二項式定理__習題精選.pdf

1 二項式定理二項式定理習題精選習題精選 一 與通項有關的一些問題一 與通項有關的一些問題 例例 1 1 在的展開式中 指出 1 第 4 項的二項式系數 2 第 4 項的系數 3 求常數項 解解 展開式的通項為展開式中的第 r 1 項 1 二項式系數為 2 由 1 知項的系數為 3 令 6 3r 0 r 2 常數項為 例例 2 2 若的展開式中 前三項的系數成等差數列 求展開式中的有 理項 分析分析 通項為 前三項的系數為 且成等差 即解得 n 8 從而 要使 Tr 1為有理項 則 r 能被 4 整除 2 例例 3 3 1 求的常數項 2 求 x 2 3x 2 5的展開式中 x 的系數 解解 1 通項 令 6 2r 0 r 3 常數項為 2 x 2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 展開式中含 x 項由 x 1 5中常數項乘 x 2 5的一次項與 x 1 5的一次項乘 x 2 5的常數項相加得到 即為 因而其系數為 240 例例 4 4 a b c 10的展開式中 含 a5b3c2的系數為 分析分析 根據多項式相乘的特點 從 a b c 10的十個因式中選出 5 個因式中的 a 三個因式中的 b 兩個因式中的 c 得到 從而 a 5b3c2的系數為 小結小結 三項式的展開 或者轉化為二項式展開 或者采用得到二項式定理的方 法去解決 例例 5 5 1 x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 100的展開式中 x3的系數為 分析分析 法一 展開式中 x 3項是由各二項展開式中含 x3項合并而形成 因而系數 為 法二 不妨先化簡多項式 由等比數列求和公式 原式 要求 x 3項只要求分子的 x4項 因而它的系數為 3 二 有關二項式系數二 有關二項式系數的問題的問題 例例 6 6 2x x lgx 8的展開式中 二項式系數最大的項為 1120 則 x 分析分析 二項式系數最大的為第 5 項 解得 x 1 或 例例 7 7 的展開式中系數最大的項為第 項 分析分析 展開式中項的系數不同于二項式系數 只能用數列的分析方法 設第 r 1 項的系數最大 則解得 r 7 且此時上式兩個等號都不能取得 因而第 8 項系數最大 三 賦值法三 賦值法 例例 8 8 已知 1 求 a0 2 求 a1 a2 a3 a4 a5 3 求 a0 a2 a4 2 a 1 a3 a5 2 4 求 a1 a3 a5 5 a0 a1 a5 分析分析 1 可以把 1 2x 5用二項式定理展開求解 從另一個角度看 a0為 x 0 時右式的結果 因而令 x 0 1 0 5 a 0 a0 1 4 2 令 x 1 則 1 2 5 a 0 a1 a2 a3 a4 a5 又 a0 1 a1 a2 a3 a4 a5 2 3 令 x 1 得 a0 a1 a2 a5 1 令 x 1 得 3 5 a 0 a1 a2 a3 a4 a5 因而 a0 a2 a4 2 a 1 a3 a5 2 4 聯立 兩方程 解得 a1 a3 a5 122 5 因而 a0 a1 a5 即為 1 2x 5的展開式的所有系數和 a0 a1 a5 1 2 5 35 243 小結小結 求展開式的系數和只需令 x 1 可解 賦值法也需合情合理的轉化 例例 9 9 已知 其中 b0 b1 b2 bn 62 則 n 分析分析 令 x 1 則 由已知 2 n 1 2 62 2 n 1 64 n 5 例例 1010 求的展開式中有理項系數的和 分析分析 研究其通項 顯然當 r 2k k Z 時為有理項 因而它的有理項系數和即為 2 t n的奇數項的 系數和 設 2 t n a 0 a1t a2t 2 a nt n 5 令 t 1 即 3 n a 0 a1 a2 an 令 t 1 即 1 a0 a1 a2 1 na n 上兩式相加 解得奇數項系數和 四 逆用公式四 逆用公式 例例 1111 求值 S x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1 解解 例例 1212 求值 分析分析 注意將此式還原成二項展開式的結構 原式 五 