湘潭大學 劉任任版 離散數(shù)學課后習題答案 習題1.doc

習 題 一1. 用列舉法表示下列集合：（1）1到100之間的自然數(shù)的集合； （2）小于5的正整數(shù)集合；（3）偶自然數(shù)的集合； （4）奇整數(shù)的集合.分析 本題主要考察集合的定義及怎樣用列舉法表示集合。 解：(1) (2) ，(3) , (4) .2. 用描述法表示下列集合：（1）偶整數(shù)的集合；（2）素數(shù)的集合；（3）自然數(shù)的整數(shù)冪的集合.分析 本題主要考察集合的定義及怎樣用描述法表示集合。解：(1) (2) (3) 3. 設(shè)請判斷下面的寫法正確與否：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）分析 本題主要考察集合的基本運算。 解：(1) 錯; (2) 對; (3) 對; (4) 錯; (5) 錯; (6) 對; (7) 錯; (8) 對; (9) 對; (10) 錯; (11)錯; (12) 對.4. 設(shè)、和為任意三個集合. 以下說法是否正確? 若正確則證明之, 否則舉反例說明.（1）若且，則；（2）若且，則；（3）若且，則；（4）若且，則分析 本題主要考察集合的基本運算。 解：(1) 正確。因，所以，對任何均有，今，故。(2) 錯誤。例如，令。(3) 錯誤。例如，令 。(4) 錯誤。例如，令 。5. 設(shè)是集合且.是集合嗎? 請證明你的結(jié)論. 分析 本題主要考察對集合定義的理解。 解：假設(shè)是集合。于是，(1) 若，則由的定義，有；(2) 若，則由的定義，有。 總之，有 當且僅當 。此為矛盾。故不是集合。6設(shè).試求下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）分析 本題主要考察子集、交集、并集、補集、差集、對稱差運算的基本定義。解： (1) (2) ; (3) ; (4) ; (5) (6) (7) (8) .7. 設(shè)、和為任意三個集合，以下說法是否正確？若正確則證明之，否則舉反例說明.（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則或；（5）若，則或分析 本題主要考察包含、并、交、對稱差運算的定義及其相互關(guān)系。 解：(1) 錯誤。例如，令;(2) 錯誤。例如，令;(3) 對。若，不妨設(shè)。于是，(i) 若，則，但 ；(ii) 若，則，但 。 此與矛盾。故結(jié)論成立。 （4）錯誤。例如，令（5）錯誤。例如，令;8. 設(shè)、和是任意三個集合，試證明：（1）當且僅當；（2）；（3）；（4）；（5） 分析 本題主要考察對稱差、差、運算的相互轉(zhuǎn)換以及集合相等的定義。解：(1) 設(shè)。于是。反之，設(shè)。若，則不妨設(shè)。于是，從而。此為矛盾。故。 (2) 。(3) 左式= = = = = = = =右式= = = = = = = =左式(4) 證明： (5) 證明： 9. 設(shè),試確定以下集合：（1）；（2）；（3）分析：本題主要考察笛卡爾積的定義。 解：（1）（2） （3）10. 證明：若，則.分析 本題主要是根據(jù)集合相等以及笛卡爾積之定義證明。 解：因為 ,所以，。11. 證明：若，且，則.分析 本題主要是根據(jù)集合相等以及笛卡爾積之定義證明。 解：任取，因，所以存在，使，從而。因此，即。同理可證。故。12. 設(shè)為任意元素，令試證明：當且僅當.分析 本題根據(jù)集合相等之定義及集合的互異性證明。 解：設(shè)，即 。（1） 若 ，則有 ；（2） 若 ，則有 。反之，設(shè)，則由定