(GCT)數(shù)學(xué)真題2009年 含答案解析.pdf

2009 年年 GCT 入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測(cè)試試題入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測(cè)試試題 1 如圖 直角坐標(biāo)系 xOy 中的曲線是二次函數(shù) y f x 的圖像 則 f x A x2 6x 5 B x2 6x 5 C x2 4x 5 D x2 4x 5 2 A 41 B 1681 C 49 D 2401 3 如圖 長(zhǎng)方形 ABCD AB a BC b b a 若將長(zhǎng)方形 ABCD 繞 A 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 則線段 CD 掃過(guò)的面積 陰影部分 等于 4 若將正偶數(shù) 2 4 6 8 10 12 14 16 依次排成一行 246810121416 則從左右數(shù)的第 101 個(gè)數(shù)碼是 A 4 B 3 C 2 D 1 5 函數(shù) y f x 是定義在 上的周期為 3 的周期函數(shù) 右圖表示的是該函數(shù)在區(qū) 間 2 1 上的圖像 則的值等于 A 2 B 0 C 2 D 4 6 若兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為 15 等比中項(xiàng)為 12 則這兩數(shù)之差的絕對(duì)值等于 A 18 B 10 C 9 D 7 7 甲 乙兩車分別從 A B 兩地同時(shí)相向開(kāi)出 甲車的速度是 50km h 乙車的速度是 40km h 當(dāng)甲車駛到 A B 兩地路程的 再前行 50km 時(shí)與乙車相遇 A B 兩地的路程 是非曲直 km A 210 B 215 C 220 D 225 8 等腰 AB 中 AB AC 底邊 BC 3 則頂角 A 的取值范圍是 9 下圖是我國(guó)古代的 楊輝三角形 按其數(shù)字構(gòu)成規(guī)律 圖中第八行所有 中誤碼填 數(shù)字和等于 A 96 B 128 C 256 D 312 10 若復(fù)數(shù) z2 2i2 5i3 則 z1 z2 11 在直角坐標(biāo)系中 若直線 y kx 與函數(shù)的圖像恰有 3 個(gè)不同的交點(diǎn) 則眾的取值范圍是 A 0 D 2 12 在邊長(zhǎng)為 10 的正方形 ABCD 中 若按下圖所畫(huà)嵌入 6 個(gè)邊長(zhǎng)一樣的小正方形 使 得 P Q M 四個(gè)頂點(diǎn)落在大正方形的邊上 則這六具小正方形的面積之和是 13 甲盒中有 200 個(gè)螺桿 其中 A 型的有 160 個(gè) 乙盒中有 240 個(gè)螺母 其中 A 型的 有 180 個(gè) 從甲乙兩盒中任取一個(gè)零件 能配成 A 型螺栓的概率為 14 一個(gè)四面體木塊的體積是 64cm3 若過(guò)聚在每個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)棱的中點(diǎn)作截面 沿所 作的四個(gè)截面切下該四面體的 4 個(gè) 角 小四面體 則剩余部分的體積是 A 32cm3 B 36cm3 C 40cm3 D 44cm3 15 設(shè)雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別是 F1 F2 若 P 是該雙曲線右支上異 于頂點(diǎn)的一點(diǎn) 則以線段 PF2 為直徑的圓與以該雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系是 A 外離 B 相交 C 外切 D 內(nèi)切 16 A B 1 C 0 D 1 17 若 則函數(shù) f x 的最小值等于 A 2 B 1 D 0 18 設(shè)函數(shù) g x 在上連續(xù) 若在內(nèi) g x 0 則對(duì)任意的有 19 設(shè)函數(shù) g