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第一章 集 合1.1 集合與元素【知識要點(diǎn)】1集合的概念由某些確定的對象所組成的整體叫做集合。集合通常用大寫的英文字母A，B，C，表示。集合中的每個(gè)確定的對象叫做這個(gè)集合的元素。集合的元素通常用小寫的英文字母a，b，c， 表示。2集合元素的特性集合中的元素具有確定性、互異性和無序性。3元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA；如果a不是是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA。4有限集、無限集和空集含有有限個(gè)元素的集合，叫做有限集；含有無限個(gè)元素的集合，叫做無限集。不含任何元素的集合叫做空集，記作。5常用數(shù)集數(shù)集名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N+ZQR【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1用符號“”或“”填空：（1）-1 N； （2） Q； （3） R；（4） Z； （5）0 ； （6）-5 Z； （7） Q； （8）3.14 Q。2下列關(guān)系式中不正確的是（ ）A0 B01，2，3，4 C3x|x2-9=0 D2x|x0【能力訓(xùn)練】1下列對象不能組成集合的是（ ）A不等式x+20的解的全體 B本班數(shù)學(xué)成績較好的同學(xué) C直線y=2x-1上所有的點(diǎn) D不小于0的所有偶數(shù)1.2 集合的表示法【知識要點(diǎn)】1列舉法把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法2描述法用集合中元素的共同特征來表示集合的方法叫做描述法描述法的一般形式為：x| x具有的共同特征【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為 2方程x+1=0的解集用列舉法表示為 3下列元素中屬于集合x| x=2k，kN的是（ ）。A-2 B3 C10 Dp4下列元素中不屬于集合x| 2x-30的是（ ）。A-1 B0 C1 D2【能力訓(xùn)練】1用列舉法表示下列集合：（1）絕對值小于3的所有實(shí)數(shù)組成的集合；（2）x| x2-2x-3=0 1.3 集合之間的關(guān)系【知識要點(diǎn)】1子集對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素（即若xA，則xB），那么集合A叫做集合B的子集，記作A B或B A根據(jù)子集的定義，我們可以得出，任何一個(gè)集合是它自身的子集，即A A我們規(guī)定：空集是任何集合的子集，即 A2真子集對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作AB或BA顯然，空集是任何非空集合的真子集，即，若A是非空集合，則A3集合相等如果兩個(gè)集合的元素完全相同，那么我們就說這兩個(gè)集合相等，記作A=B顯然，AB且BAA=B【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1用適當(dāng)?shù)姆枺ǎ?）填空：（1）3 3； （2）-2 N； （3）a，b b，a；（4）3,5 5； （5）Z Q； （6） x| x1 x|x2； （2） 0； （3）x|x2-3x+2=0 1，2. 2下列正確的是（ ）A0 B0= C0 D 03.集合A=x|1x3x| x4= 2x| 1x3= 3已知U=R，A=xx1 ，則CU A =（ ）Ax| x1，B= x| x5，那么AB=（ ）A B x| 1x5 C x| 1x5 D x| 11，B= xx5，那么AB=（ ）Ax| x1 B x| x1 Cx| x5 D x| x56已知U=0，1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，6，求AB，AB，CU A ，CU（AB）1.5 充要條件【知識要點(diǎn)】1 充分條件、必要條件若命題“如果p，那么q”是正確的，即pq，那么我們就說p是q的充分條件，或q是p的必要條件。2充要條件若p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么我們就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，也稱p與q是等價(jià)的，或稱p等價(jià)于q，記作pq?！净A(chǔ)訓(xùn)練】1用符號“、”填空：（1）“a=3，b=2” “a+b=5”；（2）“ab=0” “a=0”；（3）“x2=1” “x=1”。2下列各組條件中，p是q的什么條件？（1）p：a是整數(shù)；q：a是自然數(shù)。 （2）p：四邊形是正方形；q：四邊形是平行四邊形。 