人教A版選修45 第一講一不等式 第2課時 學(xué)案.doc

2.基本不等式1了解兩個正數(shù)的幾何平均與算術(shù)平均2會用基本不等式求一些函數(shù)的最值及實際應(yīng)用問題1定理1如果a，b_，那么a2b22ab，當且僅當_ 時，等號成立2定理2(基本不等式)(1)定理2：如果_，那么，當且僅當_ 時，等號成立(2)_稱為a，b的算術(shù)平均，_稱為a，b的幾何平均(3)基本不等式可以表述為：兩個正數(shù)的_不小于(即大于或等于)它們的_(4)基本不等式的幾何意義直角三角形斜邊上的_不小于斜邊上的_基本不等式成立的條件：“一正、二定、三相等”【做一做11】 logablogba2成立的必要條件是()aa1，b1 ba0,0b1c(a1)(b1)0 d以上都不正確【做一做12】 下列各式中，最小值等于2的是()a. b.ctan d2x2x3重要的不等式鏈設(shè)0ab，則a_b.【做一做2】 下列結(jié)論中不正確的是()aa0時，a2b.2ca2b22abda2b24應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值已知x，y都為正數(shù)，則(1)若xys(和為定值)，則當且僅當_時，積xy取得最大值_；(2)若xyp(積為定值)，則當且僅當_時，和xy 取得最小值_基本不等式應(yīng)用中有“積定和最小，和定積最大”的規(guī)律【做一做31】 設(shè)x0，則函數(shù)y33x的最大值是_【做一做32】 已知lgxlgy2，則的最小值為_答案：1rab2(1)a，b0ab(2)(3)算術(shù)平均幾何平均(4)中線高【做一做11】 c因為logab與logba互為倒數(shù)，符合基本不等式的結(jié)構(gòu)但兩個數(shù)應(yīng)是正數(shù)，所以a，b同時大于1或a，b都屬于區(qū)間(0,1)【做一做12】 d2x0,2x0，2x2x22，當且僅當2x2x，即x0時，等號成立3.【做一做2】 b選項a、c顯然正確；選項d中，2(a2b2)(ab)2a2b22ab0，a2b2成立；而選項b中，2不成立，因為若ab0，則不滿足不等式成立的條件4(1)xy(2)xy2【做一做31】 32y3(3x)32，當且僅當3x，即x時，等號成立ymax32.【做一做32】 lgxlgy2，lg(xy)2.xy102.，當且僅當xy10時，等號成立認識基本不等式中的數(shù)a，b剖析：在利用基本不等式時，要準確定位其中的“數(shù)”例如在試題“已知2xy1，x，yr，求xy的最大值”中，“兩個數(shù)”不是“x”與“y”，而是已知條件中的“2x”與“y”，這是因為定值是“2xy1”，而“xy”不是定值，因而要求xy的最大值應(yīng)視作求(2x)y的最大值，即xy(2x)y()2，當且僅當2xy，即x，y時，等號成立定位準確基本不等式中的“數(shù)”是使用基本不等式的大前提再如：在“設(shè)實數(shù)a，b，x，y滿足a2b21，x2y23，求axby的最大值”中要求的“axby”，似乎告訴我們可以利用基本不等式求最值axby2.但是這種解法不正確，這四個數(shù)分兩組使用基本不等式，不符合使用的條件，本題中取“”的條件是這與a2b21和x2y23矛盾因此正確的解法應(yīng)是三角換元法：令acos ，bsin ，xcos ，ysin ，axbycos cos sin sin (cos cos sin sin )cos()，當且僅當cos()1，即時，等號成立axby的最大值是.題型一 利用基本不等式證明不等式【例1】 已知a，b，cr，且abc1.求證：(1)(1)(1)8.分析：不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，1，可由此變形入手反思：用基本不等式證明不等式時，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點進行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形式進行證明題型二 利用基本不等式求函數(shù)最值【例2】 已知x，求函數(shù)y4x2的最大值分析：由x，可知4x50，轉(zhuǎn)化為變量大于零，首先調(diào)整符號，配湊積為定值反思：在應(yīng)用基本不等式求最值時，分以下三步進行：首先看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，若不具備，需對式子變形，湊出需要的定值；其次，看所用的兩項是否同正，若不滿足，通過分類解決，同負時，可提取(1)變?yōu)橥?；利用已知條件對取等號的情況進行驗證若滿足，則可取最值，若不滿足，則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決題型三 基本不等式的實際應(yīng)用【例3】 某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x(萬件)與年促銷費t(萬元)之間滿足3x與t1成反比例的關(guān)系，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需要投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？