數(shù)學(xué)建模冰山運(yùn)輸.doc

拖運(yùn)冰山的費(fèi)用估算摘要據(jù)資料顯示：地球上的水資源有97%被鹽化，僅有3%是淡水資源，且大部分是主要分布在南北兩極地區(qū)的固體冰川，眾所周知，水是生命的源泉，是人類(lèi)賴(lài)以生存和發(fā)展的重要物質(zhì)資源之一。而在一些淡水資源非常匱乏的地方，各種產(chǎn)水方式應(yīng)運(yùn)而生，本文主要針對(duì)以盛產(chǎn)石油著稱(chēng)的波斯灣地區(qū)，在采用高成本的海水淡化下，專(zhuān)家建議用拖船從相距9600km外的南極把冰山運(yùn)到波斯灣地區(qū)，取代海水淡化的方法，在拖運(yùn)過(guò)程中采用三種不同的船型、船速會(huì)產(chǎn)生不同的費(fèi)用，為了使獲得淡水資源費(fèi)用合理化。需要對(duì)總費(fèi)用進(jìn)行合理的估算，為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們建立初等函數(shù)模型，計(jì)算船只以最大運(yùn)量運(yùn)一次的總費(fèi)用和剩余的冰山體積；總費(fèi)用=日租金天數(shù)+總?cè)剂舷馁M(fèi)用，考慮到實(shí)際運(yùn)輸過(guò)程中，冰山的融化會(huì)引起燃料消耗費(fèi)用的變化，我們應(yīng)該求出體積變化的臨界值（即所運(yùn)的冰山何時(shí)會(huì)縮小到原來(lái)體積的），再根據(jù)表2可求出對(duì)應(yīng)的消耗原料。剩余冰山的體積=船的最大運(yùn)量-運(yùn)輸過(guò)程中融化的冰。運(yùn)輸過(guò)程中冰的融化速率與冰山到達(dá)處與南極的距離有關(guān)。根據(jù)表3，在特定的船速條件下，將冰山融化速率與南極距離看成線性關(guān)系，根據(jù)曲線積分可以求出融化的冰，然后求剩余的冰轉(zhuǎn)換成水的體積，計(jì)算每立方米水的成本，經(jīng)過(guò)計(jì)算選擇大型船，船速為5km/h，每立方米水的成本0.054英鎊/ 。關(guān)鍵字：燃料消耗費(fèi)用 冰山融化的體積 融化速率 臨界值 1、問(wèn)題重述在以盛產(chǎn)石油著稱(chēng)的波斯灣地區(qū)，浩瀚的沙漠覆蓋著大地，水資源十分缺乏，不得不采用淡化海水的辦法為國(guó)民提供用水，成本大約是每立方米0.1英鎊，有些專(zhuān)家提出從相距9600km外的南極用拖船運(yùn)送冰山到波斯灣，以取代淡化海水的辦法。在運(yùn)送冰山的過(guò)程中，拖船的租金、運(yùn)量、燃料消耗及冰山運(yùn)送過(guò)程中融化速率等方面的數(shù)據(jù)如下：（1） 三種拖船的日租金和最大運(yùn)量如表1所示。表1船型小中大日租金/（英鎊）4.06.28.0最大運(yùn)量/（2）燃料消耗（英鎊/km），主要依賴(lài)于船速和所運(yùn)冰山的體積，船型的影響可以忽略，如表2所示。表2 冰山體積/船速/km/h1238.410.813.210.513.516.512.616.219.8（3）冰山運(yùn)輸過(guò)程中的融化速率（m/d），指在冰山與海水接觸處每天融化的深度，融化速率除與船速有關(guān)外，還與運(yùn)輸過(guò)程中冰山到達(dá)處與南極的距離有關(guān)，這是由于冰山要從南極運(yùn)往赤道附近的緣故，如表3所示。表3 與南極距離/km船速/km/h0100040001230000.10.150.20.30.450.6根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題：試選擇拖船的船型與船速，使冰山到達(dá)目的地后，可以得到的每立方米水所花的費(fèi)用最低，并與海水淡化的費(fèi)用相比較。