差分方程模型的穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)論文

差分方程模型的穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用 of 業(yè)： 2011 信息與計(jì)算科學(xué) 姓 名： 郭甜甜 指 導(dǎo) 教 師： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 學(xué) 士 論文提交日期： 2015 年 5 月 25 日 學(xué)位授予單位： 天津科技大學(xué) 摘 要 本文首先對(duì)差分方程這一門課程進(jìn)行全面深入的研究，了解差分方程的背景， 學(xué)習(xí) 差分方程的 理論知識(shí)，在此基礎(chǔ)上對(duì)差分方程的穩(wěn)定性進(jìn)行學(xué)習(xí) 僅使這一類常見問題更容易得到解決，更增加了人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn) 復(fù)雜的生活問題準(zhǔn)確、形象地反映出來，并通過對(duì)結(jié)果的分析對(duì)問題進(jìn)行評(píng)估與改善 別為 金融問題：其一貸款問題研究了欠款，利率，還款額等的關(guān)系，其二養(yǎng)老保險(xiǎn)問題研究了交保費(fèi)，保險(xiǎn)收益，利率等的關(guān)系；減肥計(jì)劃模型：此模型研究了節(jié)食與運(yùn)動(dòng)對(duì)維持體重的影響關(guān)系，制定了減肥方案并給出了維持體重的辦法；市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 :通過產(chǎn) 品的銷售價(jià)格和生產(chǎn)產(chǎn)量建立數(shù)學(xué)模型，在得出市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，并且對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析 ,最后 探討 了 在市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府能夠采用的干預(yù)措施 ；人口控制與預(yù)測模型：研究了人口 總數(shù)的變化 狀況 ；軍備力量模型：研究了軍備力量參與預(yù)測戰(zhàn)爭時(shí)的影響 關(guān)鍵詞 ： 差分方程； 穩(wěn)定性； 數(shù)學(xué)建模； a of of as a to of of is of As an in s of to of In I of by is be - of of is of on a to is in is by of is in is to is to is is of in is of on In I to do 目 錄 1 基礎(chǔ)知識(shí) . 1 分方程 . 1 紹 . 3 學(xué)建模 . 3 2 金融問題模型 . 5 款問題 . 5 老保險(xiǎn)模型 . 6 3 減肥計(jì)劃模型 . 9 題重述 . 9 題分析 . 9 型假設(shè) . 9 號(hào)說明 . 9 立模型 . 9 4 蛛網(wǎng)模型 . 12 題重述 . 12 題分析 . 12 號(hào)說明 . 12 網(wǎng)模型 . 12 分方程模型 . 14 預(yù)辦法 . 15 型的推廣 . 16 5 人口的預(yù)測與控制模型 . 18 題重述 . 18 題分析 . 18 立模型 . 18 型的擴(kuò)展 . 20 6 軍備力量模型 . 21 題重述 . 21 題分析 . 21 立模型 . 21 結(jié)論 . 25 參考文獻(xiàn) . 1 致 謝 . 2 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 1 1 基礎(chǔ)知識(shí) 差分方程表達(dá)的 為 有關(guān)離散變量的取值與變 換 的規(guī)律 進(jìn)過程中或系統(tǒng)的離散變量，依照實(shí)際問題中背景的本質(zhì)、規(guī)律、相關(guān)聯(lián)系， 寫出 離散變量符合的關(guān)系等式，進(jìn)而建立 差分方程 分析方程的解的某些特性（如穩(wěn)定性、 周期性 等），進(jìn)而明確這些離散變量的變 換進(jìn) 程的規(guī)律，然后再連同其他分析，從而得到原問題的解 . 