2013研究生入學考試數(shù)三真題及答案(打印版).doc

2013研究生入學考試數(shù)學三真題及答案解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）當時，用表示比高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：（D）解析：（A）（B）（C）（D）如：（2）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3答案：（B）解析： f(x)= f(x)= 而f(0),f(1)無定義，故x=0,x=1為可去間斷點.（3）設是圓域位于第象限的部分，記，則（ ）（A）（B）（C）（D）答案：（B）解析：故應選B。（4）設為正項數(shù)列，下列選項正確的是（ ）（A）若收斂（B）收斂，則（C）收斂，則存在常數(shù),使存在（D）若存在常數(shù)，使存在，則收斂答案：（D）解析：因為收斂，存在，則收斂。故應選D。（5）設矩陣A,B,C均為n階矩陣，若（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價答案：（B）解析：B可逆.A(b1bn)=C=(c1cn)Abi=Ci.即C的列向量組可由A的列向量組表示.AB=CA=CB-1=CP.同理：A的列向量組可由C的列向量組表示.（6）矩陣與相似的充分必要條件為（A）（B）（C）（D）答案：（B）解析：A和B相似，則A和B的特征值相同.A和B的特征值為1=0. 2=b. 3=2.|A-2E|= a=0且 當a=0時，反之對于.（7）設是隨機變量，且,則（ ）（A）（B）（C）（D）答案：（A）解析：（8）設隨機變量X和Y相互獨立，則X和Y的概率分布分別為， 則 ( )（A）（B）（C）（D）答案：（C）解析：二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設曲線和在點處有公共的切線，則_。答案：-2解析：（10）設函數(shù)由方程確定，則_。答案：2-2ln2解析：（11）求_。答案：ln2解析:0+=0-ln（12）微分方程通解為_。答案：解析：（13） 設是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若。答案：解析：取行列式得：若(矛盾)（14） 設隨機變量X服從標準正態(tài)分布,則= _。答案：2e2解析：三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分） 當時，與為等價無窮小，求與的值。解析：（16）（本題滿分10分） 設是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是繞軸，軸旋轉一周所得旋轉體的體積，若，求的值。解析：由題意可得：因為： 所以（17）（本題滿分10分） 設平面內區(qū)域由直線及圍成.計算。解析：與的交點為，與的交點為。（18）（本題滿分10分） 設生產某產品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價格函數(shù)為，（P是單價，單位：元，Q是銷量，單位：件），已知產銷平衡，求：（1）該商品的邊際利潤。（2）當P=50時的邊際利潤，并解釋其經濟意義。（3）使得利潤最大的定價P。解析：（1）總收入總成本總利潤邊際利潤（2）當P=50時的邊際利潤為，其經濟意義為在P=50時，價格每提高1元，總利潤減少2000元。（3）由于，在遞增，在遞減，當P=40時，總利潤最大。（19）（本題滿分10分） 設函數(shù)在上可導，證明（1）存在，使得（2）對（1）中的，存在使得證明：（1）因為，對于，存在,使得當時，因此，由連續(xù)函數(shù)的介值性，存在，使得。（2）由拉格朗日中值定理，存在使得（20）（本題滿分11分） 設，當為何值時，存在矩陣使得，并求所有矩陣。 解析：令，則 ，則由得，此為4元非齊次線性方程組，欲使存在，此線性方程組必須有解，于是 所以，當時，線性方程組有解，即存在，使。又 ,所以 所以 （其中為任意常數(shù)）。（21）（本題滿分11分） 設二次型，記 。（I）證明二次型對應的矩陣為；（II）若正交且均為單位向量，證明二次型在正交變化下的標準形為二次型。證明：（22）（本題滿分11分） 設是二維隨機變量，的邊緣概率密度為，在給定的條件下，的條件概率密度（1） 求的概率密度；（2） 的邊緣概率密度；（3） 求。解析：(I)。（II） 當時，所以的邊緣概率密度為（III）（23