2014數(shù)學建模綜合練習題答案.pdf

數(shù)學建模綜合練習答案 1 設漁場魚量 x t 的變化率 x t 等于 r x t ln N x t 與捕撈率 E x t 之差 其中常數(shù) r 表示 自然增長系數(shù) 常數(shù) N E 表示捕撈強度 均大于零 設初始時刻 t 0 時的魚量為 x0 0 1 建立魚量 x t 的微分方程模型 2 求解微分方程 寫出魚量 x t 的表達式 3 求當時間趨于正無窮大時的魚量 x Inf 即達到平衡態(tài)時的魚量 4 求在平衡態(tài)時 使捕撈率達到最大時的捕撈強度 E 解 微分方程為 d ln d N x x x rE t 分離變量得 d ln d lnln x t rNErx 積分并由初始條件得 0 lnln lnln exp rNErxrNErxrt 當時間趨于正無窮大時 魚量為 inf exp E xN r 平衡態(tài)時捕撈率為exp E NE r 由微分法得知 其最大值在Er 時達到最大值 2 甲市的一公司共有五個部門 A B C D E 由于在各城市的成本有所不同 為了達到 最大的效益 要把某些部門遷到乙市及丙市 單純由搬遷可獲得的利益 單位萬元 如下 A B C D E 乙 10 15 10 20 5 丙 10 20 15 15 15 各部門之間的通訊量如下 B C D E A 1000 1500 B 1400 1200 C 2000 D 700 不同城市之間單位通訊量的費用 單位元 如下 甲 乙 丙 甲 100 130 90 乙 50 140 丙 50 求最佳的搬遷方案 使得總效益最大 1 建立該問題的線性規(guī)劃模型 如模型是非線性的 要把它化為線性規(guī)劃 2 寫出求解該模型的 LINGO 程序 解 用 1 2 3 4 5 分別表示 A B C D E 部門 用 1 2 3 分別表示甲 乙 丙市 設零一變量1 ij x 表示 i 部門搬到 j 市 令零一變量 ijklijkl yx x 用 ij B 表示 i 部門搬到 j 市的效益 用 ik D 表示 i 部門與 k 部門之間增加的通訊量 用 jl C 表示 j 市與 l 市之間的單 位通訊費 則數(shù)學模型為 535353 11111 max10000 ijijjlikijkl ijijk i l B xC D y 同部門不計費 不同部門不重復計費 s t 3 1 1 ij j x 各部門只搬至一市 5 1 1 ij i x 要求每個城市至少一個部門 若無此要求 則不要此約束條件 0 ijklij yx 0 ijklkl yx 1 ijklijkl xxy ki 線性化 ijklijkl yx x ijijkl xy為零一變量 1 2 3 4 5 i k 1 2 3 j l LINGO 程序為 SETS DEPT 1 5 CITY 1 3 Benefit DEPT CITY B X Fee CITY CITY C Comm DEPT DEPT D Multi DEPT CITY DEPT CITY Y ENDSETS MAX 10000 SUM Benefit I J B I J X I J SUM Multi I J K L I LT K C J L D I K Y I J K L FOR DEPT I SUM CITY J X I J 1 FOR CITY J SUM DEPT I X I J 1 要求每個城市至少有一個部門時 FOR Multi I J K L I LT K Y I J K L X I J 0 Y I J K L X K L 0 X I J X K L Y I J K L 1 FOR Benefit BIN X FOR Multi BIN Y DATA B 0 10 10 0 15 20 0 10 15 0 20 15 0 5 15 C 100 130 90 130 50 140 90 140 50 D 0 0 1000 1500 0 0 0 1400 1200 0 1000 1400 0 0 2000 1500 1200 0 0 700 0 0 2000 700 0 ENDDATA 3 設一均勻線密度為 的輕質(zhì)細彈性弦 兩端分別固定在點 L 0 及點 L 0 上拉緊 張力為常數(shù) T 受重力的影響有微小的向下彎曲 曲線用 y y x 表示 設 y 軸向下為正 則 根據(jù)物理定律 其彈性勢能與位能之和達到最小值 即 L 2 L J