【能力訓(xùn)練】1若p：x1，q： x2，則p是q的（ ）。A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 2設(shè)p是q的充分不必要條件，q是r的充要條件，則p是r的（ ）。A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件第二章 不 等 式 2.1 不等式的基本性質(zhì)【知識要點(diǎn)】1不等關(guān)系兩個(gè)數(shù)量之間的不等關(guān)系可以用不等式來表示，即ab a-b0；a=b a-b=0；ab a-bb，那么a+cb+c性質(zhì)2 如果a b ，c0, 那么ac bc性質(zhì)3 如果a b ，c0, 那么acb ，bc ，那么a c【基礎(chǔ)訓(xùn)練】一、填空題1用符號“ ”填空：（1） ； （2） ； （3）a+1 a-12已知a b，用用符號“ ”填空：（1）3a 3b； （2）a+4 b+4； （3） 3若a - 4的解集是（ ）Ax| x2 Bx| x-2 Cx| x2 D x| x0 B|x|0 Cx20 Dx20【能力訓(xùn)練】1若xy，則ax ay，那么a一定 是（ ）Aa 0 B a 0，b0，比較a2-ab+b2與ab的大小2.2 區(qū)間【知識要點(diǎn)】1 區(qū)間區(qū)間是指一定范圍內(nèi)的所有實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合，也就是數(shù)軸上某一“段”所有的點(diǎn)所對應(yīng)的所有實(shí)數(shù)2各區(qū)間的定義、名稱、符號及在數(shù)軸上的表示法見下表（a，bR，且ab）定義名稱符號數(shù)軸表示備注x| a xb 開區(qū)間(a，b)x不包含線段的兩個(gè)端點(diǎn)x| a xb閉區(qū)間a，bx包含線段的兩個(gè)端點(diǎn)x| a xb左開右閉區(qū)間(a，bx包含右端點(diǎn)，不包含左端點(diǎn)x| a xa無限區(qū)間(a，+)x不包含左端點(diǎn)的射線x| xa無限區(qū)間a，+)包含左端點(diǎn)的射線x| xa無限區(qū)間(-，a)不包含右端點(diǎn)的射線x| xa無限區(qū)間(-，a包含右端點(diǎn)的射線R無限區(qū)間(-，+)整個(gè)數(shù)軸【基礎(chǔ)訓(xùn)練】一、填空題1用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）x| x-1= ；（2）x| -2 x8= ；（3）x| 1 x5= ；（4）x| x2= 。2用集合的描述法表示下列區(qū)間：（1）(-，-1= ；（2）-5，2) = 。（3）(3，+)= ；（4）(-1，4)= 。3集合x| -1 x3用區(qū)間表示正確的是（ ）。A(-1，3) B-1，3) C(-1，3 D-1，34區(qū)間（-，2用集合描述法可表示為（ ）。Ax| x2 D x | x2【能力訓(xùn)練】1已知集合A=-1，1，B=(-2，0)，則AB=（ ）。A(-1，0) B(-2，1 C(-2，1) D -1，0)2已知集合A=(-，3)，集合B=-4，+)，求AB，AB3解下列不等式組，用區(qū)間表示解集：（1） （2）（3） （4）2.3 一元二次不等式【知識要點(diǎn)】1一元二次不等式 形如ax2+bx+c0（0）或ax2+bx+c 0）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程ax2+bx+c = 0的解函數(shù)y = ax2+ bx + c（a 0）的圖像在x軸上方（下方）的部分所對應(yīng)的自變量x 的取值范圍，即為一元二次不等式ax2+ bx+ c 0（ 0）的解集 具體結(jié)論如下：（0）判別式=b2-4ac 0=00一元二次方程ax2+ bx + c=0的根有兩相異實(shí)數(shù)解x1，x2（x10的解集(-，x1)(x2，+)R一元二次不等式ax2+ bx+ c 0；當(dāng) 時(shí)，y 0的解集為 ；不等式 x2 - x - 2 0的解集 ；不等式 x2 - x - 2 0的解集為 ；不等式 x2 - x - 2 0的解集 3不等式x2-3x 0的解集是（ ）A BR Cx|-1x3 D x| x 35不等式x(x +2)0的解集為（ ）A x | x0 Bx | x -2 Cx| -2 x0 Dx | x0或x -26不等式(x +2)( x -3)0的解集是（ ）Ax| x 3 Bx|x-2 Cx|-2x3 Dx| x 3【能力訓(xùn)練】1解下列不等式：(1) -x2+2x-80 (2) x2+4x+40(3) x2+x+10 (4) x2+2x+302m為什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2-mx+1=0： 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 沒有實(shí)數(shù)根？