分析：(1)兩個基本關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，即利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費；生產(chǎn)成本固定費用生產(chǎn)費用；(2)表示出題中的所有已知量和未知量，利用它們之間的關(guān)系式列出函數(shù)表達式反思：(1)應(yīng)用不等式解決問題時，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也就是建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解(2)解答不等式的實際應(yīng)用問題，一般可分為如下四步：閱讀理解材料：應(yīng)用題所用語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，而且多數(shù)應(yīng)用題篇幅較長閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型，并且建立所得數(shù)學(xué)模型和已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系，以便確立下一步的努力方向討論不等關(guān)系：根據(jù)題目要求和中建立起來的數(shù)學(xué)模型，討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系，得出有關(guān)理論參數(shù)的值作出問題結(jié)論：根據(jù)中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求得出問題的結(jié)論題型四 易錯辨析【例4】 已知兩正數(shù)x，y滿足xy1，求z(x)(y)的最小值錯解：方法一：對任意a0恒有a2，z(x)(y)4，z的最小值為4.方法二：xy1，x2y22xy1，x2y212xy，z(x)(y)(x2y2x2y21)(xy)22222.z的最小值為22.錯因分析：方法一：z4成立的條件是x且y，即x1且y1，與xy1相矛盾；方法二：z22的條件是xy，即xy，這與0xy相矛盾答案：【例1】 證明：a，b，cr，abc1，1.同理：1，1.由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得(1)(1)(1)8，當且僅當abc時取等號【例2】 解：x，54x0.y4x2(54x)3231.當且僅當54x，即x1時上式等號成立當x1時，y的最大值為1.【例3】 解：(1)由題意可設(shè)3x，將t0，x1代入，得k2.x3.當年生產(chǎn)x萬件時，年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費用固定費用，年生產(chǎn)成本為32x332(3)3.當銷售x萬件時，年銷售收入為150%32(33t.由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完，由年利潤年銷售收入年生產(chǎn)成本促銷費，得年利潤y(t0)(2)y50()50250242，當且僅當，即t7時，等號成立，ymax42，當促銷費定在7萬元時，年利潤最大【例4】 正解：由xy1知x2y22xy1，x2y212xy，從而有z(x)(y)(x2y2x2y21)(2x2y22xy)，令xyt(0t，t時，xy)，則zt2，令f(t)t，不難證明f(t)t在(0，上單調(diào)遞減，故當t時，f(t)t取最小值，當xy時，z(x)(y)取最小值.1函數(shù)y的最小值是()a b3c d2(2012廣州三中高考模擬)已知a0，b0，則的最小值是()a2 bc4 d53已知a，b，cr，且abc1，求證：9.4(1)若x0，求f(x)的最小值；(2)若x0，求f(x)的最大值5(2011山東棗莊模擬，理18)如圖所示，將一矩形花壇abcd擴建成一個更大的矩形花壇ampn，要求b在am上，d在an上，且對角線mn過c點，已知ab3 m，ad2 m.(1)要使矩形ampn的面積大于32 m2，則an的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當an的長度是多少時，矩形ampn的面積最??？并求最小面積；(3)若an的長度不小于6 m，則當an的長度是多少時，矩形ampn的面積最??？并求出最小面積答案：1dy3x23x233，又3x230，0，y.2c因為4，當且僅當ab，1時，等號成立，即ab1時，不等式取最小值4.3分析：(1)注意“1”的代換(2)3()()()這一步為使用基本不等式創(chuàng)造了條件證明：3()()()32229.當且僅當abc時，取等號4解：(1)x0，由基本不等式，得f(x)12.當且僅當3x，即x2時，f(x)取最小值12.(2)x0，x0，則f(x)3x(3x)()(3x) 12，當且僅當3x，即x2時，f(x)取最大值12.5解：(1)設(shè)anx(m)(x2)，則nd(x2)m.，am，32，3x232x640，(3x8)(x8)0，2x或x8.an的長的范圍為(2，)(8，)(2)由(1)知，s矩形ampn3(x2)1224.當且僅當x4時取等號當an的長度