分方程 差分方程 的使用范圍十分普遍 ，因?yàn)槟軌蚴闺x散變量的逼近 與 近似來表示連續(xù)變量，所以許多模型就可以類似于差分方程模型來解決 程中使 用，也可以在連續(xù)模型化為離散模型的數(shù)值計(jì)算中廣泛的 使 用 但凡 涉及到有關(guān)變量的規(guī)律、本質(zhì)， 便能夠使 用差分方程模型 去 表達(dá)與分析求解 . 分方程的概念 差分 ：對(duì)于數(shù)列 n 處的前向差分為差分算子 ： n 處的后向差分為差分算子 ：1 可知n 的函數(shù) . 進(jìn)而可以定義為 n 處的二階差分為 的差分： nn ，它反映的為量的增量 1為 n 處的 k 階差分 . 差分方程：由某個(gè)函數(shù)多個(gè)不同時(shí)期值的符號(hào)或者某個(gè)函數(shù)的差分組成的方程稱為差分方程，其中大多形式為 0),. . ,( 2 或 0), . . . ,(21 0), . . . ,(21 種表達(dá)形式的差分方程能夠互相變換，各自相通 . 差分方程的解：若將某函數(shù)代入差分方程，讓方程兩邊相等，那么就稱此函數(shù)為差分方程的解 ， 要是差分方程的階數(shù)與此方程的所有解中擁有互相獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)相同，那么就稱此解釋差分方程的通解 ,以便體現(xiàn)在變化過程中某一事物的客觀規(guī)律性，通常依據(jù)此事物在初始時(shí)刻所處情況，在差分方程上添加一定的條件，稱此為初始條件 ， 若初始條件確定了通解中任意常數(shù)后，此解稱之天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 2 為差分方程的特解 1. 分方程常用解法 常系數(shù)線性差分方程的解 方程 )(. . （ 1 其中., 10是常數(shù)，則稱方程（ 1常系數(shù)線性方程 0. . 1 是方程（ 1對(duì)應(yīng)的齊次方程 . 若（ 1解形式為 ，代近方程中可以得到 0. . 1110 （ 1 則稱方程（ 1方程（ 1（ 1特征方程 . 可見，只要能夠得到方程（ 1根，就能夠求出方程（ 1解 . 一般結(jié)果為： 如果方程（ 1在 k 個(gè)不相同的實(shí)根，那么方程（ 1通解： . .1在 m 重根 ,那么方程（ 1解可以表示為： 121 . . 如果方程（ 1在兩個(gè)單復(fù)根 i ，記 e ， 22 ， 那么方程（ 1解可以表示為 : s o s 21 如果方程（ 1在 m 重復(fù)根 i ，記 e ，那么方程（ 1解可以表示為 : s i n. .c o s. . 1221121 由上可知，由于方程（ 1好有 k 個(gè)根，所以方程（ 1通解定有 k 個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù) 1通解為： 若可以得到方程（ 1一個(gè)特解： *那么方程（ 1有通解： * 差分方程的 Z 變換解法 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 3 在差分方程的左右取有關(guān) 變換，然后寫出 Z 變換，利用 變換 )(最后利用求解代數(shù)方程的方法求出 )(同時(shí)將 )(開成洛朗級(jí)數(shù)在 0z 解析圓環(huán)域里，此系數(shù)即為所要求的差分方程穩(wěn)定性 k 階常系數(shù)線性差分方程（ 1定的充分必要條件為它所相應(yīng)的特征方程（ 1有的特征根 ., 滿足 1i1. 一階非線性差分方程 )(1 nn （ 1 的平衡點(diǎn) *x 由方程 )( * 所決定，展開為泰勒形式將 )(x 處，因此： 當(dāng) 1 ，方程（ 1解 *x 是穩(wěn)定的 . 當(dāng) 1 ，方程（ 1平衡點(diǎn) *x 是不穩(wěn)定的 . 