應用問題五 應用問題 例例 1313 求證 3 2n 2 8n 9 能被 64 整除 證明證明 能被 64 整除 例例 1414 91 92除以 100 的余數為 分析分析 91 92 90 1 92 被 91 92100 除的余數為 81 小結小結 若將 91 92整理成 100 9 92 6 隨之而來又引出一新問題 即 9 92被 100 除的余數是多少 所以運算量較大 例例 1515 求 0 998 3的近似值 精確到 0 001 解解 典型例題典型例題 例例 1 1 已知二項式展開式中 末三項的系數依次成等差數 列 求此展開式中所有的有理項 解 二項展開式的通項公式為 由此得二項展開式中末三項的系數分別為 依題意得 注意到這里 故得 n 8 設第 r 1 項為有理項 則有 x 的冪指數為整數 r 0 4 8 這里 T1 T5 T9為有理項 又由通項公式得 所求二項展開式中的有理項分別為 點評 點評 二項展開式中關于某些項或某些項的系數問題 一般都要運用通項公式 若 為相對常數 x 為變量 則當 g n r 為自然數時為整式 項 當 g n r 為整數時為有理項 7 例例 2 2 已知的展開式中奇數項的二項式系數之和等于 512 試求 1 二項式系數最大的項 2 系數的絕對值最大的項 3 系數最大的項 解 由題意得 n 10 二項展開式的通項公式為 1 n 10 二項展開式共 11 項 二項展開式的中間一項即第六項的二項式系數最大 又 所求二項式系數最大的項為 2 設第 r 1 項系數的絕對值最大 則有 解之得 注意到 8 故得 r 3 第 4 項系數的絕對值最大 所求系數絕對值最大的項為 3 由通項公式的特征可知 系數最大的項應在項數為奇數的項內 即在 r 取偶數的各項內 又 r 取偶數 0 2 4 6 8 10 時 相應的各項系數分別為 即分別為 1 由此可知 系數最大的項為第 5 項 r 4 即 點評 點評 1 解決二項式問題要注意區(qū)分兩種系數 一種是某一項的系數 按通常的多項式系 數去理解 認定 一種是某項的二項式系數 僅指這一項中所含的那個組合數 二者在特 殊情況下方為同一數值 2 這里展開式中系數絕對值最大的項 實際上是展開 式中系數最大的項 必要時可適時轉化 3 本題解法 一題兩制 對于 2 我們運用一般方法進行推導 對于 3 我們運用認知 列舉 比較的方法導出目標 當指數 n 數值較小時 3 的解法頗為實用 例例 3 3 已知 a 0 b 0 2m n 0 且在的展開式中系數最大 的項是常數項 求的取值范圍 解 設二項展開式中為常數項 依題意令 則將已知式代入 得 9 注意到這里 由 得 r 4 展開式中系數最大的項是 于是有 因此可知 所求的取值范圍為 例例 4 4 求證 1 能被整除 2 證明 1 為利用二項式定理 對中的底數 n 變形為兩數之和 或差 且 于是有 注意到 且 故 因此由 式知能被整除 2 證法一 倒序相加法 設 注意到二項式系數的性質 將 式右邊各項倒序排列 得 10 即 證法二 分項求和法 注意到左邊各項的相同結構 且各項的通項 據此變形左邊各項得 右邊 右邊 原等式成立 點評 點評 證明組合恒等式 除去利用二項公式這一組合的母函數外 上述兩種方法 特 別是證法二 是基本證明方法 例例 5 5 設設 求 求 展開式中各二項式系數的和 展開式中各二項式系數的和 展開式中各項系數的和 展開式中各項系數的和 的值的值 的值的值 的值的值 解 令 注意到這里 n 200 故展開式中各二項式系數的和 展開式中各項系數的和 注意到 11 仿 得 又 解法一 直面原式 又 再由二項式的展開式知 點評 對于二項展開式中各奇數項系數的和或各偶數項系數的和或其它有關多項式中對于二項展開式中各奇數項系數的和或各偶數項系數的和或其它有關多項式中 系數的和 一般可根據問題的具體情況 對未知數系數的和 一般可根據問題的具體情況 對未知數 x x 賦予適當的數值 運用特取法求出和賦予適當的數值 運用特取法求出和 式的值 式的值 例例 6 6 化簡下列各式 1 2 分析 注意到二項展開式中各項的特征 其中 b 的方冪與組合數上標相同 為利用二項式公式求解 依次對原式實施湊因子和湊項 即使各項中有關因子的方冪等于 組合數上標 