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文檔簡介
抽象函數(shù)專練1、已知函數(shù)對任意的非零實數(shù),恒有,試判斷的奇偶性。解:令,得;為了求的值,令,則,即,再令得代入得,可得是一個偶函數(shù)。2、 已知定義在-2,2上的偶函數(shù),在區(qū)間0,2上單調遞減, ,求實數(shù)的取值范圍分析:根據(jù)函數(shù)的定義域,但是和分別在的哪個區(qū)間內呢?如果就此討論,將十分復雜,如果注意到偶函數(shù),則f (x)有性質f(-x)= f (x)=f ( |x| ),就可避免一場大規(guī)模討論。解:f (x)是偶函數(shù), f (1-m)f(m) 可得,f(x)在0,2上是單調遞減的,于是 ,即 化簡得-1m0.(1)求;(2)求和;(3)判斷函數(shù)的單調性,并證明.14函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有0;對任意,有;.(1)求的值;(2)求證: 在R上是單調減函數(shù);(3)若且,求證:.15已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且當時,.(1)證明:;(2)證明: 在R上單調遞減;(3)設A=,B=,若=,試確定的取值范圍.16已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),設F.(1)用函數(shù)單調性的定義證明:是R上的增函數(shù);(2)證明:函數(shù)=的圖象關于點(成中心對稱圖形.17已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù),且它的圖象關于直線對稱.(1)求的值;(2)證明: 函數(shù)是周期函數(shù);(3)若求當時,函數(shù)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個周期的圖象。18函數(shù)對于x0有意義,且滿足條件減函數(shù)。(1)證明:;(2)若成立,求x的取值范圍。19設函數(shù)在上滿足,且在閉區(qū)間0,7上,只有(1)試判斷函數(shù)的奇偶性;(2)試求方程=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個數(shù),并證明你的結論20. 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y,均有f(xy)f(x)f(y),且當x0時,f(x)0,f(1)2,求f(x)在區(qū)間2,1上的值域。21. 已知函數(shù)f(x)對任意,滿足條件f(x)f(y)2 + f(xy),且當x0時,f(x)2,f(3)5,求不等式的解。22. 是否存在函數(shù)f(x),使下列三個條件:f(x)0,x N;f(2)4。同時成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,說明理由。6.證明:(1)問題為求函數(shù)值,只需令x=y=0即可得。 (2)問題中令x=0即得f(y)+f(- y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y),因此y=f(x)為偶函數(shù).說明:這類問題應抓住f(x)與f(-x)的關系,通過已知條件中等式進行變量賦值。7. 解:由y=f(x)是偶函數(shù)且在(2,6)上遞增可知,y=f(x)在(6,2)上遞減。令u=2-x,則當x(4,8)時,u是減函數(shù)且u(-6,-2),而f(u)在(6,2)上遞減,故y=f(2-x)在(4,8)上遞增。所以(4,8)是y=f(2-x)的單調遞增區(qū)間。8. 解:(1).因為ab,所以a-b0,由題意得0,所以f(a)+f(b)0,又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(b)=f(b), f(a)f(b)0,即f(a)f(b)(2).由(1)知f(x)在R上是單調遞增函數(shù),又ff0,得ff,故,所以k令t,所以kt+,而t+2,即k219.解:等價于10.(1)證明:令,得 令,則 是奇函數(shù)。(2) 又11.(1)解:令,則令,則 (2)證明:令,則, 令,則 是奇函數(shù)。(3)當時,令,則 故,所以,故12.解:(1)對任意,函數(shù)滿足,且 ,=f(a)=a(2) 對任意,函數(shù)滿足,有且僅有一個實數(shù),使得對任意,有上式中,令,則,故若,則,則,但方程有兩個不相同的實根與題設茅盾,故若,則,則,此時方程有兩個相等的實根,即有且僅有一個實數(shù),使得13.(1)解:令,則 (2)數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故=(3)任取,則 =函數(shù)是R上的單調增函數(shù).14.(1)解: 對任意,有0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有0;對任意,有;函數(shù)是R上的單調減函數(shù).(3) 由(1)(2)知,而15. (1)證明:令,則當時,故,當時,當時,則(2)證明: 任取,則,0,故0是R上的增函數(shù);(2)設為函數(shù)=的圖象上任一點,則點關于點(的對稱點為N(),則,故把代入F得, =-函數(shù)=的圖象關于點(成中心對稱圖形.17.(1)解:為R上的奇函數(shù), 對任意都有,令則=0(2)證明: 為R上的奇函數(shù), 對任意都有,的圖象關于直線對稱, 對任意都有, 用代得,即是周期函數(shù),4是其周期.(3)當時,當時,當時,圖象如下: y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)證明:令,則,故(2),令,則, 成立的x的取值范圍是。19解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802個解.20. 解:設,當,即,f(x)為增函數(shù)。在條件中,令yx,則,再令xy0,則f(0)2 f(0), f(0)0,故f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù),f(1)f(1)2,又f(2)2 f(1)4, f(x)的值域為4,2。21. 解:設,當,則, 即,f(x)為單調增函數(shù)。 , 又f(3)5,f(1)3。, 即,解得不等
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