。 在利用等差數(shù)列求和公式時,有時項數(shù)并不是一目了然的,這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系,可以得到 項數(shù) =(末項 -首項)公差 +1, 末項 =首項 +公差(項數(shù) -1) 。 例 3 3 7 11 99? 分析與解 : 3, 7, 11, 99是公差為 4的等差數(shù)列, 項數(shù) =( 99 3) 4 1 25, 原式 =( 3 99) 25 2 1275。 例 4 求首項是 25,公差是 3的等差數(shù)列的前 40項的和。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 10 - 解 :末項 =25 3( 40-1) 142, 和 =( 25 142) 40 2 3340。 利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式,可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。 例 5 在下圖中,每個最小的等邊三角形的面積是 12 厘米 2,邊長是 1 根火柴棍。問:( 1)最大三角形的面積是多少平方厘米?( 2)整個圖形由多少根火柴棍擺成? 分析:最大三角形共有 8 層,從上往下擺時,每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表: 由上表看出,各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列,各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。 解 :( 1)最大三角形面積為 ( 1 3 5 15) 12 ( 1 15) 8 2 12 768(厘米 2)。 2)火柴棍的數(shù)目為 3 6 9+ +24 ( 3 24) 8 2=108(根)。 答:最大三角形的面積是 768厘米 2,整個圖形由 108根火柴擺成。 例 6 盒子里放有三只乒乓球,一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球,將它變成 3只球后放回盒子里;第二次又從盒子里拿出二只球,將每只球各變成 3 只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球,將每只球各變成 3 只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球? 分析與解 :一只球變成 3 只球,實際上多 了 2只球。第一次多了 2只球,第二次多了 2 2只球第十次多了 2 10 只球。因此拿了十次后,多了 2 1 2 2 2 10 2( 1 2 10) 2 55 110(只)。 加上原有的 3只球,盒子里共有球 110 3 113(只)。 綜合列式為: 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 11 - ( 3-1)( 1 2 10) 3 2( 1 10) 10 2 3 113(只)。 練習(xí) 3 1.計算下列各題: ( 1) 2 4 6 200; ( 2) 17 19 21 39; ( 3) 5 8 11 14 50; ( 4) 3 10 17 24 101。 2.求首項是 5,末項是 93,公差是 4的等差數(shù)列的和。 3.求首項是 13,公差是 5的等差數(shù)列的前 30 項的和。 4.時鐘在每個整點敲打,敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù),每半點鐘也敲一下。問:時鐘一晝夜敲打多少次? 5.求 100以內(nèi)除以 3 余 2的所有數(shù)的和。 6.在所有的兩位數(shù)中,十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個? 第四講 我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被 2, 3, 5 整除的數(shù)的特征,這一講我們將討論整除的性質(zhì),并講解能被 4, 8, 9整除的數(shù)的特征。 數(shù)的整除具有如下性質(zhì): 性質(zhì) 1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除,乙數(shù)能被丙數(shù)整除,那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除 。例如, 48能被 16整除, 16能被 8 整除,那么 48一定能被 8整除。 性質(zhì) 2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除,那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除 。例如, 21與 15都能被 3整除,那么 21 15 及 21-15都能被 3整除。 性質(zhì) 3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除,那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除 。例如, 126 能被 9 整除,又能被 7 整除,且 9 與 7 互質(zhì),那么 126 能被 9 7 63整除。 利用上面關(guān)于整除的性質(zhì),我們可以 解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性,我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來: ( 1)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是 0, 2, 4, 6, 8中的一個,那么這個數(shù)就能被 2整除。 ( 2)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是 0或 5,那么這個數(shù)就能被 5整除。 ( 3)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 3整除,那么這個數(shù)就能被 3整除。 ( 4)一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被 4(或 25)整除,那么這個數(shù)就能被 4(或 25)整除。 ( 5)一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被 8(或 125)整除,那么這個數(shù)就能被 8(或 125)整除。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 12 - ( 6)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 9整除,那么這個數(shù)就能被 9整除。 其中( 1)( 2)( 3)是三年級學(xué)過的內(nèi)容,( 4)( 5)( 6)是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。 因為 100 能被 4(或 25)整除,所以由整除的性質(zhì) 1 知,整百的數(shù)都能被 4(或 25)整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和,所以由整除的性質(zhì) 2知,只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被 4(或 25)整除,這個數(shù)就能被 4(或 25)整除。這就證明了( 4)。 類似地可以證明( 5)。 ( 6)的正確性,我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明 方法。 837 800 30 7 8 100 3 10 7 8( 99 1) 3( 9 1) 7 8 99 8 3 9 3 7 ( 8 99 3 9)( 8 3 7)。 因為 99 和 9 都能被 9 整除,所以根據(jù)整除的性質(zhì) 1 和性質(zhì) 2 知,( 8x99 3x9)能被 9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì) 2,由( 8 3 7)能被 9整除,就能判斷 837能被 9整除。 利用( 4)( 5)( 6)還可以求出一個數(shù)除以 4, 8, 9的余數(shù): ( 4 )一個數(shù)除以 4的余數(shù),與它的末兩位除以 4的余數(shù)相同。 ( 5)一個數(shù)除以 8的余數(shù),與它的末三 位除以 8的余數(shù)相同。 ( 6)一個數(shù)除以 9的余數(shù),與它的各位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)相同。 例 1 在下面的數(shù)中,哪些能被 4整除?哪些能被 8整除?哪些能被 9整除? 234, 789, 7756, 8865, 3728.8064。 解 :能被 4整除的數(shù)有 7756, 3728, 8064; 能被 8整除的數(shù)有 3728, 8064; 能被 9整除的數(shù)有 234, 8865, 8064。 例 2 在四位數(shù) 56 2中,被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時,這個四位數(shù)分別能被 9, 8, 4整除? 解:如果 56 2能被 9整除,那么 5 6 2 13 應(yīng)能 被 9整除,所以當(dāng)十位數(shù)是 5,即四位數(shù)是 5652 時能被 9整除; 如果 56 2能被 8整除,那么 6 2應(yīng)能被 8 整除,所以當(dāng)十位數(shù)是 3或 7,即四位數(shù)是5632 或 5672時能被 8整除; 如果 56 2能被 4整除,那么 2應(yīng)能被 4整除,所以當(dāng)十位數(shù)是 1, 3, 5, 7, 9,即四位數(shù)是 5612, 5632, 5652, 5672, 5692時能被 4 整除。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 13 - 到現(xiàn)在為止,我們已經(jīng)學(xué)過能被 2, 3, 5, 4, 8, 9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì) 3,我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如,判斷一個數(shù)能否被 6整除,因為 6 2 3, 2與 3 互質(zhì),所以如果這個數(shù)既能被 2 整除又能被 3 整除,那么根據(jù)整除的性質(zhì) 3,可判定這個數(shù)能被 6整除。同理,判斷一個數(shù)能否被 12整除,只需判斷這個數(shù)能否同時被 3和 4整除;判斷一個數(shù)能否被 72整除,只需判斷這個數(shù)能否同時被 8和 9整除;如此等等。 例 3 從 0, 2, 5, 7 四個數(shù)字中任選三個,組成能同時被 2, 5, 3 整除的數(shù),并將這些數(shù)從小到大進行排列。 解 :因為組成的三位數(shù)能同時被 2, 5整除,所以個位數(shù)字為 0。根據(jù)三位數(shù)能被 3整除的特征,數(shù)字和 2 7 0與 5 7 0都能被 3整除,因此所求的這些數(shù)為 270, 570, 720, 750。 例 4 五位數(shù) 能被 72整除,問: A與 B各代表什么數(shù)字? 分析與解 :已知 能被 72整除。因為 72 8 9, 8和 9是互質(zhì)數(shù),所以 既能被 8整除,又能被 9整除。根據(jù)能被 8整除的數(shù)的特征,要求 能被 8整除,由此可確定 B6。再根據(jù)能被 9整除的數(shù)的特征, 的各位數(shù)字之和為 A 3 2 9 B A 3 f 2 9 6 A 20, 因為 l A 9,所以 21 A 20 29。