3某商場一天內(nèi)銷售某種電器的數(shù)量x（臺）與利潤y（元）之間滿足關(guān)系：y=-10x2+500x。如果這家商場計(jì)劃在一天銷售該種電器的利潤在6000元以上，那么一天內(nèi)大約應(yīng)銷售該種電器多少臺？2.4 含絕對值的不等式【知識要點(diǎn)】1絕對值的幾何意義實(shí)數(shù)a的絕對值| a |的幾何意義是| a |為數(shù)軸上與實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離2絕對值不等式的解集不等式| x | 0）的解集是(- a ，a)，數(shù)軸表示為：-aa0x不等式| x | a（a 0）的解集是(-，-a)(a，+)，數(shù)軸表示為：-aa0x【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1不等式| x |3的解集為 ；不等式| x |2的解集為 2不等式2| x |-15的解集為 4不等式|8-x|3的解集為 5不等式|2x-1|1的解集為（ ）。AR Bx| x1 Cx| 0x1 Dx| -2x1的解集為（ ）。AR Bx|x Cx| x Dx| 0x1同解的是（ ）。A2-3x1 B3x-21或3x-21 D-12-3x 1【能力訓(xùn)練】1解下列不等式（1）|2x|-30 （2）|2x-3|1（3）4|1-3x|-1”或“”或“1），則稱x為a的n次方根；正數(shù)a的正的n次方根叫做a的n次算術(shù)根，記作。當(dāng)有意義時(shí)，把叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)。負(fù)數(shù)沒有偶次方根，即當(dāng)根式的根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，根式內(nèi)應(yīng)大于或等于零；零的任何次方根都是零。根式具有以下性質(zhì)：（1）（nN+，且n1）。（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式an（nN+）叫做a的n次冪，a叫做冪的底數(shù)，n叫做冪的指數(shù)。當(dāng)冪的指數(shù)推廣到有理數(shù)時(shí)，規(guī)定：（1） （m，nN+，且n1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aR，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，am0）。（2） （有意義，且a0）。3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則當(dāng)我們將冪的指數(shù)推廣到實(shí)數(shù)以后，其整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則仍然適用于實(shí)指數(shù)冪（見下表）。整數(shù)指數(shù)冪（m，nZ）實(shí)數(shù)指數(shù)冪（a0，b0，a，b R）aman=am+naaab=aa +b （mn，a0）(am) n=amn (aa) b=aab (ab)m=ambm(ab) a =aaba （b0）在實(shí)指數(shù)冪運(yùn)算法則中，對冪的底數(shù)進(jìn)行了限制，即底數(shù)大于零，這是一般性限制。但對一些特殊的底數(shù)小于零的實(shí)指數(shù)冪，只要實(shí)指數(shù)冪有定義，實(shí)指數(shù)冪的運(yùn)算法則仍適用，如。在運(yùn)用上述運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或化簡時(shí)，如遇根式，一般先將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，再進(jìn)行計(jì)算或化簡。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1計(jì)算（1）2-2= ； （2）(a+1)0= (a1)；（3）= ； （4）= ；（5）= 。2將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式（1）= ； （2）= ； （3）= 。3將下列分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式（1）= ； （2）= ； （3）= ?！灸芰τ?xùn)練】1計(jì)算（1） （2）2化簡（1）（a0） （2）（x-2）。4.2 冪函數(shù)【知識要點(diǎn)】1冪函數(shù)的概念形如y=aa（aR，a0）的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x為自變量， a為常數(shù)。