2006-2007學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)A(下)試卷分析.pdf

2006 2007 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) A 下 試卷分析表 第 1 頁(yè) 共 7 頁(yè) 試 卷 分 析 表 試 卷 分 析 表 課程代碼 課程代碼 MATH120002 10 課程名稱 課程名稱 高等數(shù)學(xué) A 下 教師姓名 教師姓名 謝錫麟 職稱 職稱 副教授 上課地點(diǎn) 上課地點(diǎn) HGX407 周學(xué)時(shí)數(shù) 周學(xué)時(shí)數(shù) 6 學(xué)時(shí) 修讀學(xué)生系 科 專業(yè) 年級(jí) 人數(shù) 修讀學(xué)生系 科 專業(yè) 年級(jí) 人數(shù) 理論及應(yīng)用力學(xué) 1 飛行器設(shè)計(jì)與工程 21 香港大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué) 2 數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué) 1 基本為 06 級(jí) 實(shí)考 人數(shù) 實(shí)考 人數(shù) 21 平時(shí)成績(jī) 期中 期末 其它 平時(shí)成績(jī) 期中 期末 其它 評(píng)定學(xué)生成 績(jī)內(nèi)容所占 評(píng)定學(xué)生成 績(jī)內(nèi)容所占 比比 作業(yè)作為參考 100 A 等 含 A B 等 含 B B C 等 含 C C D F A 等 含 A B 等 含 B B C 等 含 C C D F 人數(shù) 人數(shù) 4 5 5 4 3 成績(jī)分布統(tǒng) 計(jì) 百分 比 成績(jī)分布統(tǒng) 計(jì) 百分 比 19 05 23 81 23 81 19 05 14 29 試卷整體情況所反映出的教與學(xué)的問(wèn)題 含命題難度 命題質(zhì)量 試卷整體情況所反映出的教與學(xué)的問(wèn)題 含命題難度 命題質(zhì)量 本學(xué)期主要內(nèi)容是多元微積分 積分學(xué)以及線性代數(shù)關(guān)于對(duì)稱矩陣特征問(wèn)題等方面 正如卓里奇著 Mathematical Analysis 莫斯科大學(xué)高級(jí)實(shí)驗(yàn)課程 俄羅斯數(shù)學(xué)教材 選譯之一 所言 多元微分學(xué)是非常幾何化的 本課程中我們基于向量值映照的定義及 其可微性定義能非常 幾何化 地獲得曲線 曲面以及體上積分的計(jì)算公式 從某種程度 而言 多元積分學(xué)可認(rèn)為是多元微分學(xué)的應(yīng)用成果 本卷題 6 則反映了由微分學(xué)到積 分學(xué)的基本的思想和方法 此過(guò)程中以向量值映照的觀點(diǎn)理解線 面等幾何體則具有根本 性的意義 此為本卷 亦即相關(guān)教學(xué)中的第一個(gè)特點(diǎn)第一個(gè)特點(diǎn) 第二個(gè)特點(diǎn)第二個(gè)特點(diǎn) 則是竭盡全力反映 多元微積分同線性代數(shù)結(jié)合的重要意義 兩者結(jié)合 決不僅是 1 1 的效果 在教學(xué)中也是非常注重這一點(diǎn) 本卷中的題 4 5 6 7 則從不同方面體現(xiàn)兩者結(jié)合的意義 第三個(gè)特點(diǎn)第三個(gè)特點(diǎn) 則是反映數(shù)學(xué)同自然規(guī)律間的關(guān)系 本卷中的題 8 和 9 則是這方 面的直接體現(xiàn) 上述第二 三個(gè)特點(diǎn) 基本反映了本人目前對(duì)于數(shù)學(xué)和力學(xué)間關(guān)系的認(rèn)識(shí) 一 微 積分和線性代數(shù)是進(jìn)一步數(shù)學(xué)課程 諸如復(fù)變函數(shù) 常微分方程 偏微分方程等的基礎(chǔ) 二 數(shù)學(xué)上的許多性質(zhì)的的確確很反映自然機(jī)理 課上曾對(duì)學(xué)生說(shuō)過(guò) 我們的世界 指 自然 豐富多彩 但上帝可能就以一樣?xùn)|西創(chuàng)造了這些 那就是數(shù)學(xué) 物理上能完全證明浮力定律嗎 自然不可能把所有的物體都浸在水里試一試 但 浮力定律卻是 Gauss Astrogradskii 公式近乎平凡的一個(gè)應(yīng)用結(jié)果 本卷題 8 給了一 個(gè)更為復(fù)雜的浮力定律的證明 以反映現(xiàn)學(xué)數(shù)學(xué)的作為 進(jìn)一步 在本學(xué)期的教學(xué)中對(duì)于 Stokes 公式給予了如下的敘述 此處 基于矩陣基 2006 2007 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) A 