第六章 空間統(tǒng)計(jì)分析.ppt

第六章空間統(tǒng)計(jì)分析 6 1屬性數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析6 2回歸分析6 3GIS數(shù)據(jù)內(nèi)插方法6 4景觀格局分析 6 1屬性數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析 1屬性數(shù)據(jù)的集中特征數(shù) 1 頻數(shù)和頻率將變量xi i 1 n 按照大小順序排列 并按一定的間距分組 變量在各組出現(xiàn)或發(fā)生的次數(shù)稱為頻數(shù) 各組頻數(shù)與總頻數(shù)之比叫做頻率 計(jì)算出各組的頻率后 可以作出頻率分布圖 若以縱軸表示頻率 橫軸表示分組 就可以作出頻率直方圖 用以表示事件發(fā)生的頻率和分布狀況 分組編號(hào)數(shù)值頻數(shù)頻率1 1 3 1 1 2 3 3 360 242 4 6 4 5 5 640 163 7 9 7 8 8 8 950 204 10 12 10 10 11 1240 165 13 15 13 13 14 14 15 1560 24 頻率分布表 頻率直方圖 2 平均數(shù)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的集中位置 對(duì)于數(shù)據(jù)Xi i 1 2 n 通常有簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù) 加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)和集合平均數(shù) 簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù) 將所有數(shù)據(jù)的數(shù)值相加 再除以數(shù)據(jù)的總數(shù)目 公式為 加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 當(dāng)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)總體的影響的權(quán)重值不同時(shí) 計(jì)算該平均數(shù) 將每個(gè)數(shù)據(jù)乘以權(quán)值后再相加 所得到的和除以數(shù)據(jù)的總體權(quán)重?cái)?shù) 計(jì)算公式為 調(diào)和平均數(shù) 各個(gè)數(shù)據(jù)的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù) 又稱為倒數(shù)平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)也分簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 其公式分別為 幾何平均數(shù) 是n個(gè)數(shù)據(jù)連乘的積開n次方根 計(jì)算公式為 3 數(shù)學(xué)期望以概率為權(quán)值的加權(quán)平均數(shù)稱為數(shù)學(xué)期望 其計(jì)算公式為 其中 Pi為事件發(fā)生的概率 4 中位數(shù)對(duì)于有序排列的數(shù)據(jù)集X 位于中間位置的數(shù)據(jù)即為中位數(shù) 中位數(shù)可以代替算術(shù)平均數(shù)反映某種現(xiàn)象變化的一般水平 不受極端值的影響 在有極大值和極小值的有序數(shù)據(jù)集中 當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí) n 1 2位數(shù)為中位數(shù) n為偶數(shù)時(shí) n 2和 n 2 1位的兩個(gè)數(shù)的平均值即為中位數(shù) 5 眾數(shù)眾數(shù)是一個(gè)數(shù)據(jù)集或一組變量中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)或變量 眾數(shù)可能不唯一 也不受極端值的影響 在總體數(shù)據(jù)數(shù)目或變量數(shù)目較多的情況下 它反映數(shù)據(jù)或變量分布的集中趨勢(shì) 2屬性數(shù)據(jù)的離散特征數(shù) 1 極差極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差 即R Max x1 x2 xn Min x1 x2 xn 根據(jù)定義 一個(gè)數(shù)據(jù)集的離差和恒等于0 若將離差取絕對(duì)值后求和 再取平均值 得到平均離差 2 離差 平均離差與離差平方和一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)值與其平均數(shù)之差稱為離差 即 離差平方和 平均離差和和離差平方和是表示各數(shù)值相對(duì)于平均數(shù)得離散程度的重要統(tǒng)計(jì)量 3 方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差是均方差的簡(jiǎn)稱 