追尋歷史_探索高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律kdh.pdf

教育評價 中 教 研 究 2 0 0 6 9 1 0 追尋歷史 探索高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律 云南省教育科學(xué)研究院何立恒 分析研究高考數(shù)學(xué)可以從不同的角度 在不同的 層面 用不同的方法展開 相應(yīng)地 所得結(jié)論就可能有 多種 下面著重從高考數(shù)學(xué)命題歷史發(fā)展方面 結(jié)合 高考數(shù)學(xué) 必修 選修I模式 必修 選修I I模式 的發(fā)展 趨勢 談點個人的思考 為大家全面認(rèn)識高考數(shù)學(xué) 理 解高考數(shù)學(xué) 科學(xué)實踐高考數(shù)學(xué)拋磚引玉 高考數(shù)學(xué)是國家選拔人才的一種重要工具 它的 理論與實踐必然帶有鮮明的 什么是社會需要的人才 這樣關(guān)于人才標(biāo)準(zhǔn)的痕跡 什么是社會需要的人才 不同的社會對人才的需求不一樣 不同的歷史階段 它 的答案可以不同 我們正是基于人才標(biāo)準(zhǔn)的歷史性 把高考數(shù)學(xué)命題歷史劃分為以下四個階段 一 有意識的以知識立意命題階段 綜觀中國高考數(shù)學(xué) 1 9 8 4年以前的數(shù)學(xué)試卷 都有 明顯的重點考查知識再現(xiàn)特色 試卷明顯關(guān)注知識覆 蓋率 整個試卷幾乎由資料上的陳題構(gòu)成 這個時期 人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識 幾乎把數(shù)學(xué)等同于解題 復(fù)習(xí)備考 就是解各種資料上的題 這種現(xiàn)象折射出當(dāng)時 知識 就是力量 的人才觀 強(qiáng)調(diào)知識機(jī)械積累 突出思維的模 仿 思想的統(tǒng)一 同時也折射出人們對人的主觀能動性 的認(rèn)識 過分夸大人的主觀能動性 多做多練 猜到考 題的可能性就大 在這種人才觀的支配下 老師猜到考 題成了數(shù)學(xué)教學(xué)的一大亮點 二 有意識的以能力立意命題的探索階段 這個時期大致可以劃分為1 9 8 4 1 9 9 8年 這個時期 的數(shù)學(xué)試卷整體上仍然重視對知識再現(xiàn)的考查 仍然 有意識地強(qiáng)調(diào)知識的覆蓋率 但從試題來看 這一時 期每年的試題都有一部分新穎問題 都有相當(dāng)一部分 問題 約占整卷的4 0 在有意識的考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué) 數(shù)學(xué)分析問題 解決問題的能力 三 全面以能力立意命題的實施階段 自1 9 9 9年開始 高考數(shù)學(xué)明確提出高考數(shù)學(xué)是能 力考試 高考數(shù)學(xué)不刻意追求知識覆蓋面 只是把數(shù) 學(xué)作為考查能力的素材 同時 也特別指出 識題型 套解法 這種模仿式的思維方式不是數(shù)學(xué)能力 數(shù)學(xué)高 考堅決擯棄 識題型 套解法 這種思維方式 1 9 9 9年 2 0 0 3年期間 每年的試題都以新穎 考思 維 考能力為試題的亮點 同時 相當(dāng)多的平時成績優(yōu) 秀的學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績不理想 在一定意義上挫傷了 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情 這期間可以稱之為 純能力立 意的考試 四 從人的發(fā)展的兩個方面 學(xué)習(xí)態(tài)度與能力 立意 一個人做任何一件事情 都包含兩個方面 做事情 的主觀態(tài)度與做事情的能力 做事情的主觀態(tài)度包括對所做事情的科學(xué)認(rèn)識和 實踐中的科學(xué)化 從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看 即有關(guān)數(shù)學(xué) 