人教A版選修22 2.3數(shù)學歸納法 教案.doc

第二章推理與證明- 2.3數(shù)學歸納法一、教學目標：知識與技能：使學生了解歸納法, 理解數(shù)學歸納法的原理與實質(zhì)掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題過程與方法：培養(yǎng)學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發(fā)展學生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學思想努力創(chuàng)設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率；通過學習，讓學生體會用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用數(shù)學歸納法證明規(guī)律。情感、態(tài)度與價值： 通過對例題的探究，體會研究數(shù)學問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學生的學習熱情，使學生初步形成做數(shù)學的意識和 學精神；通過數(shù)學歸納法的學習，開拓數(shù)學視野，體會數(shù)學的 學意義。二、教學重點、難點重點：借助具體的實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題。難點：1.學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設作出證明；2）運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。三、教學模式與教法、學法教學模式：本課采用“探究發(fā)現(xiàn)”教學模式四、教學過程（一）溫故知新（1）歸納推理概念：-（這種由某類事物的部分對象具有的某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱推理）。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理）指出: 歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論；結(jié)論不一定正確，需要證明。處理方式：共同回憶這些基礎(chǔ)知識。問題引入： 思考：對于問題2，我們只能肯定這個猜想對前4項成立，而不敢肯定它對后續(xù)的項也成立這個猜想對n=8000時成立嗎？我們怎樣解決這個問題？這個猜想對n取所有的自然數(shù)時成立嗎？我們怎樣解決這個問題？處理方式：學生回答這兩個問題，在教師引導下，共同思考問題并引入新課。通過分析，我們需要學習一種特殊的證明方法，用于證明與正整數(shù)有關(guān)的問題，那就是我們這節(jié)課所要學習的一種新的證明方法-數(shù)學歸納法 點明課題2.3數(shù)學歸納法。（二）探究新知 1、創(chuàng)設情境引發(fā)學生學習數(shù)學歸納法的學習欲望你見過多米諾骨牌游戲嗎?請欣賞一下那場景!實驗：多米諾骨牌游戲（這是一種碼放骨牌的游戲，碼放時保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌也倒下。只要推倒第一塊骨牌，由于第一塊骨牌倒下，就可導致第二塊骨牌倒下，而第二塊骨牌倒下，就可導致第三塊骨牌倒下最后，不論有多少骨牌，都能全部倒下.）2、詳細分析“多米諾骨牌”全部倒下的所蘊含的原理思考：這個游戲中，能使所有“多米諾骨牌”全部倒下的條件是什么？你認為每個條件的作用是什么？可以看出，只要滿足以下兩個條件，所有“多米諾骨牌”就都能倒下。（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊骨牌倒下一定導致后一塊骨牌也倒下。條件（1）的作用是奠基；條件（2）的作用是給出了一個遞推關(guān)系：當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。多米諾骨牌游戲是遞推思想的一個模型。事實上，條件（1）、（2）就是數(shù)學歸納法原理的雛形 處理方式：在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程學生回答。 3、利用“多米諾骨牌”原理證明關(guān)于數(shù)列的猜想 分析：多米諾骨牌游戲原理通項公式的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（1）當n=1時a1=1，猜想成立（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。（2）假設當n=k時猜想成立，即 ，則當n=k+1時猜想也成立，即 。根據(jù)（1）和 （2）可知，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2）可知，對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。 學 處理方式：讓學生思考后填表；通過課件展示，讓學生了解利用“多米諾骨牌”原理證明關(guān)于數(shù)列的猜想。4、數(shù)學歸納法原理：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：學 x只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學歸納法別忘了做總結(jié)：根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。 5、鞏固數(shù)學歸納法原理注意：（1）這兩個步驟及總結(jié)缺一不可。 （2）用數(shù)學歸納法證明命題時，難點和關(guān)鍵都在第二步，主要在于合理運用歸納假設，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學知識，證明“當n=k+1時命題成立”。（3）數(shù)學歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學歸納法證明，學習時要具體問題具體分析。處理方式：結(jié)合課件展示，師生共同解決。為了加深學生的印象，教師結(jié)合反例進行說明：（1）為了強調(diào)第一步-歸納奠基，舉反例：例如：“奇數(shù)是2的倍數(shù)”顯然是個假命題，但是如果沒有第一步奠基，直接假設“如果奇數(shù)k是2的倍數(shù)”（這是一個不合實際的假設），卻能推出“那么后一個奇數(shù)k+2也是2的倍數(shù)”（錯因是缺少第一步）（2）為了強調(diào)第二步-歸納遞推，舉反例： 例如：“n2+n+11是質(zhì)數(shù)”這個命題對于n=1,2,3,.9都成立，但是你不能說“n2+n+11是質(zhì)數(shù)”正確，因為當n=10時，102+10+11=121=112故結(jié)論不成立。（錯因是缺少第二步）可以設計題目：判斷題：（錯誤的指出錯因）1) 假設“如果奇數(shù)k是2的倍數(shù)”（這是一個不合實際的假設），卻能推出“那么后一個奇數(shù)k+2也是2的倍數(shù)”，所以“奇數(shù)是2的倍數(shù)”是真命題。（ ）2）當n=1,2,3時命題“n2+n+11是質(zhì)數(shù)”都成立，所以命題“n2+n+11是質(zhì)數(shù)” 是真命題（ ）目的是：加深學生對數(shù)學歸納法的理解。（三）典例解析分析：第1步如何寫？第2步中當n=k時的假設如何寫？ 待證的目標式是什么？如何從假設出發(fā)？點評：證n=k+1時，需從假設出發(fā)，對比目標，分析等式兩邊同增的項，朝目標進行變形.處理方式：讓學生思考，然后結(jié)合課件給以說明，目的是讓學生熟悉用數(shù)學歸納法證明命題的步驟。鞏固練習:1.用數(shù)學歸納法證明 處理方式：讓學生獨立完成，找一位同學到黑板上去書寫；點評，課件展示答案。2、兩個判斷題（見課件）處理方式：讓學生口答；結(jié)合課件點評。處理方式：讓學生獨立思考并完成，找一位同學到黑板上去書寫；點評，課件展示答案。（四）鞏固練習（說明：第1題與第2題課堂處理，第3與4題留作作業(yè)題）1、 用數(shù)學歸納法證明：“”在驗證n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（ ）a1 b. c d.2. 已知:,則等于( )a: b: c: d: 3. 用數(shù)學歸納法證明:122334n(n1)課后思考題：設an+ (nn )，求證：an(n1).提示關(guān)鍵：an+1=+(k1) (k1) +(k+1)+(k+1)+(k+)(k+2)五、小結(jié)1、數(shù)學歸納法能夠解決哪一類問題？一般被應用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題2、數(shù)學歸納法證明命題的