下 試卷分析表 第 2 頁(yè) 共 7 頁(yè) 本運(yùn)算 使得推演更為清晰 特別值得指出 最終結(jié)果的獲得 基于反對(duì)稱矩陣所謂對(duì)偶 向量的結(jié)果 這個(gè)結(jié)果在理論力學(xué)中也是獲得速度 加速度合成公式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 本質(zhì)上 反映 剛體旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì) 以下給出基本的推導(dǎo)過(guò)程 注 關(guān)于 Stokes 公式的一個(gè)證明 反映 旋轉(zhuǎn) 的共同性質(zhì) x z u v t uv D y o o o uv C xyz C xyz xyz C uv uv t t dC a x y zdla tt dt dt dC P Q RtDCttdt dt xuxv u P Q Rtyuyvu tv tt dt v zuzv u t t C xuxv u P Q RyuP Q Ryvdt v zuzv xuxv P Q Ryu iP Q Ryv jdl zuzv v uv t D xvxu P Q RyvP Q Ryud uv zvzu 2006 2007 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) A 下 試卷分析表 第 3 頁(yè) 共 7 頁(yè) x vx u P Q RyvP Q Ryu uv zvzu x vx vx ux u P Q RyvP Q RyvP Q RyuP Q Ryu uuvv zvzvzuz u x vx u P Q RyvP Q Ryu uv zvzu PP x vyvzvQx uyuzuQ uv RR 進(jìn)一步分析 PP xvyvzvQxuyuzuQ uv RR PxPyPzxu xvyvzvQxQyQzyu RxRyRzzu PxPyPz xuyuzuQxQyQz RxRyRz TTTTTTTT xv yv zv b Aaa Abb Aab A abAAaba 此處 T DD 為反對(duì)稱矩陣 考慮到 對(duì)一般三階反對(duì)稱矩陣有以下引理 321 312123 213123 0 0 0 aijk aijkaa aaaa 注 上述關(guān)系式為三階反對(duì)稱矩陣的共有性質(zhì) 則有 32 31 21 0 0 0 TT bababaabab 2006 2007 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) A 下 試卷分析表 第 4 頁(yè) 共 7 頁(yè) 此處 0 0 0 T PyQxPzRx AAQxPyQzRy RxPzRyQz 故有 uv uv D RHSrota u vrru vdrota x y zn d 按現(xiàn)有的觀點(diǎn) 上述關(guān)于反對(duì)稱矩陣的那個(gè)簡(jiǎn)單的引理 至少既是速度 加速度合成原理 的基礎(chǔ) 也是 Stokes 公式的基礎(chǔ) 也許她就是 旋轉(zhuǎn)的共有數(shù)學(xué)機(jī)制 從教學(xué)上而 言 個(gè)人上述的證明反映相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)果的獲得具有力學(xué)背景 應(yīng)該具有一定的啟發(fā)意義 本學(xué)期教學(xué)及考試以上述三個(gè)特點(diǎn)作為基本原則 具體試卷設(shè)計(jì)分析及其考試情況請(qǐng) 見(jiàn)后續(xù)附表 總體而言 學(xué)生的 應(yīng)試 習(xí)氣仍然非常濃厚 對(duì)追求理解數(shù)學(xué)所需的努力 缺乏 課程敘述的深度及廣度上應(yīng)該超出所使用的教材 但本學(xué)期的敘述應(yīng)該是不錯(cuò)的 對(duì)某些重要的問(wèn)題都有新的理解 自然也能表達(dá)得較好 許多考試涉及的思想及方法都在 正常課時(shí)以及復(fù)習(xí)周的額外知識(shí)整理中重復(fù)敘述和強(qiáng)調(diào) 但考試反映的結(jié)果仍然不夠理 想 對(duì)提高該課程教學(xué)的進(jìn)一步設(shè)想 對(duì)提高該課程教學(xué)的進(jìn)一步設(shè)想 按個(gè)人自身的學(xué)習(xí)和研究 微積分和線性代數(shù)可謂理工科學(xué)生最為重要的知識(shí)基礎(chǔ) 對(duì)這些知識(shí)的理解和掌握看作是自身修養(yǎng)的提高而不是局限于應(yīng)試是個(gè)人在今后教學(xué)中 要非常注重的事情 為了能更好的傳遞相關(guān)知識(shí)需要自身有相當(dāng)好的認(rèn)識(shí) 這點(diǎn)始終也是 促進(jìn)自身學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿?我是很青睞俄羅斯學(xué)派風(fēng)格的 我國(guó)高等教育出版社近期陸續(xù) 出版的俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯非常好地展現(xiàn)了 數(shù)學(xué)同自然間的緊密聯(lián)系 籍此個(gè)人對(duì) 通 識(shí) 的認(rèn)識(shí) 是在堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上的融會(huì)貫通和觸類(lèi)旁通 在教學(xué)上亦會(huì)繼續(xù)保持和提高反 映上述認(rèn)識(shí)的原則和教學(xué)實(shí)踐上的方法 雖然學(xué)生可能覺(jué)得 真正的理解而不是依葫蘆畫(huà)瓢 上的學(xué)習(xí)有較大的困難 但對(duì)于 我們這樣的青年教師而言 不斷地提高自身修養(yǎng)而更好地傳遞知識(shí)對(duì)于接近世界一流大學(xué) 的教學(xué)是非常必要的 無(wú)論是俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯叢書(shū)還是 Princeton 大學(xué)新出版的特地 為數(shù)學(xué)系本科生學(xué)習(xí)專業(yè)課程的四卷本叢書(shū)等 都充分反映世界一流大學(xué)本科教學(xué)的廣度 和深度 對(duì)此我們實(shí)際是有差距的 然而這點(diǎn)似乎又未能引起足夠地重視 目前課程所用的教材為童裕孫等編著的 高等數(shù)學(xué) 以下簡(jiǎn)稱童書(shū) 復(fù)旦高等數(shù) 學(xué)課程基本以此為教材 本教材同一般工科院校使用的 高等數(shù)學(xué) 有較大的差別 帶有 分析氣息 一些敘述上具有相對(duì)較高的觀點(diǎn) 這可能同作者從事泛函分析研究有關(guān)系 童 書(shū)除微積分內(nèi)容外還包括常微分方程以及線性代數(shù) 特指教學(xué)大綱規(guī)定的內(nèi)容 需要特 別指出的是 童書(shū)中線性代數(shù)的內(nèi)容實(shí)際基本覆蓋了一般理工科大學(xué)用 線性代數(shù) 的基 2006 2007 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) A 下 試卷分析表 第 5 頁(yè) 共 7 頁(yè) 本內(nèi)容 而且書(shū)后題目往往具有一定的難度 總覺(jué)得書(shū)上的敘述可能不足以處理書(shū)后 的習(xí)題 實(shí)際對(duì)于微積分的習(xí)題也是一樣 許多題目都可以在陳紀(jì)修等編著的 數(shù)學(xué)分析 上找到 總體上而言 雖然童書(shū)較一般教材而言 可謂與眾不同 但在相同學(xué)時(shí)內(nèi) 二學(xué) 期 每周 6 學(xué)時(shí) 要完成微積分 常微分方程初步以及線性代數(shù)這三大部分內(nèi)容的完整敘 述實(shí)際是非常緊張 甚至不可能 對(duì)于復(fù)旦這樣學(xué)校 僅僅是教導(dǎo)學(xué)生 依葫蘆畫(huà)瓢 自 然是不合適的 對(duì)數(shù)學(xué)作為的認(rèn)識(shí)實(shí)際決定于個(gè)人對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)程度 籍此非常努力 地引導(dǎo)我們的學(xué)生從理解 欣賞的角度理解微積分和線性代數(shù)對(duì)于今后的發(fā)展是及其重要 的 清華大學(xué)的工科是非常出名的 詢問(wèn)工程力學(xué)系現(xiàn)任某著名教授亦承認(rèn)他們的教材是 偏理的 扎實(shí)的基礎(chǔ)自然是今后發(fā)展的源動(dòng)力 目前清華有理科提高班性質(zhì)的班級(jí)以卓 里奇的 Mathematical Analysis 作為教材 而工程力學(xué)系的同學(xué)可以選讀該課程 基礎(chǔ)重要性一個(gè)非常重要的證據(jù)可以 專業(yè)程度上的通識(shí) 來(lái)反映 上述有關(guān) 旋轉(zhuǎn) 的共有數(shù)學(xué)機(jī)制 可作為一個(gè)事例 此處再提供一個(gè)事例 一般線性代數(shù)教材上往往有如 下問(wèn)題 對(duì)于A對(duì)稱且正定 B對(duì)稱 則存在G非奇異 使得 T G AG T G BG同為對(duì)角陣 童書(shū)上亦有此問(wèn)題 對(duì)線性代數(shù)而言上述 同時(shí)對(duì)角化 問(wèn)題似乎僅是一道習(xí)題 但僅僅 基于上述問(wèn)題的解答 在曲面論中可以作為 Gauss 曲率和平均曲率的定義并獲得相關(guān)結(jié) 論 在理論力學(xué)中則可以理解保守系統(tǒng)在平衡位置附近作微振動(dòng)所具有的性質(zhì) 事實(shí)上 