內(nèi)容積累的多少與積累的方式與方法 通俗地講 就 是勤奮刻苦與正確的學(xué)習(xí)方法 高考數(shù)學(xué)有意識地關(guān)注并重視對考生主觀態(tài)度考 查 應(yīng)該從2 0 0 4年算起 而且是以教科書為素材 考查 考生對教科書的掌握程度 且以典型問題與方法構(gòu)建 的 陳題 進(jìn)行考查 這方面的試題 2 0 0 4年約占全卷1 0 4 分 2 0 0 5年約占全卷1 2 5分 2 0 0 6年約占全卷1 2 0分 高考數(shù)學(xué)通過以教科書為素材 考查考生對教科 書的掌握程度來考查考生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度在今年的命 題方面也有新的突破 例1 2 0 0 6年云南省高考數(shù)學(xué)理1 2題 函數(shù)f x 1 9 n 1 x n 的最小值為 A 1 9 0 B 1 7 1 C 9 0 D 4 5 分析 求和符號 不在高中要求范圍內(nèi) 只在線 性回歸中簡單提到過 如果考生沒有閱讀過線性回歸 這節(jié)教科書 就無法理解題目 如果考生閱讀過線性回 歸這節(jié)教科書 而沒有真正理解教科書的處理思想與 6 方法 就只能夠讀懂問題 最多再聯(lián)想到該題與系統(tǒng)誤 差類似 如果理解了該節(jié)教科書的處理思想與方法 就 能夠模仿著系統(tǒng)誤差的處理思想方法 把f x 1 9 n 1 x n 取得最小值時x的值轉(zhuǎn)化為 1 9 n 1 x n 2 取得最小值時x的 值 而 1 9 n 1 x n 2 1 9 x 2 2 1 9 n 1 n x 1 9 n 1 n 2 當(dāng)x 1 9 n 1 n 1 9 1 0時 1 9 n 1 x n 2 1 9 x 2 2 1 9 n 1 n x 1 9 n 1 n 2 取得最小值 而類比著教科 書的方法 當(dāng)x 1 0時 f x 1 9 n 1 x n 的值等于9 0 故選C 做事情的能力 往往帶有客觀性 與先天遺傳素質(zhì) 有很大關(guān)系 一個人的才能是多方面的 有的人在某 方面有才能 在其他方面就不一定有高的才能 一般 情況下 絕大多數(shù)學(xué)生也不是能夠在所有高考的學(xué)科 上都達(dá)到最高水平 這種現(xiàn)時存在的客觀差異就是能 力因素導(dǎo)致的 高考數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)對人的客觀差異的能力 考試 目的是把高層次學(xué)生選拔出來 在對能力進(jìn)行考查時 從2 0 0 4年開始 更多關(guān)注兩 個方面 一是解題方法的選擇方面 對于一個具體的問 題 初看上去 有多種思路 但到底哪種思路更好 要通過 閱讀理解 收集有關(guān)信息 整理相關(guān)信息 最后判斷出哪 些信息是有用的 是本質(zhì)的 哪些信息是無用的 是非本 質(zhì)的 充分利用由閱讀理解獲得的信息關(guān)系進(jìn)行選擇 解決數(shù)學(xué)問題使用什么樣的知識 哪種方法更合 理 這是一個直接與問題環(huán)境有關(guān)系的問題 知識 方 法的選擇直接依賴于問題環(huán)境 這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的 新成果 高考數(shù)學(xué)為摒棄 識別題型 再套解法 這種 套路式的數(shù)學(xué)解題方法 在解決問題時 充分獲得有用 的信息 重新再現(xiàn) 整合腦子里的知識 方法 形成解決 問題的合適的思路與方法 這樣的思維方式是一個現(xiàn) 代公民應(yīng)該具備的重要而又基本的素質(zhì) 例2 2 0 0 6年云南省高考數(shù)學(xué)文2 2題 理2 1題 已知拋物線x 2 4 y的焦點為F A B是拋物線上的兩 動點 且A F F B 0 過A B兩點分別作拋物線的 切線 設(shè)其交點為M I 證明F M A B為定值 設(shè) A B M的面積為S 寫出S f 的表達(dá)式 并求S的最小值 解 由已知條件 得F 0 1 0 設(shè)A x 1 y 1 B x 2 y 2 由A F F B 得 x 