兩角差的余弦公式教案設(shè)計(jì).doc

兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)沁源一中 竇紅霞一、 學(xué)情分析本課時(shí)面對(duì)的學(xué)生是高一年級(jí)的學(xué)生，數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時(shí)期，學(xué)生對(duì)探索未知世界有主動(dòng)意識(shí)，對(duì)新知識(shí)充滿探求的渴望。 在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的概念、平面向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，這為他們探究兩角差的余弦公式建立了良好的知識(shí)基礎(chǔ)。二、 教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是教材必修4第三章三角恒等變換第一節(jié)，推導(dǎo)得到兩角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。過去教材曾用余弦定理證明兩角和的余弦公式，雖能對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，但過程繁瑣，不易被學(xué)生接受。由于向量工具的引入，新教材選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，這樣處理使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算，大大地降低了思考的難度，也更易于學(xué)生接受。從知識(shí)產(chǎn)生的角度來看，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)及平面向量后再學(xué)習(xí)由這些知識(shí)推導(dǎo)出的新知識(shí)也更符合知識(shí)產(chǎn)生的規(guī)律，符合人們認(rèn)知的規(guī)律。從知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值來看，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，是新教材的顯著特點(diǎn)，課本中豐富的生活實(shí)例為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活、體驗(yàn)生活即數(shù)學(xué)理念，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?；谏鲜龇治?，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生通過合作、交流，探索兩角差的余弦公式，為后續(xù)簡(jiǎn)單的恒等變換的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。三、 教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)通過兩角差的余弦公式的探究，讓學(xué)生在初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能的基礎(chǔ)上記憶公式，并用之解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，為后面推導(dǎo)其他和（差）角公式打好基礎(chǔ)。2、能力目標(biāo)通過利用同角三角函數(shù)變換及向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式，讓學(xué)生體會(huì)利用聯(lián)系的觀點(diǎn)來分析問題，解決問題，提高學(xué)生邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力3、情感目標(biāo)使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，體驗(yàn)成功探索新知的樂趣，獲得對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生提出問題的意識(shí)以及努力分析問題、解決問題的激情。四、 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式。難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。五、 教學(xué)基本流程 引入問題，提出探究明確途徑，組織和引導(dǎo)學(xué)生自主探索 例題、練習(xí)講解，深化公式的理解與運(yùn)用小 結(jié) 作 業(yè) 六、 教學(xué)過程(一) 問題引入我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道一些特殊角的三角函數(shù)值，例如，而，那么大家猜想一下，等于多少呢？是不是等于呢？根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！也就是一般不等于，下面我們就一起探究兩角差的余弦公式。（設(shè)計(jì)意圖：教科書以一個(gè)實(shí)際問題（求電視發(fā)射塔的高度）作為引子，目的在于提出問題，引入研究課題。同時(shí)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活有關(guān)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。