在這個范圍內(nèi)只有 27能被 9整除,所以 A 7。 解答例 4的關(guān)鍵是把 72 分解成 8 9,再分別根據(jù)能被 8和 9整除的數(shù)的特征去討論 B和 A所代 表的數(shù)字。在解題順序上,應(yīng)先確定 B 所代表的數(shù)字,因為 B 代表的數(shù)字不受 A 的取值大小的影響,一旦 B代表的數(shù)字確定下來, A所代表的數(shù)字就容易確定了。 例 5 六位數(shù) 是 6 的倍數(shù),這樣的六位數(shù)有多少個? 分析與解 :因為 6 2 3,且 2 與 3 互質(zhì),所以這個整數(shù)既能被 2 整除又能被 3 整除。由六位數(shù)能被 2整除,推知 A 可取 0, 2, 4, 6, 8這五個值。再由六位數(shù)能被 3整除,推知 3 A B A B A 3 3A 2B 能被 3整除,故 2B能被 3整除。 B可取 0, 3, 6, 9這 4個值。由于 B可以取 4個值, A可以取 5個值,題目沒有要求 A B,所以符合條件的六位數(shù)共有 5 4 20(個)。 例 6 要使六位數(shù) 能被 36整除,而且所得的商最小,問 A, B, C各代表什么數(shù)字? 分析與解:因為 36 4 9,且 4與 9互質(zhì),所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被 4整除又能被 9整除。六位數(shù) 能被 4整除,就要 能被 4整除,因此 C可取 1, 3, 5, 7, 9。 要使所得的商最小,就要使 這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是 A盡量小,其次是B 盡量小,最后是 C盡量小。先試取 A=0。六位數(shù) 的各位數(shù)字之和為 12 B C。它應(yīng)小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 14 - 能被 9整除,因此 B C 6或 B C 15。因為 B, C應(yīng)盡量小,所 以 B C 6,而 C只能取 1,3, 5, 7, 9,所以要使 盡可能小,應(yīng)取 B 1, C 5。 當(dāng) A=0, B=1, C 5時,六位數(shù)能被 36整除,而且所得商最小,為 150156 36 4171。 練習(xí) 4 1 6539724能被 4, 8, 9, 24, 36, 72中的哪幾個數(shù)整除? 2個位數(shù)是 5,且能被 9整除的三位數(shù)共有多少個? 3一些四位數(shù),百位上的數(shù)字都是 3,十位上的數(shù)字都是 6,并且它們既能被 2 整除又能被 3整除。在這樣的四位數(shù)中,最大的和最小的各是多少? 4五位數(shù) 能被 12整除,求這個五位數(shù)。 5有一個能被 24整除的四位數(shù) 23,這個四位數(shù)最大是幾?最小是幾? 6從 0, 2, 3, 6, 7 這五個數(shù)碼中選出四個,可以組成多少個可以被 8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)? 7在 123的左右各添一個數(shù)碼,使得到的五位數(shù)能被 72整除。 8學(xué)校買了 72 只小足球,發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清,只看到是 67.9元,你知道每只小足球多少錢嗎? 第 5講 棄九法 從第 4 講知道,如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被 9 整除,那么這個數(shù)能被 9 整除;如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被 9 除余數(shù)是幾,那么這 個數(shù)被 9 除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被 9整除或者求出被 9除的余數(shù)是幾。 例如, 3645732這個數(shù),各個數(shù)位上的數(shù)字之和為 3 6 4 5 7 3 2 30, 30被 9除余 3,所以 3645732這個數(shù)不能被 9整除,且被 9除后余數(shù)為 3。 但是,當(dāng)一個數(shù)的數(shù)位較多時,這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢? 因為我們只是判斷這個式子被 9 除的余數(shù),所以凡是若干個數(shù)的和是 9 時,就把這些數(shù)劃掉,如 3 6 9, 4 5 9, 7 2 9,把這些數(shù)劃掉后,最多只剩下一個 3(如 下圖),所以這個數(shù)除以 9的余數(shù)是 3。 這種 將和為 9 或 9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉,用剩下的數(shù)字和求除以 9的余數(shù)的方法,叫做棄九法 。 一個數(shù)被 9 除的余數(shù)叫做這個數(shù)的 九余數(shù) 。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù),還可以檢驗四則運算的正確性。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 15 - 例 1 求多位數(shù) 7645821369815436715 除以 9的余數(shù)。 分析與解 :利用棄九法,將和為 9的數(shù)依次劃掉。 只剩下 7, 6, 1, 5四個數(shù),這時口算一下即可??谒阒?7, 6, 5的和是 9的倍數(shù),又可劃掉,只剩下 1。所以這個多位數(shù)除以 9余 1。 例 2 將自然數(shù) 1, 2, 3, 依次無間隔地寫下去組成一個數(shù) 1234567891011213如果一直寫到自然數(shù) 100,那么所得的數(shù)除以 9的余數(shù)是多少? 