紹 一個(gè)面向科學(xué)與工程計(jì)算的高級(jí)語言，一個(gè)具有超強(qiáng)能力的數(shù)值計(jì)算和可視化特點(diǎn)的軟件 的 計(jì)算機(jī) 軟件 ， 運(yùn)行方式與人們計(jì)算公式時(shí)的 思考方法非常類似 ，它編寫程序的過程就如同人們?cè)谘菟慵埳狭_列出公式進(jìn)行求解，這避免了較多的重復(fù)、繁瑣的機(jī)械性的編寫程序細(xì)節(jié)，把重點(diǎn)放在有創(chuàng)造性問題上，在最短的時(shí)間內(nèi)得到更具價(jià)值的結(jié)果 . 有許多特點(diǎn)，比如功能性強(qiáng)、容易學(xué)懂、效率高、應(yīng)用面廣泛、操作簡單、節(jié)約時(shí)間等 僅簡 單好用，而且數(shù)據(jù)和圖像處理能力很是強(qiáng)大并且可以完成數(shù)值分析、 管理與調(diào)度優(yōu)化計(jì)算 、 通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真 、 工程與科學(xué)繪圖 等眾多功能 經(jīng)演變成為一種大型軟件應(yīng)用在多科學(xué)、多工作平臺(tái)，被各個(gè)國家所接收和認(rèn)可并在一定程度上體現(xiàn)了國際上計(jì)算機(jī)軟件的總體水平，也成為了眾多大學(xué)生應(yīng)該熟練掌握的一項(xiàng)基本技能 程中將會(huì)使用到 制作 圖像和 求解 功能 . 學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是通過數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想來 簡單清晰的 表示 現(xiàn)實(shí) 問題中的重點(diǎn)方面， 以此 完成 現(xiàn)實(shí) 中的問題，即通過 使用 各種數(shù)學(xué)辦法 來 完成 現(xiàn)實(shí) 問題 . 數(shù)學(xué)建模 是一個(gè)模 擬過程，它是用 程序 、圖像、數(shù)學(xué)的公式等對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、假設(shè)、簡化后用數(shù)學(xué)方式描述出來，它可以預(yù)料將來的進(jìn)行情況，可以說明一些客觀存在的現(xiàn)象，也可以為有些現(xiàn)象的未來走向提供在特定環(huán)境中最合適的方案或相對(duì)好的方法 且天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 4 要求熟練應(yīng)用各個(gè)方面的數(shù)學(xué)知識(shí) . 建立數(shù)學(xué)模型多數(shù)應(yīng)有如下幾個(gè)階 段：最開始應(yīng)該明確研究的角色、目標(biāo)以及問題的類型是確定型還是隨機(jī)型；把問題 簡單 化后列出 將要研究 的因素，并把這些因素用參量和變量的 方式 表現(xiàn)出來；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法表達(dá)出問題中變量之間的聯(lián)系，一般是列成數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)而建立了數(shù)學(xué)模型；通過各種數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)軟件等解出模型的解；把模型的結(jié)果轉(zhuǎn)換為與實(shí)際問題相適應(yīng)的清晰易懂的語言；最后進(jìn)行模型的檢測與評(píng)估 . 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 5 2 金融問題模型 款問題 題重述 由于 社會(huì)經(jīng)濟(jì)的 飛速增長 ，人們生活水平的持續(xù) 攀升 ，人們 的經(jīng)濟(jì)需 要更加增多 如買房 、買車、向銀行貸款等等 解每一個(gè)細(xì)節(jié)尤其是要知道還款方式是等額本息還款法、等額本金還款法或是等本等息等額還款法亦或是其他方法 種還款方式每期應(yīng)還款額，貸款時(shí)間以及貸款利率等 . 題分析 在日常生活中較為常用的就是等額本息還款法，因此在本文中只討論此貸款方法 要還的錢數(shù) 是一定的，而每期所還的本金在逐漸增多，利息 越來越少 ,將 通過貸款總 值 、貸款時(shí)間、貸款利率、每期還款額這 些因素相互的聯(lián)系 建立模型，再通過數(shù)學(xué)的遞推思想得出第 k 期的欠款額，令欠款額為零時(shí)即可得到每期還款額的表達(dá)式 6. 