2、問(wèn)題分析此題研究的是每立方米水成本的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，題目給出的數(shù)據(jù)有三種船型，三種船速，那么可分9種情況去求解問(wèn)題。求解每立方米水的成本就要求解出運(yùn)輸一次的費(fèi)用和剩余的冰山體積。由于在運(yùn)輸過(guò)程中，單位路程燃料消耗與冰山的體積成正相關(guān)關(guān)系。但是冰山的體積是動(dòng)態(tài)變化的，從而單位路程燃料消耗也隨之改變。為了計(jì)算方便，利用均值求一段路程的燃料的消耗，而冰山的融化速率與冰山到達(dá)處與南極的距離有關(guān)，根據(jù)圖1可以得出當(dāng)船速確定時(shí)，融化速率與距南極距離成線性相關(guān)。同樣地可采用均值求解，可以確定到達(dá)目的地后冰山的剩余體積。將冰轉(zhuǎn)化為水，從而估算出每立方米水的成本。圖1圖23、模型的假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明拖船在托運(yùn)冰山的過(guò)程中，有以下假設(shè)：假設(shè)1、 假設(shè)拖船航行過(guò)程中的船速不變，航行不考慮天氣等任何因素的影響，總航行距離9600km；假設(shè)2、假設(shè)冰山形狀為球形，球面各點(diǎn)的融化速率相同；假設(shè)3、假設(shè)冰山到達(dá)目的地后，1的冰可以融化成0.85的水。假設(shè)4、假設(shè)冰山在運(yùn)輸過(guò)程中融化的速率與距離為線性關(guān)系。假設(shè)5、三種型號(hào)的船是按最大運(yùn)輸量拖運(yùn)冰山。 假設(shè)6、冰山到達(dá)目的地后融化過(guò)程中不考慮損耗。假設(shè)7、假設(shè)拖船所在地就在南極，不用考慮返程費(fèi)用。符號(hào)說(shuō)明：符合符號(hào)說(shuō)明拖船的速度 拖船的日租金 燃料消耗速度 距離南極的距離 融化速度 冰山的半徑運(yùn)動(dòng)過(guò)程中冰山融化的深度， 初始時(shí)刻冰山的半徑最后剩余的冰山體積最后時(shí)刻冰山的半徑拖船的總租金L為總長(zhǎng)度全程燃料費(fèi)用 運(yùn)冰的總費(fèi)用 4、模型建立為了求解每立方米水的成本，就要計(jì)算出拖船運(yùn)輸一次的總費(fèi)用和剩余的冰山體積，首先，根據(jù)題目所給的冰山融化速率與船速、距南極距離的相關(guān)數(shù)據(jù)，我們可以求解出當(dāng)船速確定的時(shí)候，冰山融化速率與距南極距離成線性關(guān)系，利用均值和曲線積分可以求解出船只行駛一段距離與融化冰山的體積的關(guān)系。 （1）其次，由上述計(jì)算可以得出燃料消耗與冰山體積的關(guān)系，因?yàn)楸襟w積是動(dòng)態(tài)變化的，所以燃料消耗也是動(dòng)態(tài)的，為了計(jì)算的簡(jiǎn)單化，我們把計(jì)算一段路程的燃料消耗簡(jiǎn)化為固定兩個(gè)端點(diǎn)的單位路程燃料消耗與行駛路程的乘積和的均值。 （2）最后： 由上述條件利用總費(fèi)用和冰融化成水后的單位成本： (3)5、模型求解首先，計(jì)算出不同船型以不同速度拖運(yùn)冰山所需的總費(fèi)用。其次，計(jì)算出不同船型以不同速度拖運(yùn)冰山到達(dá)目的地，融化成的水。最后，由上述條件求出冰山拖運(yùn)到目的地融化為水后每立方米的成本，與淡化每立方米水的成本相比較得出成本最低的方案。