分析與解 :因為這個數(shù)太大,全部寫出來很麻煩,在使用棄九法時不能逐個劃掉和為 9 或 9的倍數(shù)的數(shù),所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知 1 2 3 9 45, 而 45是 9的倍數(shù),所以每一組 1, 2, 3, 9都可以劃掉。在 1 99 這九十九個數(shù)中,個位數(shù)有十組 1, 2, 3, 9,都可劃掉;十位數(shù)也有十組 1, 2, 3, 9,也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中,除了 0 以外,只剩下最后的 100 中的數(shù) 字 1。所以這個數(shù)除以 9余 1。 在上面的解法中,并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和,而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以 9 的余數(shù)相同,所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和,與 1 2 100除以 9的余數(shù)相同。 利用高斯求和法,知此和是 5050。因為 5050 的數(shù)字和為 5 0 5 0=10,利用棄九法,棄去一個 9余 1,故 5050 除以 9余 1。因此題中的數(shù)除以 9余 1。 例 3 檢驗下面的加法算式是否正確: 2638457 3521983 6745785 12907225。 分析與解 :若干個加數(shù)的九余數(shù)相加,所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等,那么這個加法算式肯定不正確。上式中,三個加數(shù)的九余數(shù)依次為 8, 4, 6, 8+4+6的九余數(shù)為 0;和的九余數(shù)為 1。因為 0 1,所以這個算式不正確。 例 4 檢驗下面的減法算式是否正確: 7832145-2167953 5664192。 分析與解 :被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)(若不夠減,可在被減數(shù)的九余數(shù)上加 9,然后再減)應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等,那么這個減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是 3, 減數(shù)的九余數(shù)是 6,由( 9+3) -6 6 知,原題等號左邊的九余數(shù)是 6。等號右邊的九余數(shù)也是 6。因為 6 6,所以這個減法運算可能正確。 值得注意的是,這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法(見例 5)運算的結(jié)果是否正確時,如果等號兩邊的九余數(shù)不相等,那么這個算式肯定不正確;小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 16 - 如果等號兩邊的九余數(shù)相等,那么還不能確定算式是否正確,因為九余數(shù)只有 0, 1, 2,8 九種情況,不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性,只是一種粗略的檢驗。 例 5 檢驗下面的乘法算式是否正確: 46876 9537 447156412。 分析與解 :兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘,所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等,那么這個乘法計算肯定不正確。上式中,被乘數(shù)的九余數(shù)是 4,乘數(shù)的九余數(shù)是 6,4 6 24, 24的九余數(shù)是 6。乘積的九余數(shù)是 7。 6 7,所以這個算式不正確。 說明:因為除法是乘法的逆運算,被除數(shù) =除數(shù)商 +余數(shù),所以當(dāng)余數(shù)為零時,利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如,檢驗 383801 253=1517 的正確性,只需檢驗 1517 253=383801的正確性。 練習(xí) 5 1求下列各數(shù)除以 9的余數(shù): ( 1) 7468251; ( 2) 36298745; ( 3) 2657348; ( 4) 6678254193。 2求下列各式除以 9的余數(shù): ( 1) 67235 82564; ( 2) 97256-47823; ( 3) 2783 6451; ( 4) 3477+265 841。 3用棄九法檢驗下列各題計算的正確性: ( 1) 228 222 50616; ( 2) 334 336 112224; ( 3) 23372428 6236 3748; ( 4) 12345 6789 83810105。 4有一個 2000 位的數(shù) A 能被 9 整除,數(shù) A 的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 B,數(shù) B 的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 C,數(shù) C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 D。求 D。 第 6講 數(shù)的整除性(二) 這一講主要講能被 11 整除的數(shù)的特征。 一個數(shù)從右邊數(shù)起,第 1, 3, 5,位稱為奇數(shù)位,第 2, 4, 6,位稱為偶數(shù)位。也就是說,個位、百位、萬位是奇數(shù)位,十位、千位、十萬位是偶數(shù)位。