是以離差平方和除以變量個(gè)數(shù)求得的 記為s2 即 4 變差系數(shù)變差系數(shù)用來衡量數(shù)據(jù)相對(duì)變化的程度 標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根 記為 3屬性數(shù)據(jù)的圖表分析 1 直方圖根據(jù)屬性數(shù)據(jù)的某一屬性特征值的分布區(qū)間將其標(biāo)識(shí)在二維坐標(biāo)系中 一個(gè)坐標(biāo)軸代表了屬性特征值的值域 另外一個(gè)坐標(biāo)軸代表了對(duì)應(yīng)每一屬性特征值的數(shù)目 直方圖可以很好地反映屬性數(shù)據(jù)的分布趨勢(shì) 2 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖一般是在二維平面上表示 以屬性數(shù)據(jù)的兩個(gè)屬性特征值作為坐標(biāo)軸 將屬性數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)在二維坐標(biāo)系中 形成二維空間中的一些離散點(diǎn) 通過判斷這些離散點(diǎn)的相互關(guān)系 進(jìn)而確定兩種屬性的相互關(guān)系及其相關(guān)性 3 折線圖以屬性數(shù)據(jù)的兩個(gè)屬性特征值作為坐標(biāo)軸 將屬性數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)在二維坐標(biāo)系中 然后沿著一個(gè)坐標(biāo)軸的方向 將這些屬性數(shù)據(jù)連線 構(gòu)成折線圖 反映了一種屬性隨著另外一種屬性持續(xù)變化的發(fā)展動(dòng)態(tài)及變化趨勢(shì) 4 柱狀圖柱狀圖是用長方形的條柱表示屬性數(shù)據(jù) 而條柱的長度則表示為某一屬性的大小 可以用條柱的顏色和文理來表示不同的屬性特征 有水平條柱圖和豎直條柱圖之分 5 餅狀圖在表示屬性數(shù)據(jù)的某些特征時(shí) 一個(gè)餅狀圖分為若干扇形 每個(gè)扇形代表了一個(gè)屬性數(shù)據(jù) 該扇形的面積或者弧長則表示該屬性數(shù)據(jù)的一個(gè)屬性特征在眾多屬性數(shù)據(jù)中所占的比重 屬性數(shù)據(jù)越多 用餅狀圖表示的效果越差 4屬性數(shù)據(jù)的綜合評(píng)價(jià) 1 主成分法在處理實(shí)際問題時(shí) 多個(gè)變量之間經(jīng)常存在一定的相關(guān)性 為了降低分析時(shí)間和分析難度 提高分析效率 希望能夠用較少的幾個(gè)變量來代替原有的多個(gè)變量 且要求這較少的幾個(gè)變量能夠盡可能反映原有的多個(gè)變量的信息 主成分法就是這樣一種降維方法 基本原理主成分分析是把多個(gè)變量劃分為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法 從數(shù)學(xué)角度看 是一種降維處理技術(shù) 假定有n個(gè)地理樣本 每個(gè)樣本都有p個(gè)變量 則構(gòu)成一個(gè)n p矩陣 記原來的變量指標(biāo)為x1 x2 xp 新變量指標(biāo)為z1 z2 zm m p 則 當(dāng)p較大時(shí) 如果在p維空間中考察問題 問題比較復(fù)雜 需要進(jìn)行降維 系數(shù)aij確定原則 i zi和zj相互無關(guān) ii z1是x1 xp的一切線性組合中方差最大者 z2是與z1不相關(guān)的x1 xp的所有線性組合中方差最大者 zm是與z1 xm 1不相關(guān)的x1 xp的所有線性組合中方差最大者 這樣確定的新變量z1 z2 zm m p 分別稱為原變量x1 x2 xp的第1 第2 第m主成分 其中z1在總方差中占的比例最大 z2 zm方差依次遞減 找主成分就是確定原來變量xj在諸主成分zi上的荷載aij 他們分別是x1 x2 xp的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量 計(jì)算步驟 i 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 公式 1 ii 計(jì)算特征值與特征向量解特征方程 I R 0求出特征值 i i 1 p 并使其按照大小順序排列 即 1 2 p 0 然后分別求出對(duì)應(yīng)于特征值 i的特征向量ei i 1 p iii 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率 主成分zi的貢獻(xiàn)率為 累計(jì)貢獻(xiàn)率為 i 1 p 一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率85 95 的特征值 1 2 m所對(duì)應(yīng)的第1 第2 第m個(gè)主成分 iv 計(jì)算主成分載荷 應(yīng)用實(shí)例 i 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x11 000 0 327 0 714 0 3360 3090 4080 7090 