x 在 x 0 點(diǎn)某領(lǐng)域內(nèi)有定義 若成立 則 A x 0 時(shí) g x 是 x 的高階無(wú)窮小量 B g x 在 x 0 點(diǎn)可導(dǎo) C lim g x 存在 但 g x 在 x 0 點(diǎn)不連續(xù) D g x 在 x 0 點(diǎn)連續(xù) 但不可導(dǎo) 20 若連續(xù)函數(shù) f x 滿足 21 若可導(dǎo)函數(shù) f x 滿足 f x f x f2 x 且 f 0 1 則在點(diǎn) x 0 的三階導(dǎo)數(shù) f 0 A 6 B 4 C 4 D 6 22 乙知 A aij 為 3 階矩陣 ATA E AT的轉(zhuǎn)置矩陣 E 是單位矩陣 若 aij 1 b 1 0 0 r 則方程組 AX b 的解 X A 1 1 0 r B 1 0 1 r C 1 1 0 r D 1 0 0 r 23 不恒為零的函數(shù) A 恰有 3 個(gè)零點(diǎn) B 恰有 2 個(gè)零點(diǎn) C 至多有 1 個(gè)零點(diǎn) D 沒(méi)有零點(diǎn) 24 若矩陣 A 是 B 的相似矩陣 則矩陣 A E E 是單位矩陣 是秩的 A 3 B 1 C 2 D 0 25 設(shè)向量 a1 1 2 0 T a2 2 3 0 T a3 0 1 1 T 3 5 k T 若 可由 a1 a2 a3線 性表示 則 k A 1 B 1 C 2 D 2 2009 年年 GCT 入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測(cè)試試題入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測(cè)試試題 參考答案與解析參考答案與解析 1 答案 D 解析 考查的是二次函數(shù)的圖像和解析式 由二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上 由二次項(xiàng)系 數(shù)大于 0 故選項(xiàng) A B 錯(cuò)誤 由函數(shù)圖像過(guò) 1 0 知選項(xiàng) C 錯(cuò)誤 所以正確答案是 D 選項(xiàng) 2 答案 B 解析 考查的知識(shí)點(diǎn)是平方差公式和等差數(shù)列求和公式 由題可知 分子為 2010 2008 1 2009 1 2009 1 1 20092 1 1 20092 分母等于 故原式等于 所以正確的答案是 B 選項(xiàng) 3 答案 B 解析 面積計(jì)算題目 由題可知 陰影部分面積為所 以正確的答案為 B 選項(xiàng) 4 答案 D 解析 從 2 到 100 的偶數(shù)列共有 6 10 8 11 97 位數(shù)碼 后面緊接著的偶數(shù)是分別是 102 104 所以第 101 位數(shù)碼是 104 的百位數(shù)字 1 所以正確答案是 D 選項(xiàng) 5 答案 C 解析 周期函數(shù)題 由于函數(shù) f x 的周期是 3 所以 f 2009 f 1 f 3 f 0 1 f 4 f 1 2 故原式等于 所以正確答案是 C 選項(xiàng) 6 答案 A 解析 設(shè)這兩個(gè)整數(shù)分別為 a b 由題可知 a b 15 2 30 a b 122 144 所以 所以正確的答案是 A 選 項(xiàng) 7 答案 D 解析 設(shè)A B兩地的距離是xkm 由題可列出方程 易解出x 225 故正確答案是 D 選項(xiàng) 8 答案 D 解析 三角函數(shù)題目 由題知 顯然正確的結(jié)果為 D 選項(xiàng) 9 答案 B 解析 由二項(xiàng)式系數(shù)和公式知 楊輝三角第 8 行的數(shù) 字和等于 n 7 時(shí)的二項(xiàng)式系數(shù)和 故結(jié)果為 27 128 選則 B 選項(xiàng) 10 答案 B 解 析 復(fù) 數(shù) 的 代 數(shù) 運(yùn) 算 由 題 知 z2 2i2 5i3 2 5i 可 得 11 答案 C 解析 由題知 當(dāng)時(shí) 