人教B版選修21 3.2.3直線與平面的夾角3.2.4二面角及其度量 學(xué)案2.doc

課堂探究探究一 用定義法求直線與平面所成的角利用定義法求直線與平面所成的角，首先要作出斜線和這條斜線在平面內(nèi)的射影所成的銳角，然后通過(guò)解三角形求出直線與平面所成的角的大小其基本步驟可歸納為“一作，二證，三計(jì)算”【典型例題1】 在正四面體abcd中，e為棱ad的中點(diǎn)，連接ce，求ce和平面bcd所成角的正弦值思路分析：在求解斜線和平面所成的角時(shí)，確定斜線在平面內(nèi)的射影的位置是一個(gè)既基本又重要的問(wèn)題解：如圖，過(guò)a，e分別作ao平面bcd，eg平面bcd，o，g為垂足則aoge，ao2ge.連接gc，則ecg為ec和平面bcd所成的角因?yàn)閍bacad，所以obocod.因?yàn)閎cd是正三角形，所以o為bcd的中心連接do并延長(zhǎng)交bc于f，則f為bc的中點(diǎn)令正四面體abcd的棱長(zhǎng)為1，可求得ce，df，od，則ao，所以eg.在rtecg中，sinecg.歸納找射影的兩種方法：(1)斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在斜線在平面內(nèi)的射影上；(2)利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影探究二 向量法求直線與平面所成的角利用向量法求直線與平面所成角的優(yōu)勢(shì)在于不用找角，只需求出直線的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步驟為：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量s和平面的法向量n；(3)設(shè)線面角為，由sin 得出的值，需注意的是的范圍是.【典型例題2】 如圖所示，在直三棱柱aboa1b1o1中，oo14，oa4，ob3，aob90.d是線段a1b1的中點(diǎn)p是側(cè)棱bb1上的一點(diǎn)，若bdop，求op與底面aob所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)思路分析：由于題中所給圖形是直三棱柱，可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解解：如圖所示，以o點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系由題意有o(0,0,0)，b(3,0,0)，d，b1(3,0,4)設(shè)p(3,0，z)，則，(3,0，z)因?yàn)閎dop，所以4z0，所以z.因?yàn)槠矫鎝bo平面abo，所以ob為op在平面abo內(nèi)的射影，所以pob為op與平面abo所成的角又因?yàn)閎b1平面aob，所以是平面aob的一個(gè)法向量，且(0,0,4)，所以sinpob|cosbpo|.所以op與底面aob所成的角為arcsin.探究三 定義法求二面角的大小所謂定義法，就是作出二面角的平面角，然后通過(guò)解三角形求解作出二面角的平面角常用的方法有：(1)找與二面角的棱垂直的平面與二面角兩半平面的交線；(2)在二面角的一個(gè)面上取一點(diǎn)，利用三垂線定理作平面角；(3)在二面角的棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作出和棱垂直的射線【典型例題3】 已知在三棱錐pabc中，pc平面abc，abbccapc.求二面角bapc的大小思路分析：本題可考慮利用三垂線定理作出二面角的平面角，再求解；還可考慮用射影面積公式求出二面角的大小解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)b作beac于點(diǎn)e，過(guò)點(diǎn)e作efpa于點(diǎn)f，連接bf.pc平面abc，pc平面pac，平面pac平面abc.be平面pac.由三垂線定理有bfpa，bfe是二面角bpac的平面角設(shè)pc1，由e是ac中點(diǎn)，得be，efsin 45，tanbfe，bfearctan.解法二：(利用射影面積公式)如圖，過(guò)點(diǎn)b作beac于點(diǎn)e，連接pe. pc平面abc，平面pac平面abc.pae是pab在平面pac上的射影設(shè)pc1，則papb，ab1，pab中ab邊上的高h(yuǎn).spab，又spaespac.設(shè)二面角bpac的大小為，由射影面積公式有cos ，arccos.探究四 向量法求二面角利用向量法求二面角常有如下兩種方法：方法一：分別在二面角l的面，內(nèi)，并且沿，延伸的方向作向量n1l，n2l，則可用n1，n2度量這個(gè)二面角的大小cosn1，n2，n1，n2的選取建立在現(xiàn)有圖形中的已知或構(gòu)圖論證上方法二：通過(guò)法向量求解設(shè)m1，m2，則m1，m2與該二面角相等或互補(bǔ)此方法的運(yùn)用適宜于：(1)在空間直角坐標(biāo)系下，平面，的法向量便于確定(2)二面角的大小便于定性(銳角、鈍角)從圖中便于直觀獲得二面角為銳角或鈍角(3)具體求解過(guò)程中，先求m1與m2所成銳角，cos .若二面角為銳角，則為；若二面角為鈍角，則為.【典型例題4】 在底面為直角梯形的四棱錐sabcd中，abc90，sa平面abcd.saabbc1，ad，求平面scd與平面sab所成二面角的余弦值思路分析：解答本題可建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求法向量的夾角解：以a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖則d，c(1,1,0)，s(0,0,1)，a(0,0,0)，(1,1，1)，.設(shè)平面scd的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得n(1,2,1)，而是平面sab的法向量cos，n.觀察圖形可知平面scd與平面sab所成角為銳角，其余弦值為.探究五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)混淆直線的方向向量和平面法向量的夾角與線面角【典型例題5】 在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中點(diǎn)求eb與底面abcd所成角的正弦值錯(cuò)解：由向量加法知()，設(shè)|1，則|1，|1，且，兩兩垂直，可求出|，cos，直線eb與底面abcd所成角的正弦值為