彈性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系ppt課件.ppt

4 1物體的彈性性質(zhì)和 4 2線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系 第四章本構(gòu)關(guān)系 4 3各向同性線彈性材料的物理方程 一般情況下 物體的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系 可表示為 應(yīng)力與應(yīng)變張量均為六個獨(dú)立分量 則 4 1物體的彈性性質(zhì) 廣義Hooke定律 一 彈性的概念 如果材料呈單值連續(xù)關(guān)系 不一定線性 則稱為柯西 Cauchy 彈性材料 一般意義上的彈性 受材料在單向拉伸試驗(yàn)時(shí)彈性階段的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系 胡克定律 的啟發(fā) 線彈性材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下其應(yīng)力張量與應(yīng)變張量亦呈線性關(guān)系 稱為廣義胡克定律的一般形式 呈線性單值連續(xù)關(guān)系的材料性質(zhì)稱為線彈性 在柯西彈性的基礎(chǔ)上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件 使有勢函數(shù)存在 則這種彈性性質(zhì)又稱為超彈性 可以證明線彈性一定是超彈性 二 廣義胡克 Hooke 定律 即 廣義胡克定律的一般形式最廣泛地描述了材料的線彈性性質(zhì) 但未能描述物體外部環(huán)境條件和內(nèi)部物理特征 其中 稱為彈性常數(shù) 共81個系數(shù) 因各六個獨(dú)立 縮減為36個獨(dú)立的常數(shù) cmn和cijkl的下標(biāo)對應(yīng)關(guān)系 如 c22 c2222 c56 c2331 矩陣表示形式 分別稱為應(yīng)力和應(yīng)變列陣 稱為彈性矩陣 其元素cmn為36個 其中 張量表示形式 4 2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系 如果材料在變形過程中處于等溫絕熱過程 根據(jù)熱力學(xué)第一定律和相應(yīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo) 有勢 其勢函數(shù)U0 ij 為物體單位體積的變形能 應(yīng)變能 Green公式 由 同理 即 彈性矩陣為對稱矩陣 共有21個獨(dú)立的彈性常數(shù) 對稱 廣義胡克定律的上述形式表征的是各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系 如果材料具有彈性對稱面 則本構(gòu)關(guān)系還可簡化 使彈性常數(shù)進(jìn)一步縮減 彈性體中每一點(diǎn)均有一個對稱方向 在這些對稱方向上彈性性質(zhì)相同 即應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變 稱為彈性對稱 彈性對稱 一 橫觀各向異性材料 相應(yīng)的對稱方向和對稱面稱為彈性對稱方向和彈性對稱面 垂直于彈性對稱面的方向稱為彈性主軸 x y z 彈性對稱面 O P x y z P x y z y 設(shè)Oxy平面為材料的彈性對稱面 z軸為彈性主軸 其中 C 為各向異性的彈性矩陣 現(xiàn)將z軸反向 考察其本構(gòu)關(guān)系 x z 僅具有一個彈性對稱面的材料稱為橫觀各向異性材料 體內(nèi)一點(diǎn)P x y z 的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?和 則 在新坐標(biāo)下 由于彈性對稱 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系保持不變 但P點(diǎn)坐標(biāo)和應(yīng)力應(yīng)變分量發(fā)生變化 由坐標(biāo)變換 兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為 代入上式 由 比較得 例如比較 C 和 C 中的第一行 橫觀各向異性材料 其獨(dú)立的彈性常數(shù)為13個 正應(yīng)變會產(chǎn)生切應(yīng)力 切應(yīng)變也會產(chǎn)生正應(yīng)力 工程上 單斜晶體 如正長石 可簡化為橫觀各向異性彈性體 橫觀各向異性材料的廣義胡克定律可表示為 對稱 將y軸反向 不產(chǎn)生新的結(jié)果 將x軸反向 仿前分析步驟可得 二 正交各向異性材料 設(shè)三個彈性對稱面分別為Oxy Oyz和Ozx平面 材料沿x y z三方向彈性性質(zhì)各異 具有三個相互垂直彈性對稱面的材料稱為正交各向異性材料 綜合之 正交各向異性材料的廣義胡克定律可表示為 對稱 正交各向異性材料 其獨(dú)立的彈性常數(shù)為9個 正應(yīng)變僅產(chǎn)生正應(yīng)力 切應(yīng)變僅產(chǎn)生切應(yīng)力 煤 木材 增強(qiáng)纖維復(fù)合材料等可簡化為正交各向異性彈性體 工程上一般用三個彈性模量 Ex Ey Ez 三個泊松比 Poisson xy yz zx 和三個切變模量 Gxy Gyz Gzx 表示 三 橫觀各向同性材料 具有各向同性面 且各各向同性面相互平行 或具有彈性對稱軸 的物體 稱為橫觀各向同性材料 y z x x y z O 設(shè)體內(nèi)每一點(diǎn)存在一軸 z軸 在與此軸垂直的平面 Oxy 內(nèi) 所有射線方向的彈性性質(zhì)均相同 稱該平面為各向同性面 在正交各向異性的基礎(chǔ)上 按相似分析步驟 設(shè)xy平面繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角度 旋轉(zhuǎn)前后應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變 比較其彈性常數(shù)可得 對稱 所以 橫觀各向同性材料的廣義胡克定律可表示為 橫觀各向同性材料 其獨(dú)立的彈性常數(shù)為5個 地層 層狀巖體 復(fù)合板材等可簡化為橫觀各向同性彈性材料 工程上一般用兩個彈性模量 Exy Ez 兩個泊松比 xy z 和一個切變模量 G 表示 四 各向同性材料 在橫觀各向同性的基礎(chǔ)上 將z軸反向 考察其反向前后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得 對稱 所以 各向同性材料的廣義胡克定律可表示為 各向同性材料獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個 4 3各向同性線彈性材料的物理方程 一 廣義胡克定律的基本形式 對于各向同性材料的廣義胡克定律表達(dá)式 展開 令 則 其中 張量形式 注 Lam 原文所用符號為 和 而非G 也不是泊松比 在工程形式中 Lam 常數(shù) 實(shí)際上被定義為切變模量G G稱為拉梅 Lam 常數(shù) 此即廣義胡克定律的基本形式 該形式數(shù)學(xué)表述簡練 便于理論推導(dǎo)應(yīng)用 但力學(xué)意義不能一目了然 不便于工程運(yùn)用 二 廣義胡克定律的工程形式 將前六式反解 并令 則 此即廣義胡克定律的工程形式 其中常數(shù)E G和 是廣為熟知的彈性模量 切變模量和泊松比 僅兩個獨(dú)立 張量形式 其中 由 得 若用應(yīng)變表示 反解或由基本形式代入即得 或 三 體積胡克定律 由 即 描述了體積應(yīng)力和體積應(yīng)變的關(guān)系 令 稱為體積彈性模量 故 稱為體積胡克定律 張量形式 或 所以 當(dāng)i j時(shí) 因 三式相加為恒等式 即六對量僅五個關(guān)系 補(bǔ)充一個關(guān)系 體積胡克定律 故 四 廣義胡克定律的偏量形式 此形式