2冪函數(shù)的定義域冪函數(shù)沒有統(tǒng)一的定義域，不同冪函數(shù)的定義域根據(jù)其冪指數(shù)的取值確定，即使得xa有意義。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（ ）。A B Cy=(x-5)2 Dy=5x22函數(shù)y=的定義域是（ ）。A0,+) B(0,+) C(-,0)(0,+) DR3下列函數(shù)中定義域?yàn)?,+)的是（ ）。A B Cy=x-2 Dy=x24函數(shù)y=x3的定義域是 ；函數(shù)y=x-3的定義域是 ；函數(shù)的定義域是 ；函數(shù)的定義域是 ?！灸芰τ?xùn)練】1已知冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y =2.（1）求該冪函數(shù)的表達(dá)式；（2）求該冪函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)x =2，3，時(shí)的函數(shù)值。4.3 指數(shù)函數(shù)【知識要點(diǎn)】1指數(shù)函數(shù)的概念形如y=ax（a0，且a1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù)。指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)同樣是冪的形式，但要注意自變量的位置，如果自變量在底數(shù)位置，那么該函數(shù)是冪函數(shù)，如果自變量在指數(shù)位置，那么該函數(shù)是指數(shù)函數(shù)。2指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)y=ax（a1）y=ax（0 a 1)O1y=1yxy=ax(0 a 0，且a1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，3)，則函數(shù)的解析式是 ；當(dāng)x =0時(shí)，y = ；當(dāng)x =3時(shí)，y = ；函數(shù)在R上是單調(diào) 函數(shù)（填“增”或“減”）。【能力訓(xùn)練】1比較大?。ㄓ谩啊被颉?，且a1），那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b。其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN讀作“以a為底N的對數(shù)”。2對數(shù)式與指數(shù)式的互化我們把a(bǔ)b=N叫做指數(shù)式，logaN=b叫做對數(shù)式，兩者之間的關(guān)系如下圖所示。ab = NlogaN=b底數(shù)冪真數(shù)指數(shù)對數(shù)3常用對數(shù)和自然對數(shù)當(dāng)對數(shù)的底數(shù)為10和e時(shí)，分別稱這兩個(gè)對數(shù)為常用對數(shù)和自然對數(shù)。這里的e是一個(gè)無理數(shù)，e =2.718281。名稱底數(shù)一般記法簡記法常用對數(shù)10log10NlgN自然對數(shù)elogeNlnN4幾個(gè)重要結(jié)論（1）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；（2）真數(shù)為1的對數(shù)等于零，即loga1=0（a0，且a1）；（3）真數(shù)與底數(shù)相同的對數(shù)等于1，即logaa=1（a0，且a1）。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1指數(shù)式25=32化為對數(shù)式為 ；指數(shù)式化為對數(shù)式為 。2對數(shù)式log5125=3化為指數(shù)式為 ；對數(shù)式化為指數(shù)式為 。3求值：log33= ，log20131= ，ln1= ，lg10= ?！灸芰τ?xùn)練】1求下列各式中的x。（1）log3x=4 （2）lgx=2（3）lnx=0 （4）=x（5）logx 8=34.5 對數(shù)的運(yùn)算【知識要點(diǎn)】運(yùn)算性質(zhì)（下述性質(zhì)中a0，且a1，M 0，N 0）：積的對數(shù)：兩個(gè)正數(shù)的積的對數(shù)，等于同一底數(shù)的這兩個(gè)數(shù)的對數(shù)的和。 即loga (MN)= loga M+ loga N商的對數(shù)：兩個(gè)正數(shù)的商的對數(shù)，等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)。 即loga= loga M- loga N一個(gè)正數(shù)冪的對數(shù)，等于冪指數(shù)乘以這個(gè)數(shù)的對數(shù)。