例如 9位數(shù) 768325419中,奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示: 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 17 - 能被 11 整除的數(shù)的特征:一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位 上的數(shù)字之和的差(大數(shù)減小數(shù))如果能被 11整除,那么這個數(shù)就能被 11 整除 。 例 1 判斷七位數(shù) 1839673 能否被 11整除。 分析與解 :奇數(shù)位上的數(shù)字之和為 1 3 6 3=13,偶數(shù)位上的數(shù)字之和為 8 9 7=24,因為 24-13=11能被 11整除,所以 1839673能被 11 整除。 根據(jù)能被 11整除的數(shù)的特征,也能求出一個數(shù)除以 11的余數(shù)。 一個數(shù)除以 11的余數(shù),與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以 11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和,那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù) 字之和上再增加 11的整數(shù)倍,使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。 例 2 求下列各數(shù)除以 11 的余數(shù): ( 1) 41873; ( 2) 296738185。 分析與解 :( 1) ( 4 8 3)( 1 7) 11 =7 11 0 7, 所以 41873除以 11的余數(shù)是 7。 ( 2)奇數(shù)位之和為 2 6 3 1 5=17,偶數(shù)位之和為 9 7 8 8 32。因為 17 32,所以應(yīng)給 17增加 11的整數(shù)倍,使其大于 32。 ( 17+11 2) -32 7, 所以 296738185除以 11的余數(shù)是 7。 需要說明的是,當(dāng)奇數(shù)位 數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時,為了計算方便,也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和,再除以 11,所得余數(shù)與 11 的差即為所求。如上題( 2)中,( 32-17) 11 1 4,所求余數(shù)是 11-4=7。 例 3 求 除以 11的余數(shù)。 分析與解 :奇數(shù)位是 101 個 1,偶數(shù)位是 100個 9。 ( 9 100-1 101) 11 =799 11=72 7, 11-7=4,所求余數(shù)是 4。 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 18 - 例 3還有其它簡捷解法,例如每個“ 19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差 9-1 8, 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差 8 99=8 9 11,能被 11 整除。所以例 3 相當(dāng)于求最后三位數(shù) 191除以 11 的余數(shù)。 例 4 用 3, 3, 7, 7四個數(shù)碼能排出哪些能被 11 整除的四位數(shù)? 解 :只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個 3和一個 7即可。有 3377, 3773, 7337, 7733。 例 5 用 1 9九個數(shù)碼組成能被 11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。 分析與解 :最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是 987654321,由 ( 9 7 5 3 1) -( 8 6 4 2) 5 知, 987654321不能被 11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大,我們盡量調(diào)整低位數(shù)字,只要 使奇數(shù)位的數(shù)字和增加 3(偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少 3),奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?5 3 2=11,這個數(shù)就能被 11 整除。調(diào)整“ 4321”,只要 4 調(diào)到奇數(shù)位, 1 調(diào)到偶數(shù)位,奇數(shù)位就比原來增大 3,就可達到目的。此時, 4, 3 在奇數(shù)位, 2, 1 在偶數(shù)位,后四位最大是 2413。所求數(shù)為 987652413。 例 6 六位數(shù) 能被 99整除,求 A和 B。 分析與解 :由 99=9 11,且 9與 11互質(zhì),所以六位數(shù)既能被 9整除又能被 11整除。因為六位數(shù)能被 9整除,所以 A+2+8+7+5+B 22+A+B 應(yīng)能被 9整除,由此推知 A B 5或 14。又因為六位數(shù)能被 11整除,所以 ( A 8 5)( 2 7 B) A-B 4 應(yīng)能被 11整除,即 A-B+4=0或 A-B+4=11。 化簡得 B-A 4或 A-B 7。 因為 A+B與 A-B同奇同偶,所以有 在( 1)中, A 5與 A 7不能同時滿足,所以無解。 在( 2)中,上、下兩式相加,得 ( B A)( B-A) 14 4, 2B 18, 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 19 - B=9。 將 B=9代入 A B=14,得 A 5。 所以, A=5, B 9。 