1560 744x2 0 3271 000 0 0350 6440 4200 2550 009 0 0780 094x3 0 714 0 0351 0000 070 0 740 0 755 0 930 0 109 0 924x4 0 3360 6440 0701 0000 3830 069 0 046 0 0310 073x50 3090 420 0 7400 3831 0000 7340 6720 0980 747x60 4080 255 0 7550 0690 7341 0000 6580 2220 707x70 7090 009 0 930 0 0460 6720 6581 000 0 0300 890 x80 156 0 078 0 109 0 0310 0980 222 0 0301 0000 290 x90 7440 094 0 9240 0730 7470 7070 8900 2901 000 ii 由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值 以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率 主成分特征值貢獻(xiàn)率 累積貢獻(xiàn)率 z14 66151 79151 791z22 08923 21675 007z31 04311 58986 596z40 5075 63892 234z50 3153 50295 736z60 1932 14097 876z70 1141 27199 147z80 0450 50499 650z90 0310 350100 00 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù) 第一 第二 第三主成分的累積貢獻(xiàn)率已經(jīng)達(dá)到了86 596 因此只需要求出這三個(gè)主成分z1 z2 z3即可 iii 對(duì)于特征值 1 4 661 2 2 089 3 1 043分別求出其特征向量e1 e2 e3 再計(jì)算出各變量x1 x2 x9在主成分z1 z2 z3上的載荷 z1z2z3占方差的百分?jǐn)?shù) x10 739 0 532 0 00682 918x20 1230 887 0 00280 191x3 0 9640 0090 00992 948x40 0040 8680 00375 346x50 8130 444 0 00185 811x60 8190 1790 12571 843x70 933 0 133 0 25195 118x80 197 0 1000 97098 971x90 964 0 0020 00992 939 從表中可以看出 第一主成分z1與x1 人口密度 x5 人均糧食產(chǎn)量 x6 經(jīng)濟(jì)作物比例 x7 耕地比例 x9 灌溉田比例 呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān) 與x3呈現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān) 這幾個(gè)變量綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀態(tài) 因此可以認(rèn)為z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表 第二主成分z2與x2 人均耕地面積 x4 人均收入 x5 人均糧食產(chǎn)量 呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān) 與x1呈現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān) 除了x1 x2 x4 x5這幾個(gè)變量都反映了人均資源占有量的情況 因此可以認(rèn)為z2代表了人均資源量 第三主成分z3與x8 果園面積比例呈現(xiàn)的正相關(guān)程度最高 其次是x6 經(jīng)濟(jì)作物比例 而與x7 耕地比例 呈負(fù)相關(guān) 因此可以認(rèn)為第三主成分在一定程度上代表了農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu) 表中最后一列 占方差的百分?jǐn)?shù) 在一定程度上反映了三個(gè)主成分z1 z2 z3包含原變量的信息量多少 顯然 用這三個(gè)主成分代替原來的9個(gè)變量 可以使問題簡(jiǎn)化 在實(shí)際應(yīng)用中 一般只選擇前幾個(gè)主成分進(jìn)行應(yīng)用 因?yàn)榍皫讉€(gè)主成分的方差占總方差的95 以上 這樣既降低了原始數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量 又降低了原始數(shù)據(jù)的相關(guān)性 簡(jiǎn)化了處理問題的復(fù)雜性 例如 遙感TM多光譜圖像具有七個(gè)波段 其中1 2 3均為可見光波段 彼此之間高度相關(guān) 波段4 5 6 7為紅外線波段 也具有較高的相關(guān)性 對(duì)TM數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析 