型假設(shè) 貸款期間貸款利率一直不變； 貸款人能如期償還每期的還款額； 貸款期間不考慮其他的經(jīng)濟(jì)問題影響 . 號(hào)說明 0A :貸款總額； N :貸款期限（以月計(jì)算）； 第 k 個(gè)月的欠款額 ( 0 R :貸款月利率； x ：每月還款額 . 立模型 等額本息還款法中每月所還的錢應(yīng)等于每月所還的本金加上每月利息，即為 1 則有第 1k 個(gè)月還款后欠款額： 11第 1 個(gè)月還款后欠款額： 101第 2 個(gè)月還款后欠款額： 111 2012第 3 個(gè)月還款后欠款額： 1111 23023天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 6 . . . 第 k 個(gè)月還款后欠款額： 1. .01 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和等比級(jí)數(shù)求和公式可得 110 （ 2 當(dāng)?shù)竭_(dá)最后期限即 時(shí)，有 0入（ 2可得 11 10 N （ 2 (2即為等額本息還款法中每月還款額 . 例 買一輛 11 萬元的汽車，首付 %30 2 個(gè)月還完，年利率為 %分別用等額本息和等額本金還款法計(jì)算，并進(jìn)行分析 . 貸款金額 0A 為 7 7 0 0 0%3011 1 0 0 0 0 元；月利率 R 為 等額本息還款法： 貸款期限 N 為 12 個(gè)月；每月還款額為 x 所以還款總額 8 0 3 6 9 6 W 元 ,其中總利息為 3361 元 . 等額本金還款法： 還款總額： 其中總利息為 . 由上可知，等額本金還款法所付的利息相對(duì)等額本息還款法要少些，并且還款時(shí)間越長，利息差值越大 . 老保險(xiǎn)模型 題重述 隨著社會(huì)的不斷發(fā)展， 人們生活水平的持續(xù)攀升，人們平均 壽命也有所增加，以至于我國慢慢進(jìn)入老齡化階段 得養(yǎng)天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 7 老保險(xiǎn)問題備受關(guān)注 投保人每月繳費(fèi) 200 元一直到 59 歲末，從 60 歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金 5 歲開始投保，那么 60 歲以后每月可得 2282 元養(yǎng)老金，如果投保人從 35 歲開始投保，那么 60 歲以后每月可得 1056 元養(yǎng)老金 . 題分析 本文要研究此保險(xiǎn)公司每月至少要有多少投資收益率才能確保保險(xiǎn)責(zé)任 通 過繳納的保費(fèi)和收益的總值，每月收益率， 60 歲前每月繳費(fèi)額， 60 歲后每月領(lǐng)取額，終止繳納保險(xiǎn)費(fèi)與終止領(lǐng)取養(yǎng)老金的月份之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型 . 型假設(shè) 投保人能按期繳納保險(xiǎn)費(fèi) 號(hào)說明 止到第 k 個(gè)月所交保費(fèi)和收益的總額 .,0 ; r ：每月收益率 ; p ： 60 歲前每月繳費(fèi)額 ; q： 60 歲后每月領(lǐng)取額 ; N :停繳保險(xiǎn)費(fèi)的月份 ; M :停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份 . 立模型 在全部過程中，可知： kk . . . ,1 1. . . ,1,0,111 (2 其中 表的是從投保人開始交保費(fèi)月后算起的 . 所要 研究的是在第 M 個(gè)月時(shí)， 數(shù)值為多少 .若 正數(shù)，那么代表保險(xiǎn)公司最終獲；若 負(fù)數(shù)，那么代表保險(xiǎn)公司最終虧損；若 零，那么代表保險(xiǎn)公司最終一無所有，投保人最終獲益 . 