第一步：計(jì)算總費(fèi)用 （4）不同船型以不同船速拖冰山，所需的燃料費(fèi)：表4船型船速小/中/大/1km/h無(wú)意義無(wú)意義118780英鎊3km/h100800英鎊121070英鎊155520英鎊5km/h120960英鎊158202英鎊190080英鎊拖船的總租金： （5）用不同船型拖運(yùn)所用的總租金：表5船型船速小/中/大/1km/h無(wú)意義無(wú)意義3200英鎊3km/h533.3332英鎊826.6665英鎊1066.7英鎊5km/h320英鎊496英鎊640英鎊總費(fèi)用： （6）表6船型船速小/中/大/1km/h無(wú)意義無(wú)意義119100英鎊3km/h101333.33英鎊121896.66英鎊156586.7英鎊5km/h121280英鎊158698英鎊190720英鎊第二步： （7）不同船型以不同船速拖冰山，冰山融化的深度：表7船型船速小/中/大/1km/h84.583384.583384.58333km/h42.291742.291742.29175km/h33.833333.833333.8333 （8） （9）計(jì)算可知用小船拖運(yùn)時(shí)以1km/h到達(dá)目的地時(shí)冰塊已經(jīng)完全融化，中船拖運(yùn)時(shí)以1km/h到達(dá)目的地時(shí)冰塊已經(jīng)完全融化所以不再考慮這兩種情況。不同船型以不同船速拖冰山，到達(dá)目的地剩余體積：表8船型船速小5*105/中106/大107/1km/h無(wú)意義無(wú)意義4948403km/h1403.53223631940005km/h15310939544165900冰山到達(dá)后無(wú)其他損耗全部都融化成水的體積：表9船型船速小5*105/中106/大107/1km/h無(wú)意義無(wú)意義4206143km/h11932740127149005km/h13014798613541015第三步：從南極運(yùn)冰到目的地的每立方米成本為：表10船型船速小5*105/中106/大107/1km/h無(wú)意義無(wú)意義0.283英鎊/3km/h84.940英鎊/4.449英鎊/0.058英鎊/5km/h9.320英鎊/1.987英鎊/0.054英鎊/根據(jù)計(jì)算結(jié)果與已知條件（成本每立方米0.1英鎊）對(duì)比得出0.054英鎊/的成本價(jià)格是最低的，所以我們選擇大型船，船速為5km/h。6、模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1、構(gòu)造的模型比較簡(jiǎn)單2、該模型的建立將實(shí)際問(wèn)題模型化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；3、我們采用了均值與曲線積分的計(jì)算方法，使計(jì)算變得相對(duì)簡(jiǎn)單；4、此模型的全局規(guī)劃比較合理。缺點(diǎn)：1、 利用均值求解融化冰山的體積與燃料消耗不準(zhǔn)確；2、運(yùn)輸過(guò)程融化速率與距南極距離并不成線性關(guān)系。7、模型的改進(jìn)與推廣模型改進(jìn)：雖然得到的最低費(fèi)用0.054英鎊/小于海水淡化需要的成本，但是模型中未考慮天氣等其它因素會(huì)導(dǎo)致拖船過(guò)程中成本變高。我們?cè)谟?jì)算過(guò)程中應(yīng)該以冰山拖運(yùn)過(guò)程中最大損耗、燃料的最大費(fèi)用，來(lái)避免由自然因素帶來(lái)的船只到達(dá)目的地的時(shí)間延期增加的費(fèi)用。方法改進(jìn)冰山融化速率（m/d)與船速u(mài)(km/h）與南極距離d(km)的關(guān)系r是的線性函數(shù)；時(shí)與成正比，時(shí)與無(wú)關(guān)， （10）代入（，）=（1,3）；（，）=（1,5）得出=， =0.225 =0.33 航行天后，融化速率為 (11) (12) 又因?yàn)樘毂降陌霃綖?(13) 故剩余冰山的體積為 （14） 燃料消耗費(fèi)用（英鎊/km）對(duì)線性，對(duì)線性， （15） 代入數(shù)據(jù)得出=0.3 ，=6 =-1 （16） 航行第天的燃料消耗 （17） 而日租金與船的型號(hào)有關(guān)故 （18） 所以船型運(yùn)輸一次的總費(fèi)用為 （19）此模型的建立會(huì)減少誤差，由第一次模型計(jì)算的結(jié)果，將大型船，船速為5km/h。