2006年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案(北京卷).pdf

絕密 啟用前 2006 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 理工農(nóng)醫(yī)類 北京卷 2006 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 理工農(nóng)醫(yī)類 北京卷 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷 1 至 2 頁 第 卷 3 至 9 頁 共 150 分 考試時間 120 分鐘 考試結(jié)束 將本試卷和答題卡一并交回 第 卷 選擇題 共 40 分 卷 選擇題 共 40 分 注意事項 1 答第 卷前 考生務(wù)必將自己的姓名 準(zhǔn)考證號 考試科目涂寫在答題卡 2 每小題選出答案后 用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑 如需改動 用橡 皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號 不能答在試卷上 一 本大題共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 在每小題列出的四個選項中 選出符合題目 要求的一項 1 在復(fù)平面內(nèi) 復(fù)數(shù) 1 i i 對應(yīng)的點(diǎn)位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 若a 與bc 都是非零向量 則 a ba c 是 abc 的 A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 3 在1 2 3 4 5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中 各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有 A 36 個 B 24 個 C 18 個 D 6 個 4 平面 的斜線AB交 于點(diǎn)B 過定點(diǎn)A的動直線l與AB垂直 且交 于點(diǎn)C 則 動點(diǎn)C的軌跡是 A 一條直線 B 一個圓 C 一個橢圓 D 雙曲線的一支 5 已知 31 4 1 log 1 a axa x f x x x 是 上的減函數(shù) 那么a的取值范圍是 A 0 1 B 1 0 3 C 1 1 7 3 D 1 1 7 6 在下列四個函數(shù)中 滿足性質(zhì) 對于區(qū)間 1 2 上的任意 1212 x xxx 1221 f xf xxx 恒成立 的只有 A 1 f x x B f xx C 2xf x D 2 f xx 7 設(shè) 4710310 22222 n f nnN 則 f n等于 A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 81 7 n 8 下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型 在某高峰時段 單位時間進(jìn)出路口 A B C的 機(jī)動車輛數(shù)如圖所示 圖中 123 x x x分別表示該時段單位時間通過路段 AB BC CA 的機(jī)動車輛數(shù) 假設(shè) 單位時間內(nèi) 在上述路段中 同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù) 相等 則 20 30 35 30 55 50 A 123 xxx B 132 xxx C 231 xxx D 321 xxx 絕密 啟用前 2006 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 理工農(nóng)醫(yī)類 北京卷 第 卷 共 110 分 2006 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 理工農(nóng)醫(yī)類 北京卷 第 卷 共 110 分 注意事項 1 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上 2 答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚 二 填空題 本大題共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 把答案填在題中橫線上 9 2 2 1 32 lim 1 x xx x 的值等于 10 在 7 2 x x 的展開式中 2 x的系數(shù)中 用數(shù)字作答 11 若三點(diǎn) 2 2 0 0 0 AB aCb ab 共線 則 11 ab 的值等于 12 在ABC 中 若sin sin sin5 7 8ABC 則B 的大小是 13 已知點(diǎn) P x y的坐標(biāo)滿足條件 4 1 xy yx x 點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn) 那么 PO的最小值 等于 最大值等于 14 已知 A B C三點(diǎn)在球心為O 半徑為R的球面上 ACBC 且ABR 那么 A B 兩點(diǎn)的球面距離為 球心到平面ABC的距離為 三 解答題 本大題共 6 小題 共 80 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 15 本小題共 12 分 已知函數(shù) 12sin 2 4 cos x f x x 求 f x的定義域 設(shè) 是第四象限的角 且 4 tan 3 求 f 的值 16 本小題共 13 分 已知函數(shù) 32 f xaxbxcx 在點(diǎn) 0 x處取得極大值5 其導(dǎo)函 數(shù) yfx 的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1 0 2 0 如圖所示 求 0 x的值 a b c的值 17 本小題共 14 分 如圖 在底面為平行四邊表的四棱錐PABCD 中 ABAC PA 平面 ABCD 且PAAB 點(diǎn)E是PD的中點(diǎn) 求證 ACPB 求證 PB平面AEC 求二面角EACB 的大小 18 本小題共 13 分 某公司招聘員工 指定三門考試課程 有兩種考試方案 方案一 考試三門課程 至少有兩門及格為考試通過 方案二 在三門課程中 隨機(jī)選取兩門 這兩門都及格為考試通過 假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是 a b c 且三門課程考試是否及格 相互之間沒有影響 分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率 試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小 說明理由 19 本小題共 14 分 已知點(diǎn) 2 0 2 0 MN 動點(diǎn)P滿足條件 2 2PMPN 記動點(diǎn)P的軌 跡為W 求W的方程 若 A B是W上的不同兩點(diǎn) O是坐標(biāo)原點(diǎn) 