例 某男子從 25歲開始投保，假設(shè)男子活到 75歲，所以 420,2282,200 0,600 0 由（ 2可得： 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 8 . ,1,111. .,1,0,11100 (2在（ 2中，分別取 , ,可得 0111 設(shè) 1 利用 件 編寫代碼如下： x F=xx180+x=) 由于 x 一定大于 1，對(duì)眾多的根進(jìn)行分析可得， 00485.1x ， 即求出每月收益率為： 00485.0r 用同樣的方法也可求出， 35 歲開始投保的每月收益率為： 00461.0r 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 9 3 減肥計(jì)劃模型 題重述 在現(xiàn)代社會(huì)中，越來越多的人們尤其女性認(rèn)為瘦是衡量美的一種重要標(biāo)準(zhǔn)，因此許多自感肥胖的人開始嘗試用各種方法減肥，但是減肥藥和節(jié) 食等方法都是存在安全隱患的 要在健康的條件下達(dá)到減肥的效果并且維持下去，只有利用控制飲食和進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng) 記 來衡量體重，體重（千克）除以身高（米）的平方 ，體重為正常；當(dāng) 25，體重為超重；當(dāng) 30，體重為肥胖 . 題分析 一般，但凡人體內(nèi)的能量守恒被破壞就將會(huì)導(dǎo)致體重的變化 至體重增加；人們又通過運(yùn)動(dòng)以及代謝消耗熱量，以至體重減少 以要求每天吸收的熱量不能過多，體重減少的也不能過快了 收熱量，消耗熱量的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型 . 型假設(shè) （） 增加的體重與吸收的熱量成正比，每吸收 8000 千卡熱量體重增加 1 千克 , 由代謝導(dǎo)致的體重減少與體重成正比，一般一公斤體重每周消耗 200 千卡到 320千卡的熱量（每人不同），即為一個(gè) 70 千克的人每天消耗 2000 千卡到 3200 千卡的熱量 7. （）運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的體重減少與體重成正比，并且與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和形式相關(guān) . （）為保證身體的健康，一周內(nèi)吸收的熱量不能小于 10000 千卡，一周內(nèi)體重減少不能超過 卡 . 號(hào)說明 )(第 k 周末體重； )(第 k 周吸收的熱量； ：熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)； ：每小時(shí)每千克體重運(yùn)動(dòng)消耗的熱量（千卡） t ：每周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（小時(shí)） 1 ：代謝消耗系數(shù)（因人而異）； 2 ：運(yùn)動(dòng)消耗系數(shù) 立模型 可知體重變化的方程為 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 10 , . ,0,1121 （ 3 肥計(jì)劃的提出 現(xiàn) 為一個(gè)具體的人制定減肥計(jì)劃來探討此模型的應(yīng)用 . 某人高為 ，體重為 100 千克， 現(xiàn)在每周平均吸收 20000千卡熱量，并保證體重不發(fā)生改變 5 千克并且保持下去，請(qǐng)依照以下三點(diǎn)制定減肥計(jì)劃： 當(dāng)不進(jìn)行任何運(yùn)動(dòng)時(shí)計(jì)劃劃分為兩個(gè)階段，第一階段：每周控制飲食慢慢減少吸收的熱量，使每周體重減 1 千克，一直到所吸收熱量的最低點(diǎn)（ 10000千卡）；第二階段：每周吸收的熱量維持在下限 ，直至達(dá)到減肥的目標(biāo) . 在第二階段添加運(yùn)動(dòng)以加速減肥速度，重新制定第二階段方案 . 制定一個(gè)達(dá)到目標(biāo)體重后保持體重的策略 . 肥計(jì)劃的制定 （）在不進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知 02 ，已知 20000c 千卡， 100w 千克， 80001（千克 /千卡），由（ 5可得 0 08 00 02 00 0 01 也就是每周每千克體重消耗 20010020000 千卡的熱量 . 