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1 3向量組的秩 一 最大線性無(wú)關(guān)向量組 二 向量組秩 2 n維向量組 假如 這說(shuō)明B組可由A組線性表示 一 最大線性無(wú)關(guān)向量組 3 若B中每個(gè)向量 都可由 A中的向量線性表示 則稱B可由A線性表示 若A與B可互相線性表示 則稱A與B等價(jià) 註 等價(jià)關(guān)系式 1 反身性 A與A等價(jià) 2 對(duì)稱性 若A與B等價(jià) 則B與A等價(jià) 定義8 3 傳遞性 若A與B等價(jià) B與C等價(jià) 則A與C等價(jià) 4 定義9 設(shè)向量組 若 1 向量組A線性無(wú)關(guān) 且 則稱A為T(mén)的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 例1 向量組 試求T 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 其中 5 解 6 注意 1 一般來(lái)說(shuō) 一個(gè)向量組T的最大無(wú)關(guān)組不是唯一的 2 向量組T的最大無(wú)關(guān)組A與T本身等價(jià) 事實(shí)上 若 為T(mén)的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 按定義9 T可 由A線性表示 7 反之 因A是T的一部分 A當(dāng)然可由A線性表示 即 例2 全體n維向量所構(gòu)成的向量組記為 證明 均有 8 證明 個(gè)數(shù) 維數(shù) 證畢 例3 由定理二 9 定理五 若 1 A線性無(wú)關(guān) 且 2 A可由B線性表示 證明 反證法 若r s 1 式的系數(shù)構(gòu)成r個(gè)s維向量 10 即有不全為零的數(shù) 即 2 將 2 式代入 3 式 得 11 把 1 式代入 5 式 整理得 12 13 矛盾 證畢 推論1 證明 B均線性無(wú)關(guān) A可由B線性表示 B可由A線性表示 證畢 14 推論2 在同一個(gè)向量組中 它的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所包含向量的個(gè)數(shù)相同 證明 設(shè)有向量組T 個(gè)數(shù) r 個(gè)數(shù) s 證畢 15 注意 僅有m個(gè)向量 向量組A線性無(wú)關(guān) A的最大無(wú)關(guān)組是A本身 A的秩 m A線性相關(guān) A的秩 A組向量的個(gè)數(shù)m 定義10 向量組的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r稱為該向量組的秩 二 向量組的秩 16 推論3 等價(jià)的向量組的秩相等 證明 A與B
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