的數(shù)據(jù)代入上述公式，計(jì)算結(jié)果。參考文獻(xiàn)（1）、姜啟源、謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版）北京，高等教育出版社，2003；（2）、韓忠庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京高等教育出版社，2005；（3）、吳建國(guó)，數(shù)學(xué)建模案例精編北京，中國(guó)水利水電出版社2005； 附錄模型求解在Matlab中的實(shí)現(xiàn)：畫(huà)圖1：船速固定時(shí)，冰山體積與燃料的關(guān)系圖clear a=0 1000 4000 9600;b1=0 0.1 0.3 0.3;b3=0 0.15 0.45 0.45;c=0:100:9600;interp1(a,b1,c,cubic);interp1(a,b3,c,cubic);interp1(a,b5,c,cubic);plot(a,b1,o,a,b1,g,a,b3,o,a,b3,r,a,b5,o,a,b5,b)gtext(船速1/km/h)gtext(船速3/km/h)gtext(船速5/km/h)畫(huà)圖2：船速固定時(shí)，燃料消耗與冰山體積的關(guān)系圖 a=105 106 107; b1=8.4 10.5 12.6; b3=10.8 13.5 16.2; b5=13.2 16.5 19.8; c=105:100:107; interp1(a,b1,c,cubic); interp1(a,b3,c,cubic); interp1(a,b5,c,cubic); plot(a,b1,o,a,b1,g,a,b3,o,a,b3,r,a,b5,o,a,b5,b) gtext(船速1/km/h) gtext(船速3/km/h) gtext(船速5/km/h)計(jì)算過(guò)程x=(0.75*105/(pi)(1/3)x1=(0.75*105/(pi)(1/3)x=(0.75*106/(pi)(1/3)x=(0.75*107/(pi)(1/3)1000/(5*24)8.3333*0.13000/(5*24)*0.25600/(5*24)*0.6x=(0.75*105/(pi)(1/3)x=(0.75*5*105/(pi)(1/3) 133.6505-2.0833-12.5ans = 119.0672 119.0672-62.0350 84.5833-2.0833-12.5 60-2.0833-12.5ans = 45.4167 12.9678/0.3*24ans =1.0374e+003 9600-1.0374e+003ans = 8.5626e+0036441.1*13.5+3158.9*10.8ans = 1.2107e+005 9540*16.5+60*13.2ans = 158202 8562.6*12.6+1037.4*10.5ans = 1.1878e+005 9600*16.2ans = 155520 9600*19.8ans = 190080 1000/(5*24)ans = 8.3333 8.3333*0.1ans = 0.8333 3000/(5*24)*0.2ans = 5 5600/(5*24)*0.6ans = 28.0000 5600/24ans = 233.3333 233.3333*0.3ans = 70.0000 x=(0.75*105/(pi)3x = 1.3606e+013 x=(0.75*105/(pi)(1/3)x = 28.7941 x=(0.75*106/(pi)(1/3)x = 62.0350 x=(0.75*107/(pi)(1/3)x = 133.6505 6441.1*13.5+3158.9*10.8ans = 1.2107e+005 (4/3)*pi*(6.9456)3 (4/3)*