第一階段：需要每周體重減 1 千克，一直到所吸收的熱量成為最低點(diǎn)（ 10000千卡），可得 11 0 帶入（ 5可得 1)0(111 再將 100)0(,0001 w 帶入上式，又因吸收熱量的下限為 10000 千卡，可得 10000200120001 說明第一階段為 10 周，熱量的吸收是依照 9, . .,1,0,20012 0 001 使得每周體重減少 1 千克，到第 10 周末體重減為 90 千克 . 第二階段：每周吸收的熱量維持在下限，要將體重減到 75 千克，由（ 3得 )()1()1( （ 3 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 11 對(duì)（ 5進(jìn)行遞推并用等比數(shù)列求和可得 )()1()1(.)1(1)()1()( 1 （ 3 將 90)(,75)(,10000,0001 代入（ 3得 50)5090(9 7 n （ 3 4025n 說明第二階段為 19 周，在吸收的熱量每周維持在 10000 千卡時(shí)，依照 減到目標(biāo)體重 75 千克 . （）依據(jù)查詢資料可知每小時(shí)每千克體重各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)消耗的熱量如下： 表 5項(xiàng)運(yùn)動(dòng)消耗的熱量 運(yùn)動(dòng) 跑步 跳舞 乒乓 自行車 （中速） 游泳 0m 熱量消耗（千卡） 第二階段添加運(yùn)動(dòng)以加速減肥進(jìn)程，其中 t 2 ，在此取 003.0t ，故 24t ，那么（ 3中的 應(yīng)改為 ,則（ 3為 7 n 說明如果在第二階段增加 24t 的運(yùn)動(dòng)（如一周騎 10 小時(shí)自行車或跳 8 小時(shí)的舞蹈），那么第二階段將會(huì)減為 14 周 . （）若想達(dá)到目標(biāo)后保持體重，那么要使每一周吸收的熱量都維持某常數(shù) c ， 并讓體重維持不變，由（ 3可得 121 可得出：如果不運(yùn)動(dòng)， 1 5 0 0 0750 2 0 0 c 千卡； 如果運(yùn)動(dòng)， 1 6 8 0 0750 2 0 0 c 千卡 . 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 12 4 蛛網(wǎng)模型 題重述 在處于完全自由的經(jīng)濟(jì)市場里，許多商品的銷售和生產(chǎn)明顯表現(xiàn)出周期性 一定時(shí)期里商品的生產(chǎn)產(chǎn)量 、銷售價(jià)格和銷售量是穩(wěn)定的，所以這些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)在某個(gè)時(shí)期里是離散變量的形式 要做好經(jīng)營，獲得較好的經(jīng)濟(jì)效益，必須掌握好這兩個(gè)經(jīng)營過程中的最重 要的因素 . 題分析 由于本期產(chǎn)品的銷售價(jià)格決定于消費(fèi)者的需求關(guān)系，產(chǎn)品數(shù)量越少就會(huì)導(dǎo)致價(jià)格越高 品的價(jià)格越高生產(chǎn)的數(shù)量就越多 事實(shí)上，存在各種形式的振蕩，既有可能振幅越來越小直至趨于平穩(wěn)，也有可能振幅越來越大，此時(shí)若沒沒有外界的干預(yù)（如政府）極有可能致使經(jīng)濟(jì)崩潰 . 通過產(chǎn)品的銷售價(jià)格和生產(chǎn)產(chǎn)量建立數(shù)學(xué)模型，在得出市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，并且對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，再探討政府能夠采用的干預(yù)措施在市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí) . 