求OA OB 的最小值 20 本小題共 14 分 在數(shù)列 n a中 若 12 a a是正整數(shù) 且 12 3 4 5 nnn aaan 則稱 n a為 絕對差數(shù)列 舉出一個前五項不為零的 絕對差數(shù)列 只要求寫出前十項 若 絕對差數(shù)列 n a中 2021 3 0aa 數(shù)列 n b滿足 12nnnn baaa 1 2 3 n 分別判斷當(dāng)n 時 n a與 n b的極限是否存在 如果存在 求 出其極限值 證明 任何 絕對差數(shù)列 中總含有無窮多個為零的項 2006 年高考理科數(shù)學(xué)參考答案 北京卷 2006 年高考理科數(shù)學(xué)參考答案 北京卷 一 選擇題 本大題共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 一 選擇題 本大題共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 二 填空題 本大題共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 二 填空題 本大題共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 2 1 10 14 1 2 1 12 3 13 2 10 14 R 3 1 R 2 3 三 解答題 本大題共 6 小題 共 80 分 三 解答題 本大題共 6 小題 共 80 分 15 共 12 分 解 由 cosx 0 得 2 Zkkx 故f x 的定義域為 Zkkx 2 因為 3 4 tan a 且 a 是第四象限的角 所以 5 4 sin a 5 3 cos a 故 a a af cos 4 2sin 21 5 14 sin cos2 cos cossin2cos2 cos 2cos2sin1 cos 2cos 2 2 2sin 2 2 21 2 aa a aaa a aa a aa 16 共 13 分 解法一 解法一 由圖象可知 在 1 上0 x f 在 1 2 上0 x f 在 2 上0 x f 故 xf在 1 2 上遞增 在 1 2 上遞減 因此 xf在x 1 處取得極大值 所以1 0 x cbxaxxf 23 2 由 5 1 0 2 0 1 fff 得 5 0412 023 cba cba cba 解得a 2 b 9 c 12 解法二 解法二 同解法一 設(shè)mmxmxxxmxf23 2 1 2 又cbxaxxf 23 2 所以 2 2 3 3 mcmb m a mxmxx m xf2 2 3 3 23 由5 1 f 即52 2 3 3 mm m 得 m 6 所以 a 2 b 9 c 12 17 共 14 分 解法一 解法一 PA 平面 ABCD AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又 AB AC AC 平面 ABCD AC PB 連接 BD 與 AC 相交于 O 連接 EO ABCD 是平等四邊形 O 是 BD 的中點(diǎn) 又 E 是 PD 的中點(diǎn) EO PB 又 PB 平面 AEC EO 平面 AEC PB 平面 AEC 取 BC 中點(diǎn) G 連接 OG 則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 0 2 00 2 2 b OG ba 又 0 0 2 2 0 0aAC bb E 00 00 ACGACE OE AC OG AC EOG 是二面角 E AC B 的平面角 2 2 00 00 0 0coscos GE GE GEEOG 135EOG 二面角BACE 的大小為 135 18 共 13 分 解 記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為 A B C 則 cCPbBPaAP 應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率 abccabcab abcbacabccab CBAPCBAPCBAPCBAPp 2 111 1 應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率 cabcab CAPCBPBAPp 3 1 3 1 3 1 3 1 2 因為 1 0 cba所以 21 21 0111 3 2 2 3 2 pp bcaabccab abccabcabpp 故 即采用第一種方案 該應(yīng)聘者考試通過的概率較大 19 共 14 分 解法一 解法一 由22 PNPM知動點(diǎn) P 的軌跡是以 M N 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支 實 半軸長2 a 又半焦距 c 2 故虛半軸長2 22 acb 所以 W 的方程為2 1 22 22 x yx 設(shè) A B 的坐標(biāo)分別為 11 y x 22 y x 當(dāng)2 2 1 2 121212121 yxyyxxOBOAyyxxxAB從而軸時 當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時 設(shè)直線 AB 的方程為y kx m 與 W 的方程聯(lián)立 消去 y 得 0221 222 mkmxxk 故 1 2 1 2 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 所以 2121 yyxxOBOA 1 4 2 1 22 1 2 1 21 1 22 2 2 2 22 2 22 2 2121 2 2121 kk k m k mk k mk mxxkmxxk mkxmkxxx 又因為200 01 0 2 21 BAkxx從而所以 綜上 當(dāng)OBOAxAB 軸時取得最小值 2 解法二 解法二 同解法一 設(shè) A B 的坐標(biāo)分別為 2211 yxyx 則 2 12 22 iyxyxyx iiiiii 令 iiiiii yxtyxs 則 2 10 0 2 itsts iiii 且 所以 2 2 1 2 1 4 1 4 1 21212121 22112211 2121 ttssttss tstststs yyxxOBOA 當(dāng)且僅當(dāng) 21 21 2121 yy xx ttss即時 成立 所以O(shè)BOA 的最小值是 2 20 共 14 分 解 1 0 1 1 0 1 1 2 1 3 10987654321 aaaaaaaaaa 答案不惟一 解 因為絕對差數(shù)列0 3 2120 aaan中 所以自第 20 項開始 該數(shù)列是 0 3 3 0 3 3 0 3 2726252423222120 aaaaaaaa 即自第 20 項開始 每三個相鄰的項周期地取值 3 0 3 所以當(dāng) n時 an的極 限不存在 當(dāng)6lim 6 20 21 n n nnnn baaabn所以時 證明 根據(jù)定義 數(shù)列 n a必在有限項后出現(xiàn)零項 證明如下 假設(shè) n a中沒有零項 由于 21 nnn aaa 所以對于任意的 n 都有1 n a 從而 當(dāng) 31 12121 naaaaaa nnnnnn 時 當(dāng) 31 12121 naaaaaa nnnnnn 時 即 n a的值要么比 1 n