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計(jì) 算 方 法實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號(hào):實(shí)驗(yàn)一 實(shí)驗(yàn)名稱:觀察Runge現(xiàn)象和對(duì)非光滑函數(shù)進(jìn)行插值的可能性實(shí) 驗(yàn) 人: 鮑梅專業(yè)年級(jí):10計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué) 號(hào):21016775實(shí)驗(yàn)時(shí)間:2013.10.08江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)一觀察Runge現(xiàn)象和對(duì)非光 滑函數(shù)進(jìn)行插值的可能性一、相關(guān)原理在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為,構(gòu)造其Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為,Lagrange插值多項(xiàng)式為其截?cái)嗾`差為其中,二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠^察高次Lagrange插值多項(xiàng)式的Runge現(xiàn)象;觀察非光滑函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式插值的可能性三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容考慮在一個(gè)固定的區(qū)間上用Lagrange插值逼近一個(gè)函數(shù)顯然Lagrange插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多,插值多項(xiàng)式似的次數(shù)就越高我們自然關(guān)心插值多項(xiàng)式的次數(shù)增加時(shí),是否也更加靠近被逼近的函數(shù)設(shè)區(qū)間上函數(shù)考慮區(qū)間上的一個(gè)等距分割,節(jié)點(diǎn)為作在上的Lagrange插值多項(xiàng)式其中為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)連續(xù)非光滑函數(shù)的幾何特性非常差,在幾何圖象上一般會(huì)出現(xiàn)大量的尖點(diǎn)在構(gòu)造非光滑函數(shù)的多項(xiàng)式插值時(shí),由于多項(xiàng)式具有高階光滑度,兩者之間會(huì)產(chǎn)生怎樣的現(xiàn)象?選擇區(qū)間上的連續(xù)非光滑函數(shù)作區(qū)間上的Lagrange插值多項(xiàng)式四、實(shí)驗(yàn)要求選擇不斷增大的節(jié)點(diǎn)數(shù)目,畫出原函數(shù)及插值多項(xiàng)式在區(qū)間的上的圖象,比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果選擇其他的函數(shù),例如定義在區(qū)間上的函數(shù)重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)過程,觀察其結(jié)果又將如何如果不取等距節(jié)點(diǎn),而改為取如下節(jié)點(diǎn),以為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述函數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式,比較其結(jié)果選擇不同的和,用等距節(jié)點(diǎn)作的次Lagrange插值多項(xiàng)式,觀察其誤差大小及收斂情況 五、實(shí)驗(yàn)選擇不斷增大的節(jié)點(diǎn)數(shù)目,畫出原函數(shù)及插值多項(xiàng)式在區(qū)間的上的圖象,比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果原函數(shù)及插值多項(xiàng)式在區(qū)間的上的圖象如圖所示,出現(xiàn)runge現(xiàn)象。選擇其他的函數(shù),例如定義在區(qū)間上的函數(shù) 重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)過程,觀察其結(jié)果,如下圖所示: 隨著n的增加,出現(xiàn)runge現(xiàn)象。 如圖所示,隨著n的增加,出現(xiàn)runge現(xiàn)象。如果不取等距節(jié)點(diǎn),而改為取如下節(jié)點(diǎn),以為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述函數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式,比較其結(jié)果不取等距節(jié)點(diǎn),函數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式不出現(xiàn)runge現(xiàn)象。 選擇不同的和,用等距節(jié)點(diǎn)作的次Lagrange插值多項(xiàng)式,觀察其誤差大小及收斂情況如圖所示,k取10時(shí),隨著n的增加,出現(xiàn)runge現(xiàn)象。六、實(shí)驗(yàn)結(jié)論取等距節(jié)點(diǎn)時(shí),高次Lagrange插值多項(xiàng)式隨著次數(shù)n的增大,Runge現(xiàn)象越明顯。不取等距節(jié)點(diǎn)時(shí),高次Lagrange插值多項(xiàng)式隨著次數(shù)n的
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