即loga M b=bloga M【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1下列各式中，正確的是（ ）。Aloga (x+y)= loga x+ loga y Bloga (MN)= loga M loga N C Dlog5 x3=3log5x（x0）2log216= ；lg100-lg0.1= ； ； ；log1122- log112 。3若log32=a，則log323= 。【能力訓(xùn)練】1化簡log38log32可得（ ）。Alog34 B4 C3 D2若lg2=a，lg3=b，則lg6可用a，b表示為（ ）。Aab Ba-b Ca+b D3計(jì)算（1）lg5+lg20 （2）lg0.01+lne -log8.314.6 對數(shù)函數(shù)【知識要點(diǎn)】1對數(shù)函數(shù)的概念形如y=logax（a0，且a1）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù)。2對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)y=loga x (a1)y=loga x (0 a 1)O1yxy=logax (0a”或“0，且a1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，3），則該對數(shù)函數(shù)的解析式為 ，當(dāng)x =32時(shí)，y = ，當(dāng)x =時(shí)，y = 。3求下列函數(shù)的定義域（1）y=log0.3 (2x-3) （2） （3）4.7 利用計(jì)算器求對數(shù)值【知識要點(diǎn)】不同型號的計(jì)算器，按鍵和操作的方法略有不同，如果你對某種型號的計(jì)算器不是很熟悉，使用時(shí)請先閱讀一下該計(jì)算器的使用說明書，說明書中會(huì)介紹計(jì)算器的使用方法和有關(guān)計(jì)算的操作程序。下面以TY90MS349學(xué)生用計(jì)算器為例，介紹一下利用計(jì)算器求對數(shù)值的操作程序：常用對數(shù)：按lg鍵輸入真數(shù)值按 = 鍵顯示結(jié)果；自然對數(shù)：按ln鍵輸入真數(shù)值按 = 鍵顯示結(jié)果；一般底的對數(shù)：按log鍵輸入底數(shù)值按 ，鍵輸入真數(shù)值按 = 鍵顯示結(jié)果?！净A(chǔ)訓(xùn)練】利用計(jì)算器求下列對數(shù)值（精確到0.0001）：1lg8350； 2lg0.345； 3；4lg2.813； 5ln12.8； 6ln0.935；7log22048； 8log0.518； 9；10。4.8 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【知識要點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生活中應(yīng)用較為廣泛，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)解決實(shí)際問題，先將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型。對于較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)化式子在計(jì)算時(shí)可考慮取對數(shù)，如對于等式可兩邊取同底對數(shù)，一般取常用對數(shù)，然后利用計(jì)算器計(jì)算?！灸芰τ?xùn)練】1某畢業(yè)生工作后，第一年存款5000元，計(jì)劃以后每年的存款增長10%。（1）第二年存款和第三年的存款分別為多少元（只列式，不計(jì)算）？（2）寫出第x年存款數(shù)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）多少年后，每年存款超過10000元（精確到1年）？2某企業(yè)50萬元購進(jìn)一套機(jī)械設(shè)備，并計(jì)劃折舊至25萬元時(shí)，更新這套機(jī)械設(shè)備，如果每年的折舊率按5%計(jì)算，問多少年后這套機(jī)械設(shè)備被更新（精確到1年）？3某林區(qū)原有林木30000m3，如果每年植樹以保證每年林木的體積（單位：m3）增長5%，經(jīng)過x年林區(qū)中有林木y m3。（1）寫出y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式。（2）大約經(jīng)過多少年，該林區(qū)的林木體積可增加到50000m3（精確到0.1年）？第五章 三角函數(shù)5.1 角的概念推廣【知識要點(diǎn)】1角的概念的推廣（1）角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊（2）正角、負(fù)角和零角一條射線繞著端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個(gè)角，叫做