號(hào)說明 k 時(shí)段產(chǎn)品的數(shù)量 k 時(shí)段產(chǎn)品的數(shù)量 衡點(diǎn)在函數(shù) f 的斜率的絕對(duì)值 衡點(diǎn)在函數(shù) g 的斜率的絕對(duì)值 網(wǎng)模型 將時(shí)間離散化劃分為若干段，產(chǎn)品的一個(gè)生產(chǎn)周期即為一個(gè)時(shí)段，由于在一個(gè)時(shí)間段中產(chǎn)品的銷售價(jià)格由產(chǎn)品產(chǎn)量決定，因此可設(shè)： )(kk （ 4 它是需求函數(shù)，體現(xiàn)的是此商品與消費(fèi)者的需求關(guān)系 f 是單調(diào)遞減的函數(shù) . 由于上一個(gè)時(shí)段的銷售價(jià)格決定了下一個(gè)時(shí)段產(chǎn)品的產(chǎn)量，因此可設(shè)： )(1 kk 或 )(1 kk 4 g 為 h 的反函數(shù)，它們都是供應(yīng)函數(shù)，體現(xiàn)的是生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 015 屆 本科生畢業(yè)論文 13 格與下時(shí)段生產(chǎn)產(chǎn)量成正比，故 g 是單調(diào)遞增的函數(shù) . 通過函數(shù) f 和 g 反映點(diǎn)列 ),(kk ,(1 kk 利用對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系畫出來，即將點(diǎn)列 ) , . . .,(),(,),(231221122111 圖 4則將連成折線形似蛛網(wǎng)，因此 這種 用圖形來研究市場經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性稱為蛛網(wǎng)模型 . 圖 4 圖 4 見 ， 若 點(diǎn) 列 ) , . . .,(),(,),(231221122111 ( 000 即 00 , 而且點(diǎn) 0p 是函數(shù) f 和 g 的交點(diǎn)，則代表市場經(jīng)濟(jì)在未來的一段時(shí)間里將會(huì)趨向穩(wěn)定 圖 4則代表市場經(jīng)濟(jì)將會(huì)趨向不穩(wěn)定 f 是由消費(fèi)者的消費(fèi)能力和需求程度決定的， g 是由生產(chǎn)者的經(jīng)營能力和生產(chǎn)能力等因素決定的 8. 通過分析圖形可知：當(dāng)K 時(shí)，點(diǎn)0 當(dāng)K 時(shí)，點(diǎn)0 舉例說明蛛網(wǎng)模型： 設(shè)：產(chǎn)品的本期產(chǎn)品數(shù)量 么供給函數(shù)是 1 產(chǎn)品 本期的需求量 本期產(chǎn)品銷售價(jià)格 那么需求函數(shù)是 ，那么結(jié)合動(dòng)態(tài)供需均衡模型，蛛網(wǎng)模型可以表達(dá)為： 1其中 , 都是正值 1 P （ 4 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 14 因此能夠知道第 t 期的產(chǎn)品價(jià)格是： 111. .有均衡價(jià)格1 入（ 4得 其帶入上式有 00 1（ 4 對(duì)（ 4進(jìn)行分析可得： 當(dāng) 1時(shí)，那么P，稱為收 斂型蛛網(wǎng)； 當(dāng) 1時(shí)，那么 為發(fā)散型蛛網(wǎng)； 當(dāng) 1時(shí)，那么為封閉型蛛網(wǎng) . 分方程模型 分別取函數(shù) f 和 h 在0得： 0),(00 4 0),(001 4 將（ 4（ 4并后能得： 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 15 , . . ),(001 （ 4 對(duì)（ 4行遞推可得： )(0101 （ 4 由（ 4得，當(dāng) k 時(shí)0，則當(dāng) 1 或 1時(shí)0 當(dāng) k 時(shí) 則當(dāng) 1 或 1時(shí)0 由于 是0f 上的切線斜率， 1 是0g 上的切線斜率，則有 1, K，可見差分方程模型與蛛網(wǎng)模型結(jié)果是相同的 . 從（ 4得， 的意義是產(chǎn)品的數(shù)量下降一單位時(shí)銷售價(jià)格的上升幅度，因此 代表的是購買者對(duì)產(chǎn)品需要的靈敏度，若是生活必需的產(chǎn)品，并且消費(fèi)者的狀態(tài)是持幣待購，一旦產(chǎn)品的數(shù)量缺少，人們就會(huì)搶購，則 相對(duì)較大 . 