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; ; ; ; 全等三角形的性質(zhì)是對應(yīng)邊、對應(yīng)角、周長、面積都分別 兩個三角形具備下列( )條件,則它們一定全等A兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等B三個角對應(yīng)相等且面積相等C兩角和一組對應(yīng)邊相等D兩邊及面積對應(yīng)相等 下列命題錯誤的是( ) A面積相同的兩個三角形必然是一對全等三角形B某一三角形經(jīng)過任意平移所產(chǎn)生的三角形與原三角形全等C兩條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D有兩角和一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等【解析】 定義,;相等B;A【鞏固】 考查下列命題:有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對應(yīng)相等的兩個三角形全等;兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對應(yīng)相等的兩個三角形全等;兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對應(yīng)相等的兩個三角形全等其中正確命題的個數(shù)有_個已知中,作與只有一條公共邊,且與全等的三角形,這樣的三角形一共能作出 個如圖,在中,垂足為分別是上的點,且如果,那么_如圖,已知中,三角形的頂點在相互平行的三條直線上,且之間的距離為,之間的距離為,則的長是_ 【解析】 ,注:正確的是; ; ; 【例2】 如圖,已知,點A、D、B、F在一條直線上,要使,還需添加一個條件,這個條件可以是( )并且寫出證明過程。【解析】 ,都可以,證明過程略【鞏固】 如圖,已知點在線段上,請在下列四個等式中,選出兩個作為條件,推出并予以證明(寫出一種即可)已知: , 求證:【解析】 已知:(或、或)【解析】 若選在和中(選擇、或評分標(biāo)準(zhǔn)類似,證明略)CEBFDA【鞏固】 如圖,在和中,與交于點 求證:; 求證:【解析】 由可以證明(邊邊邊) 由可知,從而,又由 故,從而有。全等三角形的判定方法:(1) 邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS):三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS):兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用:運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題,在證明的過程中,注意有時會添加輔助線奧數(shù)賽點:能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)判定三角形全等的基本思路:全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式: 平移全等型 對稱全等型 旋轉(zhuǎn)全等型 由全等可得到的相關(guān)定理: 角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 到一個角的兩邊的距離相同的點,在這個角的平分線上 等腰三角形的性質(zhì)定理:等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊) 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上【例3】 如圖,是線段的中點,平分,平分, 求證:; 若,求的度數(shù)【解析】 由是線段的中點,平分,平分,可知: ,,即證(邊角邊) 由上問知:故從而【鞏固】 如圖,分別過點作的邊上的中線及其延長線的垂線,垂足分別為求證:【解析】 觀察圖形,注意到為的中點,考慮證明, CEAD于E,BFAD于F,CED =BFD =90 又AD是BC邊上的中線,又,故 【鞏固】 如圖所示,已知,求證:【解析】 連接,根據(jù)易得,進而得根據(jù)易得,進而得【鞏固】 如圖,和中,點E在BC邊上, 求證:; 如果,將繞著點旋轉(zhuǎn)一個銳角后與重合,求這個旋轉(zhuǎn)角的大小.【解析】 , ,與是一組對應(yīng)邊,為旋轉(zhuǎn)角, 【鞏固】 在正方形中,為對角線,為上一點,連接 求證:; 延長交于,當(dāng)時,求的度數(shù)【解析】 四邊形是正方形又,。 , , 【例4】 已知:如圖1,中,點在斜邊上,且 求證:線段總能構(gòu)成一個直角三角形; 已知:如圖2,等邊三角形中,點在邊上,且,請你找出一個條件,使線段能構(gòu)成一個等腰三角形,并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù); 在的條件下,如果,求的值 【解析】 如圖1,以為一邊作,在上截取,則,連接,則,是直角三角形又,線段總能構(gòu)成一個直角三角形 當(dāng)時,線段能構(gòu)成一個等腰三角形如圖2,與類似,以為一邊,作,在上截取,可得, 若使為等腰三角形,只需,即當(dāng)時,線段能構(gòu)成一個等腰三角形,且頂角為 如圖1,又,又,中,由,得,板塊二、與角平分線相關(guān)的問題角平分線的兩個性質(zhì):角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對稱的模型,一般情況下,有下列三種作輔助線的方式:1 由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線,2 過角平分線上的一點作角平分線的垂線,從而形成等腰三角形,3 ,這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍, 【例5】 在中,分別平分,且相交于,(1)求證:點在的平分線上,(2)寫出與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明【解析】 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;故點到的距離等于到的距離,而到 的距離等于到的距離,從而到的距離等于到的距離。故為角平分線過分別作垂直于,,所以,從而,因此,,可證全等。【例6】 如圖,在中,平分交于,于交于,交于,連接求證: 【解析】 先證,再證【例7】 如圖 在三角形中 ,是的角平分線,; 求證:【解析】 由得,又是的角平分線,故,從而得【例8】 如圖,在中,是的平分線,交的延長線于點。求證:?!窘馕觥?延長交于點,那么由角平分線的性質(zhì)可知有,所以,而由,可知,可以證明,即得.【例9】 如圖,在中,交于點,點是中點,交的延長線于點,交 于點,若,求證:為的角平分線【解析】 延長到點,使,連結(jié)在和中,而又,為的角平分線【例10】 如圖,在的兩邊上分別取, 和相交于點。求證:點在的平分線上?!窘馕觥?由,且共可知,,故,又,所以,從而,有,且,共邊,所以即有,從而得證平分,即點在的平分線上?!纠?1】 如圖,在中,的平分線交與求證:【解析】 方法一:在上取一點,使得連結(jié)在和中,又,方法二:在的延長線上取一點使得,連結(jié)在和中,又,方法三:延長到點使得,連結(jié)則有又,又, 方法四:如圖,作平分交、于、點延長到,使,連結(jié),又即且,同理,【例12】 如圖,平分,平分,點在上 探討線段、和之間的等量關(guān)系 探討線段與之間的位置關(guān)系【解析】 ; 在線段上取點,使,連結(jié)在和中,而在和中,【例13】 在,是的平分線,過作的垂線交直線于點若,試求和的度數(shù)【解析】 由于點在直線上,因而應(yīng)分兩種情況討論計算:如圖所示,過作的垂線交的延長線于點,延長到,使由題設(shè)平分知,注意到公用,則由角邊角公理得,于是有又由知,從而在中,因此,如圖所示,過作的垂線交的延長線于點,延長到,使由題設(shè)平分知,注意到公用,則,即有且又由知,從而于是在中,即有,即,家庭作業(yè)1 (2008年北京)是和的平分線,求證:【解析】 是和的角平分線,在和中(SAS),2 如圖,已知是上的一點,又,求證:【解析】 ,3 在中,的平分線交于,過作,為垂足,求證: 【解析】 延長交的延長線于,過作交于,容易證得,且為之中點,故易得4 已知等腰,的平分線交于,則【解析】 解法一:如圖,在上截取,連接,過作,交于,于是,又,故顯然是等腰梯形,又,解法二:如圖,延長到,使,在上截取,為公共邊,故,故,故,解法三:如圖,延長到,使延長到,使連接、,公共,又,而又公共,5 如圖,已知在中,求證:【解析】 延長交于,又,6 在直角三角形中,的平分線交于自作交于,交于自作于,求證:【解析】 解法一:如圖,4點共圓,又,故解法二:如圖,連接是的平分線,四邊形是菱形解法三:如圖,公共,是的中垂線,故解法四:如圖,延長交于

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