又使以原式為基礎湊出的式子符合二項展開式的特征 解 1 令 x 則 12 即 故得 2 令 x 則 由 得 故得 即 點評 點評 對于組合數系數成等比數列的組合式求和 一般是在適當作以湊因子或湊項的 構造之后 運用二項式公式本身化簡或求值 例例 7 7 試求下列二項展開式中指定項的系數 1 的展開式中項的系數 2 的展開式中項的系數 3 的展開式中項的系數 4 的展開式中 x 項的系數 5 的展開式中項的系數 解 1 借助 配方轉化 原式 原展開式中項的系數 即展開式中項的系數 13 又展開式的通項公式為 令得 r 3 展開式中 所求原展開式中項的系數為 960 2 注意到的冪指數 3 較小 借助 局部展開 原式 展開式中的系數為 590 3 解法一 求和轉化 原式 所求原展開式中項的系數即為展開式中項的系數 所求展開式中項的系數為 解法二 集零為整 考察左式各部 展開式中項的系數為 4 解法一 兩次利用二項式定理 設展開式中第 r 1 項為含有 x 的項 又 14 要使 x 的冪指數為 1 必須且只需 r 1 即 而展開式中的常數項為 故得 原展開式中 x 的系數為 解法二 利用求解組合應用題的思路 注意到 欲求展開式中 x 的一次項 只要從上式右邊 5 個因式中有 1 個因式 取 3x 其余四個因式都取常數 2 即可 原展開式中 x 的一次項為 所求原展開式中 x 的系數為 240 5 解法一 兩次利用二項展開式的通項公式 注意到 其展開式的通項 又的 展 開 式 的 通 項 依題意 由此解得 由 得所求展開式中項的系數為 解法二 利用因式分解轉化 所求即為展開式中的系數 于是利用 局部展開 可得其展開式中的系數為 15 168 小結 小結 多項展開式中某一項系數的主要求法 1 等價轉化 配方轉化 求和轉化 分解轉化 化整為零 2 局部展開 3 兩次利用二項式定理或兩次利用二項展開式的通項公式 4 借助求解組合應用題的思想 例例 8 8 已知數列的通項是二項式與的展開式中所有 x 的 次數相同的各項的系數之和 求數列的通項公式及前 n 項和公式 解 將與的展開式按升冪形式寫出 由 可知 只有的展開式中出現的偶數次冪時 才能與的展 開式中 x 的次數相同 由 得 所求數列的通項公式為 其前 n 項和公式為 五 高考真題五 高考真題 一 選擇題 一 選擇題 16 1 20052005 全國卷全國卷 IIIIII 在的展開式中 的系數是 A 14B 14C 28D 28 分析 對于多項展開式中某一項的總數的尋求 化整為零 為基本方法之一 又的展開式中的系數 為 的系數為 原展開式中的系數為 應選 B 2 2 20052005 江蘇卷 江蘇卷 設 k 1 2 3 4 5 則的展開式中的系數不可能是 A 10B 40C 50D 80 分析 立足于二項展開式的通項公式 當 k 1 時 r 4 的系數為 當 k 2 時 r 3 的系數為 當 k 3 時 r 2 的系數為 當 k 4 時 r 1 的系數為 綜上可知應選 C 點評 關于二項展開式中某一項的問題 一般要利用二項展開式的通項公式 3 3 20052005 浙江卷 浙江卷 在的展開式中 的項的 系數為 A 74B 121C 74D 121 分析 考慮求和轉化 原式 又的展開式中系數為 的展開式中系數為 原展開式中項的系數為 應選 D 4 4 20052005 重慶 重慶 若展開式中含項的系數與含項的系數之比為 5 17 則 n 等于 A 4B 6C 8D 10 分析 設第 r 1 項是含的項 又 這一項的系數為 且 再設第 s 1 項是含的項 則 這一項的系數為 且 由 得 故 又由 得 化簡得 于是由 解得 n 6 r 4 故選 B 5 5 20052005 山東卷山東卷 如果的展開式中各項系數之和為 128 則展開式中 的系數是 A 7B 7C 21D 21 分析 設 則 由已知得 解得 n 7 18 令得 r 6 故所求系數為 應選 C 6 6 20042004 福建卷福建卷 若的展開式的第 3 項為 288 則的 值是 A 2B 1C D 分析 由題設 應選 A 二 填空題 二 填空題 1 1 20052005 福建卷 福建卷 展開式中的常數項是 用數字作答 分析 當得 r 2 即所求常數項為 240 2 2 20042004