(全)高中數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)3.doc

七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。A.至多一個(gè)實(shí)根 B.至少一個(gè)實(shí)根 C.一個(gè)實(shí)根 D.無實(shí)根2. 已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個(gè)選擇項(xiàng)逐一成立，導(dǎo)出其中三個(gè)與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項(xiàng)成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：CC436,選D。 S C A O B、示范性題組：例1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)。求證：AC與平面SOB不垂直。【分析】結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”?！咀C明】 假設(shè)AC平面SOB， 直線SO在平面SOB內(nèi)， ACSO， SO底面圓O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。即AC與平面SOB不垂直?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【分析】 三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒有實(shí)根。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案。【解】 設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有：,解得,即a1。所以當(dāng)a1或a時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根?！咀ⅰ俊爸辽佟薄ⅰ爸炼唷眴栴}經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了“判別式法”、“補(bǔ)集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)（0）a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對(duì)不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹。例3. 給定實(shí)數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y (其中xR且x)，證明：.經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸； .這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)?！咀C明】 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則xx,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 這與已知“a1”矛盾， 因此假設(shè)不對(duì)，即直線MM不平行于x軸。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱可以得到，函數(shù)y的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像?！咀ⅰ繉?duì)于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a1互相矛盾。第問中，對(duì)稱問題使用反函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。、鞏固性題組：1. 已知f(x)，求證：當(dāng)xx時(shí)，f(x)f(x)。2. 已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，ac，求證：、不可能成等差數(shù)列。3. 已知f(x)xpxq，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于 。4. 求證：拋物線y1上不存在關(guān)于直線xy0對(duì)稱的兩點(diǎn)。5. 已知a、bR，且|a|b|1，求證：方程xaxb0的兩個(gè)根的絕對(duì)值均小于1。 A F DB M NE C6. 兩個(gè)互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應(yīng)對(duì)角線上，且有EMCN，求證：MN不可能垂直CF。第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。、再現(xiàn)性題組：5. 設(shè)命題甲：0x5；命題乙：|x2|3，那么甲是乙的_。 （90年全國文）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6. 若log2log20，則_。(92年全國理)A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba17. 如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。 (89年全國文)A. B. C. 1 D. 8. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 9. 設(shè)全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 (90年全國)A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 10. 如果是第二象限的角，且滿足cossin,那么是_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角11. 已知集合E|cossin，02，F(xiàn)|tg乙，選A;2小題：由已知畫出對(duì)數(shù)曲線，選B；3小題：設(shè)sinxt后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題；選D；10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案?！咀ⅰ?以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（題）、圖像（、題）、單位圓（、題）、復(fù)平面（、題）、方程曲線（題）。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x、示范性題組：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！痉治觥繉?duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決?！窘狻?原方程變形為 即：設(shè)曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知： 當(dāng)1m0時(shí)，有唯一解，m1; 當(dāng)11m4時(shí)，有唯一解，即3m0, m1或30),橢圓中心D(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？【分析】 由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題（研究方程組解的情況）?！窘狻?由已知得：a2，b1, A(,0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p0,即6p8p20，解得：p1。結(jié)合范圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)x(47p)x(2p)，所以4+即p0、f(4+)0即p43。結(jié)合以上，所以43p。【注】 本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問題。一般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識(shí)都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。例4. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，討論是否，使得AB與(a,b)C同時(shí)成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得AB”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解（AB時(shí)xnm）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線L的距離12?！窘狻?由AB得：nab3n15 ;設(shè)動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，所以圓心到直線距離d3()12 n為整數(shù) 上式不能取等號(hào)，故a、b不存在。【注】 集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線），而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問題的恰當(dāng)處理方法。本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an （式）；由(a,b)C得，ab144 （式）；把式代入式，得關(guān)于a的不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 （式）,它的判別式4n(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因?yàn)閚是整數(shù)，所以n30,因而0,故式不可能有實(shí)數(shù)解。所以不存在a、b，使得AB與(a,b)C同時(shí)成立、鞏固性題組：1. 已知5x12y60，則的最小值是_。A. B. C. D. 12. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，則b的取值范圍是_。A. |b|3 B. |b|3 C. 3b3 D. 3b|x1|x1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。6. 設(shè)zcos且|z|1,那么argz的取值范圍是_。7. 若方程x3ax2a0的一個(gè)根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。8. sin20cos80sin20cos80_。9. 解不等式： bx10. 設(shè)Ax|1x0、a0、a2時(shí)分a0、a0和a0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。、再現(xiàn)性題組：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范圍是_。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，則p、q的大小關(guān)系是_。A. pq B. pq D.當(dāng)a1時(shí)，pq；當(dāng)0a1時(shí)，p0、a0、a1、0a1兩種情況討論，選C；3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4小題：分、0、0、x0兩種情況，選B；6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。、示范性題組：例1. 設(shè)0x0且a1，比較|log(1x)|與|log(1x)|的大小?！痉治觥?比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論?！窘狻?0x1 01x1 當(dāng)0a0，log(1x)0; 當(dāng)a1時(shí)，log(1x)0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)0；由、可知，|log(1x)|log(1x)|?！咀ⅰ勘绢}要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a1時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng)0a1時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例2. 已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，AB含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)： . CAB且C中含有3個(gè)元素； . CA 。【分析】 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3,而將取法分三種?！窘狻?CCCCCC1084【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例3. 設(shè)a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項(xiàng)和。 . 證明： 0，使得lg（Sc）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q1和q1兩種情況?！窘狻?設(shè)a的公比q，則a0，q0 當(dāng)q1時(shí)，Sna，從而SSSna(n2)a(n1)aa0； 當(dāng)q1時(shí)，S，從而SSSaq0；由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即lgS。. 要使lg（Sc）成立，則必有(Sc)(Sc)(Sc),分兩種情況討論如下：當(dāng)q1時(shí)，Sna，則(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca0當(dāng)q1時(shí)，S，則(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS0, 使得lg（Sc）成立。【注】 本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問題為：證明logS ，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例4. 設(shè)函數(shù)f(x)ax2x2，對(duì)于滿足1x0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 1 4 x 1 4 x【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解?！窘狻慨?dāng)a0時(shí)，f(x)a（x）2 或或 a1或a；當(dāng)a ?！咀ⅰ勘绢}分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a0、a0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。例5. 解不等式0 (a為常數(shù)，a)【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a0、a0、a0、a0時(shí)，a； 4a0 。 所以分以下四種情況討論：當(dāng)a0時(shí)，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；當(dāng)a0時(shí)，x0，解得：x0；當(dāng)a0，解得: x4a；當(dāng)a時(shí)，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0時(shí)，x6a；當(dāng)a0時(shí)，x0；當(dāng)a0時(shí)，x4a