直線 y kx 過(guò)點(diǎn) 3 2 與分段函數(shù)剛好有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng) 時(shí) 直線 y kx 僅與函數(shù)的 y 2x 8 分支有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)時(shí) 直線 y kx 與分段函數(shù) 剛好有三個(gè)交點(diǎn) 符合題意 當(dāng) k 2 時(shí) 直線 y kx 與分段函數(shù)的 y 2x 8 分支和 y 2 個(gè)有 一個(gè)交點(diǎn) 共兩個(gè)交點(diǎn) 綜上可知 正確的結(jié)果是選項(xiàng) C 此時(shí)直線 y kx 與函數(shù)圖像剛好 有三個(gè)交點(diǎn) 12 答案 D 解析 平面幾何計(jì)算題目 過(guò) Q 作線段 QR 垂直 DA 交 DA 于 R 設(shè) DM b DN b 設(shè) MN c 則 由圖易知 DMN RNQ 故 又 MN c NQ 5c 所以 RQ 5b 10 RN 5a 容易解得 b 2 又 5a 2b 10 所以 從而可得六個(gè) 小正方形的面積為 故正確的答案是 D 選項(xiàng) 13 答案 A 解析 概率計(jì)算題目 由題知 能配成 A 型螺栓意味著從甲盒和乙盒中均取出的為 A 型 所以概率為 故正確的答案是 A 選項(xiàng) 14 答案 A 解析 由于每個(gè)小角與原四面體相似 且相似比為 故小角的體積為整個(gè)四面體的 故剩余部分的體積為 正確的答案是 A 選項(xiàng) 15 答案 C 解析 圓錐曲線問(wèn)題 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P x y PF2的中點(diǎn)為 M 根據(jù)雙曲線的焦半徑 公式可得 PF2 ex a 故兩個(gè)圓的半徑和為 又兩個(gè)圓的圓心 距離 利用容易計(jì)算可得 d2 s2 0 由此可以推出 d s 所以兩個(gè)圓外切 故正確的答案是 C 選項(xiàng) 16 答案 B 解析 極限運(yùn)算 利用羅必達(dá)法則 易得 所以正確答案是 B 選項(xiàng) 17 答案 B 解析 函數(shù)極值問(wèn)題 令 易得 x 1 或者 x 4 當(dāng) 0 x 1 時(shí) 當(dāng) 1 x 2 時(shí) 當(dāng) x 2 時(shí) 所以函數(shù) f x 的最小值是在 x 1 處取 得的 且 f 1 1 故正確的答案是 B 選項(xiàng) 18 答案 C 解析 積分題目 易知 當(dāng)時(shí) sinx x 又由題已知在內(nèi) g x 0 故時(shí) g sinx g x 由定積分的比較性質(zhì) 不難得到對(duì)與任意的 有 故正確答案是 C 選項(xiàng) 19 答案 A 解析 極限的性質(zhì) 由題知 故1 1 0 由高階無(wú)窮小的定義 易知 x 0 時(shí) g x 是 x 的高階無(wú)窮小量 故正確答案是 A 選項(xiàng) 20 答案 C 解析 積分題目 令t x u 則 故原方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo) 得 令 x 1 得 故 正確答案是 C 選項(xiàng) 21 答案 A 解析 導(dǎo)數(shù)計(jì)算題目 由題知 f x f x 2 故 f x 2f x f x 2f3 x 進(jìn)而可得 f x 6f2 x f x 6f4 x 所以 f 0 6f4 0 6 正確的答案是 A 選項(xiàng) 22 答案 D 解析 線性方程組問(wèn)題 由題知 ATA E 故矩陣 A 滿秩 方程組 AX b 必然有唯一的 解 方程組兩邊同乘以 AT 得 ATAX EX X ATb AT 1 0 0 T 而 AT 1 0 0 T a11 0 0 T 1 0 0 T 所以正確的答案是 D 選項(xiàng) 23 答案 C 解析 行列式問(wèn)題 由題知 又函數(shù) f x