上述問(wèn)題的解答 過(guò)程及結(jié)論 是理解上述微分幾何以及振動(dòng)方面相關(guān)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)性基礎(chǔ) 由此可見(jiàn) 線性代數(shù)中的一道習(xí)題竟有如此巨大的作為 就微積分課程而言 在多元微分 學(xué)提高教學(xué)部分就能夠直接借鑒這個(gè)線性代數(shù)問(wèn)題介紹曲面兩個(gè)曲率的定義 這對(duì)于工程 而言也是非常有益處的 這種以微積分或線性代數(shù)等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中一個(gè)事實(shí)就可以獲得 對(duì)專業(yè)學(xué)習(xí) 實(shí)際可以不限于力學(xué) 中某重要內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 可以理解為 專業(yè)程度上的通 識(shí) 基于這種程度 數(shù)學(xué)就顯得非常有用并且是高度概括的 這自然有助我們真正 地理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué) 認(rèn)識(shí)自然 上述類(lèi)似事例的獲得需要青年教師自身業(yè)務(wù)水平地不斷提高 以至于至少能夠在本專 業(yè)相關(guān)課程中盡量融會(huì)貫通 觸類(lèi)旁通 在自身清晰理解的基礎(chǔ)上 就可能深入淺出 清 晰明朗地向?qū)W生講述相關(guān)的內(nèi)容 學(xué)生在掌握基礎(chǔ)部分內(nèi)容的基礎(chǔ)上 以上述類(lèi)似的事例 進(jìn)行提高部分的教學(xué) 應(yīng)該是非常有意義和有益處的 在今后的教學(xué)中 對(duì)我們青年教師而言最根本的是自身業(yè)務(wù)的提高 就我本人而言 將盡量追求上述 專業(yè)程度上的通識(shí) 此外 今后仍需要積極探索幫助學(xué)生有效學(xué)習(xí)的 各種途徑 需要有效地鼓勵(lì)和培養(yǎng)學(xué)生努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的熱情和動(dòng)力 勤奮學(xué)習(xí)是必不 可少的 本表在學(xué)期結(jié)束前交院系教務(wù)室 并與考卷一同裝訂 本表在學(xué)期結(jié)束前交院系教務(wù)室 并與考卷一同裝訂 2006 2007 學(xué)年第二學(xué)期 高等數(shù)學(xué) A 下 試卷分析表 第 6 頁(yè) 共 7 頁(yè) 注 試卷各題得分明細(xì) 學(xué)號(hào)學(xué)號(hào) 姓名姓名 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b 5 a 5 b 6 a 6 b 6 c 7 a 7 b 8 9 a 9 b 總分總評(píng)總分總評(píng) 5 4 3 5 4 5 5 8 2 9 7 5 10 5 8 5 2 7 3 102 A 5 5 5 5 5 4 5 10 4 6 10 4 0 2 8 3 10 7 3 101 A 5 4 5 2 5 5 5 10 5 10 4 2 10 1 8 2 8 7 2 100 A 3 3 4 5 5 5 5 10 4 10 3 7 1 2 10 2 4 7 3 93 A 5 5 4 5 4 5 5 8 2 0 10 0 10 5 0 0 0 7 3 78 B 5 5 5 5 4 2 2 9 2 3 2 9 5 1 6 0 3 7 0 75 B 5 4 5 5 5 3 4 8 2 10 5 2 0 0 6 3 0 7 0 74 B 5 5 3 5 5 5 5 6 0 9 0 9 10 0 3 0 0 0 0 70 B 5 4 2 5 5 4 5 10 5 10 0 0 0 0 7 0 0 7 0 69 B 5 5 5 5 5 4 0 10 0 2 0 3 0 0 10 2 2 7 0 65 C 5 4 1 5 5 5 5 6 0 10 0 2 0 0 5 4 0 6 0 63 C 2 4 5 5 5 0 0 8 2 10 5 0 0 0 5 0 0 7 0 58 C 3 5 4 5 4 5 0 7 0 10 0 0 0 0 9 1 0 0 0 53 C 5 4 4 5 5 5 4 1 1 7 2 0 0 0 0 0 0 5 1 49 C 4 3 2 5 4 5 3 8 0 0 0 2 0 2 3 0 0 3 0 44 D 0 3 0 5 4 3 0 5 0 5 0 0 1 0 7 2 2 5 2 44 D 5 4 3 5 2 5 1 5 0 0 0 1 0 0 3 1 0 6 0 41 D 2 5 2 5 5 3 0 0 0 0 0 3 2 2 2 0 3 5 1 40 D 4 5 4 4 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 3 7 2 36 F 3