的意義為這期銷售價(jià)格上升一單位是產(chǎn)品數(shù)量的增加量，因此 代表生產(chǎn)者對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的靈敏度，若生產(chǎn)者貪圖當(dāng)下的高利潤，一旦價(jià)格上升就增多生產(chǎn)，則 相對(duì)較大 . 預(yù)辦法 綜上可知，當(dāng) 一定時(shí)， 越小，代表購買者對(duì)產(chǎn)品需要的靈敏度就越小，越對(duì)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利 ;當(dāng) 一定時(shí)， 越小，代表生產(chǎn)者對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的靈敏度就越小，越對(duì)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利 ， 越大時(shí)，越對(duì)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定不利 . 圖 4 圖 4在兩種干預(yù)辦法在市場經(jīng)濟(jì)傾向不穩(wěn)定時(shí)，第一種是讓 盡可能小，為了更加明顯研究 0 的情況，也就是 f 的圖像為水平直線（見圖 4此刻市場經(jīng)濟(jì)永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的無論 g 如何變化（也就是無論 多大） 015 屆 本科生畢業(yè)論文 16 價(jià)格不能變化，不管產(chǎn)品數(shù)量為多少，即政府控制物價(jià) 盡可能小，為了更加明顯研究 0 的情況，也就是 g 的圖像為豎直直線（見圖 4此刻市場經(jīng)濟(jì)永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的無論 f 如何變化（也就是無 多大） 品數(shù)量不能變化，當(dāng)供不應(yīng)求時(shí)將從其他地方購買或調(diào)貨過來，當(dāng)供應(yīng)多于需要時(shí)，收購多于部分 . 型的推廣 為了更加謹(jǐn)慎生產(chǎn)者在計(jì)算下一期的產(chǎn)品數(shù)量1但考慮這期的銷售價(jià)格（ 4將變?yōu)椋?)2( 11 4 （ 4的近似直線（ 4應(yīng)的改為： 0101 22 （ 4 由于（ 4和（ 4沒有變化，所以合并（ 4和（ 4可得： , . . ,12012 （ 4 只 要方程的特征根都在單位圓里，那么當(dāng) k 時(shí)0，即0 （ 4的特征方程為： 02 2 （ 4 并得出（ 4特征根為 4822,1 （ 4 當(dāng) 8 時(shí)，有 44822 因而 22 ，故 2 不在 單位圓內(nèi)，所以舍去 時(shí)，可由（ 4得：22,1 如果讓所有特征根在單位圓里，也就是 12,1 ，所有 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 17 2 （ 4 （ 4即為0與之前0 相比，這個(gè)模型的 , 的使用范圍都放寬了，即穩(wěn)定性條件變寬了 . 若要更深一步的研究這個(gè)模 型，在計(jì)算下一期的產(chǎn)品數(shù)量1考慮最近三年來的價(jià)格，即 )3( 211 天津科技大學(xué) 2015 屆 本科生畢業(yè)論文 18 5 人口的預(yù)測與控制模型 題重述 隨著生活水平的不斷提高，人口問題備受人們的關(guān)注 些國家的出生率過高，持續(xù)發(fā)展下去會(huì)對(duì)人們的正常生活產(chǎn)生很大的影響；又有些國家的 自然增長率接近于零更有甚者成為負(fù)數(shù)，對(duì)國家的發(fā)展也很是不利的，如缺少勞動(dòng)力 但人口總數(shù)增長率太高，并且人口老齡化問題日益明顯 量將年齡結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)成適當(dāng)?shù)乃?. 題分析 每個(gè)地方人口數(shù)量的變化都是由多種因素所決定的，例如國家政策，社會(huì)發(fā)展水平，遷移，自然災(zāi)害等 性生育率與死亡率