練 習(xí) 6 1為使五位數(shù) 6 295 能被 11整除,內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾? 2用 1, 2, 3, 4四個數(shù)碼能排出哪些能被 11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)? 3求能被 11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。 4求下列各數(shù)除以 11的余數(shù): ( 1) 2485; ( 2) 63582; ( 3) 987654321。 5求 除以 11的余數(shù)。 6六位數(shù) 5A634B 能被 33整除,求 A+B。 7七位數(shù) 3A8629B 是 88的倍數(shù),求 A和 B。 第 7講 找規(guī)律(一) 我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目,學(xué) 習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢?比如,一年有春夏秋冬四季,百花盛開的春季過后就是夏天,赤日炎炎的夏季過后就是秋天,果實累累的秋季過后就是冬天,白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年,總是按照春、夏、秋、冬四季變化,這就是周期性變化規(guī)律。再比如,數(shù)列 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0,是按照 0, 1, 2三個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的,這也是周期性變化問題。 下面,我們通過一些例題作進一步講解。 例 1 節(jié)日的夜景真漂亮,街上的彩燈按照 5 盞紅燈 、再接 4盞藍燈、再接 3盞黃燈,然后又是 5盞紅燈、 4盞藍燈、 3盞黃燈、這樣排下去。問: ( 1)第 100盞燈是什么顏色? ( 2)前 150盞彩燈中有多少盞藍燈? 分析與解 :這是一個周期變化問題。彩燈按照 5 紅、 4 藍、 3 黃,每 12 盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。 ( 1) 100 12 8 4,所以第 100盞燈是第 9個周期的第 4盞燈,是紅燈。 ( 2) 150 12=12 6,前 150盞燈共有 12 個周期零 6盞燈, 12個周期中有藍燈 4 12 48(盞),最后的 6盞燈中有 1盞藍燈,所以共有藍燈 48 1=49(盞)。 例 2 有一串?dāng)?shù),任何相鄰的四個數(shù)之和都等于 25。已知第 1個數(shù)是 3,第 6個數(shù)是 6,第 11個數(shù)是 7。問:這串?dāng)?shù)中第 24個數(shù)是幾?前 77個數(shù)的和是多少? 小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級) - 20 - 分析與解 :因為第 1, 2, 3, 4 個數(shù)的和等于第 2, 3, 4, 5 個數(shù)的和,所以第 1 個數(shù)與第 5個數(shù)相同。進一步可推知,第 1, 5, 9, 13,個數(shù)都相同。 同理,第 2, 6, 10, 14,個數(shù)都相同,第 3, 7, 11, 15,個數(shù)都相同,第 4, 8,12, 16個數(shù)都相同。 也就是說,這串?dāng)?shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以,第 2 個數(shù)等于第 6 個數(shù),是 6;第 3個數(shù) 等于第 11個數(shù),是 7。前三個數(shù)依次是 3, 6, 7,第四個數(shù)是 25-( 3+6+7) =9。 這串?dāng)?shù)按照 3, 6, 7, 9 的順序循環(huán)出現(xiàn)。第 24 個數(shù)與第 4 個數(shù)相同,是 9。由 77 4 9 1知,前 77個數(shù)是 19個周期零 1個數(shù),其和為 25 19+3=478。 例 3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是:從第 3個數(shù)起,每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問:這串?dāng)?shù)中第 88個數(shù)是幾? 628088640448 分析與解 :這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律,但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同,那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律,這 兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同,也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位: 當(dāng)寫出第 21, 22 位(豎線右面的兩位)時就會發(fā)現(xiàn),它們與第 1, 2 位數(shù)相同,所以這串?dāng)?shù)按每 20 個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由 88 20=4 8 知,第 88 個數(shù)與第 8 個數(shù)相同,所以第 88個數(shù)是 4。 從例 3看出,周期性規(guī)律有時并不明顯,要找到它還真得動點腦筋。 例 4 在下面的一串?dāng)?shù)中,從第五個數(shù)起,每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么

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