可以將原來相關(guān)的多個(gè)波段轉(zhuǎn)換為較少的幾個(gè)彼此不相關(guān)的主成分波段 2 層次分析法層次分析法由美國運(yùn)籌學(xué)家Satty于20世紀(jì)70年代提出 該方法能夠?qū)σ恍┠：暮蛷?fù)雜的決策問題進(jìn)行求解 層次分析法能將復(fù)雜的地理問題系統(tǒng)化 模型化 通過定性描述與定量分析相結(jié)合來解決多決策的地理問題 當(dāng)人們面對(duì)一個(gè)由相互制約 相互關(guān)聯(lián)的多因素構(gòu)成的復(fù)雜的 缺少輔助信息和定量數(shù)據(jù)的決策問題時(shí) 可以使用層次分析法 層次分析法可以系統(tǒng)化 層次化地將一個(gè)復(fù)雜的決策問題分解為若干組成因素 并根據(jù)各個(gè)組成要素與決策目的 備選方案之間的支配關(guān)系形成層次結(jié)構(gòu) 然后應(yīng)用兩兩比較的方法來確定各個(gè)備選方法的相對(duì)重要性 將人的主觀判斷用定量化的形式表達(dá)出來并進(jìn)行科學(xué)處理 進(jìn)而得到?jīng)Q策問題的最終解 排序原理是層次分析法的基本原理 層次分析法形式簡(jiǎn)單 對(duì)復(fù)雜問題構(gòu)建層次模型十分方便 容易被人理解和接受 應(yīng)用較廣 對(duì)復(fù)雜問題構(gòu)建層次模型一般分為6個(gè)步驟 1 分析問題 明確問題的實(shí)現(xiàn)目標(biāo) 組成因素 影響因子 權(quán)重 和備選方案 2 建立層次結(jié)構(gòu) 層次結(jié)構(gòu)由三層構(gòu)成 最上層是目標(biāo)層 將研究問題最終要得到的結(jié)論 目的 放入該層 中間層是準(zhǔn)則層 將解決問題所需要的各個(gè)組成因素和與之對(duì)應(yīng)的影響因子 權(quán)重 放入該層 最底層是決策層 將備選方案放入該層 層次分析法的結(jié)構(gòu) 3 構(gòu)建關(guān)聯(lián) 將準(zhǔn)則層的準(zhǔn)則與決策層的備選方案之間建立關(guān)聯(lián) 確定每一條備選方案受到哪些準(zhǔn)則的影響 4 建立判斷矩陣 判斷準(zhǔn)則層和決策層中的各個(gè)元素與本層中的其他元素之間的相對(duì)重要性 5 層次排序 分為層次單排序和層次總排序兩種類型 層次單排序是指對(duì)于上一層中的每個(gè)元素 確定本層中與之有關(guān)聯(lián)的多個(gè)元素之間的重要性 并進(jìn)行排序 得到重要性權(quán)重 層次總排序是指當(dāng)完成上一層中每個(gè)元素的單排序后 可以根據(jù)所有元素的重要性權(quán)重對(duì)本層中所有元素進(jìn)行排序 6 一致性檢驗(yàn)為了評(píng)價(jià)層次排序結(jié)果的一致性 需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn) 檢驗(yàn)公式為 如果一致性檢驗(yàn)滿足一定的條件 其結(jié)果即為當(dāng)前的最優(yōu)結(jié)果 6 2回歸分析回歸分析主要是探討兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間關(guān)系的一種數(shù)據(jù)分析方法 變量之間的關(guān)系可以分為兩類 函數(shù)關(guān)系 也稱確定性關(guān)系 變量之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)關(guān)系式精確表示 如長方形面積與周長的函數(shù)關(guān)系y ab 統(tǒng)計(jì)關(guān)系 也稱為隨機(jī)關(guān)系 是指多變量之間具有一定的關(guān)聯(lián)性 但是不能用確定的函數(shù)關(guān)系式精確表示 即不能根據(jù)自變量完全確定因變量的值 如人的身高和體重之間的關(guān)系 回歸分析是指對(duì)具有相關(guān)統(tǒng)計(jì)關(guān)系的多個(gè)變量 根據(jù)其關(guān)系形態(tài) 選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型 用來近似地表示多個(gè)變量之間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法 該數(shù)學(xué)模型用函數(shù)關(guān)系式表示為Y f x1 x2 xn 該方程稱為回歸方程 根據(jù)回歸模型中變量的個(gè)數(shù) 回歸曲線的形態(tài)和回歸變量的特征分為一元線性回歸 多元線性回歸 非線性回歸 趨勢(shì)面分析和空間回歸等 1一元線性回歸分析 1 一元線性回歸分析設(shè)因變量y與自變量x具有統(tǒng)計(jì)關(guān)系 現(xiàn)在獲得n組獨(dú)立的觀測(cè)數(shù)據(jù) xi yi 其中i 1 2 n 則一元線性回歸分析模型的最通常的形式為 Yi xi i i 1 2 n 其中誤差項(xiàng) i相互獨(dú)立 服從同一分布N 0 2 因此一元線性回歸模型可以表示為 其中 和 稱為模型的回歸參數(shù)或回歸系數(shù) 一元線性模型有兩個(gè)部分 