1 1 y 1 x 2 y 2 1 即 x 1 x2 1 y 1 y 2 1 將 式兩邊平方并把y 1 1 4 x 2 1 y 2 1 4 x 2 2代入得 y 1 2 y 2 解 式得y 1 y 2 1 且有x 1x2 x 2 2 4 y2 4 拋物線方程為y 1 4 x 2 求導(dǎo)得y 1 2 x 所以過拋物線上A B兩點的切線方程分別是 y 1 2 x 1 x x 1 y 1 y 1 2 x 2 x x 2 y 2 即y 1 2 x 1x 1 4 x 2 1 y 1 2 x 2x 1 4 x 2 2 解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為 x 1 x2 2 x 1x2 4 x 1 x2 2 1 所以F M A B x 1 x2 2 2 x 2 x1 y 2 y1 1 2 x 2 2 x 2 1 2 1 4 x 2 2 1 4 x 2 1 0 所以F M A B為定值 其值為0 由 知在 A B M中 F M A B 因而S 1 2 A B F M F M x 1 x2 2 2 2 2 1 4 x 2 1 1 4 x 2 2 1 2 x 1x2 4 y 1 y2 1 2 4 4 1 2 1 因為 A F B F 分別等于A B到拋物線準(zhǔn)線y 1 的距離 所以 7 A B A F B F y 1 y2 2 1 2 1 2 于是S 1 2 A B F M 1 3 由 1 2知S 4 且當(dāng) 1時 S取得 最小值4 說明 第 問比較基本 沒有什么懸念 屬于對考 生主觀態(tài)度考查的問題 第 問屬于通過對考生在 方法選擇上的差異 考查讀書理解 獲得信息 處理信息 的能力 達(dá)到對考生能力考查的目的 盡管三角形面 積公式考生都很熟悉 但如果不能獲得并充分使用 F M A B這個信息 那么三角形面積S f 的表達(dá)式 就變得非常難于求解 這是許多考生在此題失分的原 因 處理事情 要有效地獲得周圍信息 對所獲得的信 息進(jìn)行加工 這是信息社會對人的素質(zhì)的基本要求 高 考數(shù)學(xué)正是基于對人的素質(zhì)這一層面進(jìn)行能力考查的 值得說明的是 2 0 0 6年以前的考題 題目中給出的 每個已知條件對問題的解答都是有用的 從來沒有出現(xiàn) 多余的已知條件 但今年在這個方面有了新的突破 例3 2 0 0 6年云南省高考數(shù)學(xué)文 理1 6題 一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了 1 0 0 0 0人 并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖 如下圖 為了分析居民的收入與年齡 學(xué)歷 職業(yè)等 方面的關(guān)系 要從這1 0 0 0 0人中再用分層抽樣方法抽出 1 0 0人作進(jìn)一步調(diào)查 則在 2 5 0 0 3 0 0 0 元 月收入段應(yīng) 抽出人 解 由直方圖可得 2 5 0 0 3 0 0 0 元 月收入段共有 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 2 5 0 0人 按分層抽樣應(yīng)抽出2 5 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 5人 說明 由上述解答不難看出 問題給出的已知信息 遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于解答該題所需要的信息 本來本題應(yīng)該是比較 簡單的問題 但得分不高 究其原因 就象許多考生考后 所說的那樣 那么多條件怎么用啊 二是對符號意義的理解 應(yīng)用方面 給考生發(fā)揮自 己潛能創(chuàng)造了廣闊空間 從高考數(shù)學(xué) 必修 選修I模式 必修 選修I I模式 來看 2 0 0 4年 2 0 0 5年 2 0 0 6年最后三 大題 都有明顯的這方面的痕跡 而且 對考生在這方面 的差異 是通過計算的復(fù)雜程度來實施考查的 限于篇 幅 這里僅舉一例 例4 2 0 0 6年云南省高考數(shù)學(xué)理2 2題 設(shè)數(shù)列 a n 的前n項和為S