解決這個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題需要用方程的思想分析問題，考慮到我班學(xué)生的實(shí)際情況，這樣做一定程度會(huì)搶去這節(jié)課主要研究內(nèi)容的風(fēng)頭。而且，在這個(gè)問題中要解決的與這節(jié)課要研究的的聯(lián)系不夠直接。用來引入，一來可以節(jié)省時(shí)間，二來引出課題更加直接，更加自然。）(二) 公式探究第一步，明確探究途徑與目的yOxAB提示學(xué)生聯(lián)系與角的余弦相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，明確以向量運(yùn)算中的數(shù)量積與三角函數(shù)線作為研究途徑。如右圖，在單位圓中作出角，它們的終邊與單位圓分別交于A、B兩點(diǎn)，先假設(shè)，且，提出以下問題：（1） 此時(shí)的取值范圍是多少？（2） 圖中哪個(gè)角可以表示？（3） 可以看作是哪兩個(gè)向量的夾角？（問題設(shè)計(jì)目的：在探究公式的過程中，教材不要求學(xué)生做到一步到位。首先對(duì)角選擇較為特殊的范圍來進(jìn)行探究，能讓學(xué)生從整體上感知本節(jié)課所要探究的途徑與目的，讓大部分學(xué)生都參與到探究中來，避免部分學(xué)生一開始就感覺到困難，提不起向下探究的興趣。）第二步，復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)（1）向量的數(shù)量積運(yùn)算（強(qiáng)調(diào)向量夾角的范圍）（2）三角函數(shù)線（結(jié)合圖形，特別要強(qiáng)調(diào)方向問題）第三步，推導(dǎo)公式在證明公式之前先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)。證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為 始邊作角，其中，且，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B，則 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有： 由，且知，那么向量的夾角就是，由數(shù)量積的定義，有于是 （1） 由于我們前面的推導(dǎo)均是在，且的條件下進(jìn)行的，因此（1）式還不具備一般性。事實(shí)上，只要，所表示的就是向量的夾角。（這一點(diǎn)可以結(jié)合圖形作出說明。） 但是，若，（1）式是否依然成立呢？當(dāng)時(shí)，設(shè)與的夾角為，則另一方面，于是所以也有 綜上所述，得出公式：對(duì)任意的，（說明：公式的推導(dǎo)遵循由淺入深，由特殊到一般，逐層深入的規(guī)律，這樣安排，能讓更多學(xué)生參與到探究當(dāng)中。教材當(dāng)中對(duì)公式給出了兩種證明方法，一是幾何方法，一是向量方法。幾何方法的推導(dǎo)過程較為繁難，教材僅僅對(duì)特殊情況作了分析，而向量方法則顯得更加直觀和簡(jiǎn)潔。為了讓學(xué)生體驗(yàn)向量工具的優(yōu)點(diǎn)，可以布置學(xué)生在預(yù)習(xí)時(shí)按照教材的思路采取幾何方法進(jìn)行證明。）第四步，公式的記憶讓學(xué)生自己總結(jié)公式的特點(diǎn)，便于記憶。注： 1.公式中兩邊的符號(hào)正好相反（一正一負(fù)）；2.式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后；3.式子中、是任意的。(三) 例題講解例1 利用差角余弦公式求。解：方法一：方法二：（設(shè)計(jì)意圖：此題是對(duì)公式的直接應(yīng)用，體現(xiàn)了角的拆分的思想。拆分的多樣性，體現(xiàn)了變換的多樣性。求解的過程可以完全由學(xué)生獨(dú)立完成。）思考：如何求？（設(shè)計(jì)意圖：由的值求的值，為后面變換函數(shù)種類的思考作出鋪墊。）解題思路： 解：由，得又由是第三象限角，得所以 =（設(shè)計(jì)意圖：此題是應(yīng)用、理解公式的基礎(chǔ)練習(xí)，解此題需要思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備，要作出這些必要的準(zhǔn)備，需要運(yùn)用到同角三角函數(shù)的知識(shí)。解題時(shí)必須強(qiáng)調(diào)解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。）思考：如果去掉條件中的，對(duì)題目和結(jié)果有沒有影響？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論的思想，提高表達(dá)能力。）例3 化簡(jiǎn)求值（設(shè)計(jì)意圖：此題是對(duì)公式的逆用，目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解與應(yīng)用。）例4已知都是銳角，求 的值。（設(shè)計(jì)意圖：此題是對(duì)公式的活用，由學(xué)生討論解決。此題一般有兩種方法可以求解。一種方法是把分解，此公式還沒推導(dǎo)，但部分學(xué)生可能會(huì)把看作，然后用兩角差的余弦公式分解，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解。這種方法雖然較繁，但卻讓學(xué)生在無意當(dāng)中發(fā)現(xiàn)了兩角和的余弦公式。另一種方法是把看做兩角差，即，這種方法顯然計(jì)算要簡(jiǎn)單得多。通過不同方法的講解，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度思考問題，并指引學(xué)生在考試中選擇較為簡(jiǎn)便的方法解題。