x的線性函數(shù)加上誤差項(xiàng) 線性部分反映了由于x的變化而引起的Y的變化 誤差項(xiàng) i反映了隨機(jī)因素對(duì)Y的影響 2 總體回歸方程和樣本回歸方程總體回歸直線為E Y X 方程的圖示是一條直線 其中 是回歸直線在y軸上的截距 是直線的斜率 表示當(dāng)x每變動(dòng)一個(gè)坐標(biāo)軸單位時(shí) y的平均變動(dòng)值 樣本回歸直線為 E Y X 總體回歸方程 t 1 n 是估計(jì)值 和是 的估計(jì)值 樣本的回歸模型為 其中et是殘差 即樣本估計(jì)值與樣本實(shí)際值的差 3 一元線性回歸模型的回歸參數(shù)估計(jì)回歸參數(shù)估計(jì)的基本思想是 根據(jù)大量已知樣本值來確定回歸方程時(shí) 總是希望y的估計(jì)值從整體來看盡可能接近其實(shí)際觀測(cè)值 即殘差e的總量越小越好 殘差e的取值有正值也有負(fù)值 其代數(shù)和可能為零 因此采用殘差平方和來衡量總體偏差的大小 對(duì)回歸系數(shù)使用最小二乘法進(jìn)行估計(jì) 設(shè) 將Q對(duì)和求偏導(dǎo) 并令其等于零 整理得 解此方程組可得 2多元線性回歸分析 1 多元線性回歸模型設(shè)因變量Y與自變量X1 X2 Xn之間共有n組觀測(cè)數(shù)據(jù) 且假定因變量與自變量之間存在線性關(guān)系 則其數(shù)學(xué)模型為Y 0 1X1 2X2 mXm 多元回歸模型除了滿足一元回歸模型的基本假定外 還要求多個(gè)自變量之間不能有較強(qiáng)的線性關(guān)系 多元回歸模型的矩陣表示形式為 Y X 2 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)設(shè)m元線性回歸方程為y b0 b1x1 b2x2 bmxm其中b0 b1 b2 bm為最小二乘估計(jì)值 Q為關(guān)于b0 b1 b2 bm的m 1元函數(shù) 根據(jù)多元函數(shù)求極值的方法 得到回歸系數(shù) 其中cij是系數(shù)矩陣A的逆矩陣的元素 3非線性回歸分析 1 非線性回歸分析常用的函數(shù)拋物線函數(shù) Y a bX cX2雙曲線函數(shù) Y a b 1 X 冪函數(shù) Y aX1b1X2b2 Xkbk指數(shù)函數(shù) Y abX對(duì)數(shù)函數(shù) Y a blnXS型曲線函數(shù) Y L 1 ae bx L a b 0 多項(xiàng)式函數(shù) Y b0 b1X b2X2 bkXk 2 非線性回歸模型的估計(jì)非線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 可將非線性函數(shù)通過改變因變量表達(dá)形式 將其轉(zhuǎn)換為線性回歸模型 從而求得回歸參數(shù) 常用的變換有以下幾種 倒數(shù)變換 對(duì)于雙曲線方程Y a b 1 X 設(shè)X 1 X 則雙曲線方程可以變換為一元線性方程Y a bX 半對(duì)數(shù)變換對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)Y a blnX 設(shè)X lnX 則對(duì)數(shù)函數(shù)變換為函數(shù)Y a bX 雙對(duì)數(shù)變換對(duì)于冪函數(shù)Y aX1b1X2b2 Xkbk 對(duì)兩邊求對(duì)數(shù)得到lnY lna b1lnX1 b2lnX2 bklnXk設(shè)Y lnY b0 lna X1 lnX1 Xk lnXk則冪函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為多元線性模型Y b0 b1X1 b2X2 bkXk 多項(xiàng)式變換對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)Y b0 b1X b2X2 bkXk設(shè)X1 X X2 X2 Xk Xk 則方程變換為Y b0 b1X1 b2X2 bkXk 4趨勢(shì)面分析趨勢(shì)面分析是利用數(shù)學(xué)曲面模擬現(xiàn)實(shí)世界地理要素在空間上的分布及變化趨勢(shì)的一種方法 是一種線性多元多重統(tǒng)計(jì)分析方法 趨勢(shì)面分析實(shí)質(zhì)上是通過回歸分析原理 利用最小二乘法擬合一個(gè)曲面函數(shù) 模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律 展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì) 1 趨勢(shì)面分析模型的建立趨勢(shì)面模型包括兩個(gè)部分 即趨勢(shì)曲面和隨機(jī)干擾 所以趨勢(shì)面的理論模型為 趨勢(shì)面 趨勢(shì)曲面 隨機(jī)干擾設(shè)z x y 表示研究對(duì)象的某一種特征值 即某地理要素的實(shí)際觀測(cè)值 f x y 表示某一趨勢(shì)面函數(shù) 表示隨機(jī)干擾誤差項(xiàng) 則趨勢(shì)面分析模型為Zi x y fi