n 且方程x 2 a nx an 0 有一 根為S n 1 n 1 2 3 求a 1 a 2 求 a n 的通項公式 分析 第 問比較簡單 沒有什么懸念 屬于對 考生主觀態(tài)度考查的問題 對于第 問 由已知方程 x 2 a nx an 0 有一根為S n 1 不難符號化為 S n 1 2 a n S n 1 a n 0 即S 2 n 2 Sn 1 a nS 0 由此式反映出來 這樣的信息 一個方程 兩類未知數(shù)a n與Sn 又根據(jù)該式子 的結(jié)構(gòu)信息 只能消去a n 從而得到S n與Sn 1的關(guān)系式 S n 1Sn 2 Sn 1 0 由于對該方程的理解的差異 自然 就導(dǎo)致不同的解法 解法一 當(dāng)n 1時 x 2 a 1x a1 0 有一根為 S 1 1 a1 1 于是 a 1 1 2 a 1 a 1 1 a 1 0 解得a 1 1 2 當(dāng)n 2時 x 2 a 2x a2 0 有一根為S 2 1 a2 1 2 于是 a 2 1 2 2 a 2 a 2 1 2 a 2 0 解得a 2 1 6 由已知得 S n 1 2 a n S n 1 a n 0 即S 2 n 2 Sn 1 annSn 0 當(dāng)n 2時 a n Sn Sn 1 代入上式得 S n 1Sn 2 Sn 1 0 由 知S 1 a1 1 2 S 2 a1 a2 1 2 1 6 2 3 8 由 可得S 3 3 4 由此猜想S n n n 1 n 1 2 3 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論 i n 1時已知結(jié)論成立 i i 假設(shè)n k時結(jié)論成立 即S k k k 1 當(dāng)n k 1時 由 得S k 1 1 2 S k 即S k 1 k 1 k 2 故n k 1時結(jié)論也成立 綜上 由 i i i 可知S n n n 1 對所有正整數(shù)n都成立 于是當(dāng)n 2時 a n Sn Sn 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 又n 1時 a 1 1 2 1 1 2 所以 a n 的通項公式a n n n 1 n 1 2 3 解法二 當(dāng)n 1時 x 2 a 1x a1 0 有一根為 S 1 1 a1 1 于是 a 1 1 2 a 1 a 1 1 a 1 0 解得a 1 1 2 當(dāng)n 2時 x 2 a 2x a2 0 有一根為S 2 1 a2 1 2 于是 a 2 1 2 2 a 2 a 2 1 2 a 2 0 解得a 2 1 6 由已知得 S n 1 2 a n S n 1 a n 0 即S 2 n 2 Sn 1 annSn 0 當(dāng)n 2時 a n Sn Sn 1 代入上式得 S n 1Sn 2 Sn 1 0 推得S n 1Sn 2 Sn 1 0 后 對該式子進(jìn)行變形得 S n 1 S n 1 1 S n 1 1 S n 1 0 兩邊同除以 S n 1 S n 1 1 得 1 S n 1 1 S n 1 1 1 數(shù)列 1 S n 1 是一個以 2為首項 1為公差的等差 數(shù)列 1 S n 1 2 n 1 1 n 1 S n n n 1 從而a n n n 1 說明 從數(shù)學(xué)的角度看 解法二比解法一明顯優(yōu)美 更具數(shù)學(xué)創(chuàng)造性 整個解題過程建立在對符號意義的理 解與運(yùn)用上 即符號感 符號感強(qiáng)的考生 可以簡化運(yùn)算過程 減少書寫 量 贏得更多時間 高考數(shù)學(xué)近些年來就是通過命制這 樣的問題選拔更具數(shù)學(xué)潛能的考生 同時 也是通過這 種問題 考查考生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)造能力 關(guān)注做事態(tài)度與能力差異 應(yīng)該是基礎(chǔ)教育考試對 教學(xué)比較好的一種導(dǎo)向 是處理好主客觀因素比較好的 做法 也是以人為本 建立和諧社會的時代需要 當(dāng)我們的教育學(xué)回憶最近一百年教育發(fā)展歷程的 時候 發(fā)現(xiàn)有一個很