數(shù)獨(dú)快速入門及數(shù)獨(dú)技巧.doc

數(shù)獨(dú)（SuDoku）介紹數(shù)獨(dú)是一種源自18世紀(jì)末的瑞士，后在美國發(fā)展、并在日本得以發(fā)揚(yáng)光大的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲。拼圖是九宮格（即3格寬3格高）的正方形狀，每一格又細(xì)分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上1至9的數(shù)字，讓整個大九宮格每一列、每一行的數(shù)字都不重復(fù)。 數(shù)獨(dú)的玩法邏輯簡單，數(shù)字排列方式千變?nèi)f化。不少教育者認(rèn)為數(shù)獨(dú)是鍛煉腦筋的好方法。 歷史 如今數(shù)獨(dú)的雛型首先于1970年代由美國的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志發(fā)表，當(dāng)時名為Number Place。現(xiàn)今流行的數(shù)獨(dú)于1984年由日本游戲雜志通信發(fā)表并得了現(xiàn)時的名稱。數(shù)獨(dú)本是“獨(dú)立的數(shù)字”的省略，因?yàn)槊恳粋€方格都填上一個個位數(shù)。 數(shù)獨(dú)沖出日本成為英國當(dāng)下的流行游戲，多得曾任香港高等法院法官的高樂德（Wayne Gould）。2004年，他在日本旅行的時候，發(fā)現(xiàn)雜志的這款游戲，便帶回倫敦向泰晤士報推介并獲得接納。英國每日郵報也于三日后開始連載，使數(shù)獨(dú)在英國正式掀起熱潮。其他國家和地區(qū)受其影響也開始連載數(shù)獨(dú)。數(shù)獨(dú)術(shù)語 要理解如何對一個數(shù)獨(dú)題求解，我們先來介紹一些在本網(wǎng)站中使用的術(shù)語。 單元格和值 一個數(shù)獨(dú)謎題通常包含有9x9=81個單元格，每個單元格僅能填寫一個值。對一個未完成的數(shù)獨(dú)題，有些單元格中已經(jīng)填入了值，另外的單元格則為空，等待解題者來完成。行和列 習(xí)慣上，橫為行，縱為列，在這里也不例外。行由橫向的9個單元格組成，而列由縱向的9個單元格組成。很明顯，整個謎題由9行和9列組成。為了避免混淆，這里用大寫英文字母和數(shù)字分別表示行和列。例如，單元格G6指的是行G和第6列交界處的單元格，它已填入了值7。區(qū)塊 術(shù)語區(qū)塊指的是起始于特定位置的9個相鄰的單元格組。在上圖中，區(qū)塊用交替相間的背景顏色來注明。例如，對于最左上角的區(qū)塊，我們表示為起始于A1的區(qū)塊。單元 任何一行，一列或一個區(qū)塊都是一個單元。每個單元都必須包含全部但不重復(fù)的數(shù)字1到9。數(shù)獨(dú)題目難度 很多人認(rèn)為數(shù)獨(dú)題目的難度取決于已填入謎題中的數(shù)字的數(shù)量，其實(shí)這并不盡然。一般來說，填入的數(shù)字越多，題目就越容易求解。然而實(shí)際上，有很多填入數(shù)字多的題目比填入數(shù)字少的題目要難得多。這就需要有其他的方法來確定的難度。在應(yīng)用中使用得比較多的一種方法是看看要解決一道數(shù)獨(dú)題目需要用到哪些數(shù)獨(dú)技巧。極簡單的題目用到的可能只是最基本的技巧。而相對復(fù)雜的題目可能要用到十分高深的解題方法。通過這樣來設(shè)定游戲的難度相對而言較為客觀。數(shù)獨(dú)的變化 人們總是不滿足于已有的一切。同樣，對于普遍使用的9x9謎題而言，大量涌現(xiàn)的變形數(shù)獨(dú)題也在不斷豐富著數(shù)獨(dú)家族。一種比較常見的數(shù)獨(dú)變形是大小上的改變?，F(xiàn)在已有的大小包括：4x4，6x6，12x12，16x16，25x25，甚至還有100x100。另一種數(shù)獨(dú)變形題是在原數(shù)獨(dú)規(guī)則的基礎(chǔ)上加入其他的規(guī)則。譬如X形數(shù)獨(dú)就要求除原來的數(shù)獨(dú)規(guī)則外，連主對角線上的單元格也要滿足數(shù)字1到9的唯一性和完整性。而殺手?jǐn)?shù)獨(dú)則要求每個“區(qū)”(虛線環(huán)繞的一組單元格）中的值必須唯一且總和等于區(qū)的右上角所指定的數(shù)字。 數(shù)獨(dú)快速入門上篇：范例一： 在左邊第一個九宮格里，哪格可以放數(shù)字， 先看到再第一列和第二列里已經(jīng)有了數(shù)字， 所以很明顯了，除了棕色格子之外，上面兩列格子已經(jīng)不能放了。 范例二： 換個進(jìn)階范例來看看， 已知第一列和第二列不能放，但僅就第三列而言，的旁邊似乎都可以放的樣子， 但再看看被顏色標(biāo)示的第三行， 看到第三行有之后，就知道棕色格子應(yīng)該放。 范例三： 來個更進(jìn)階點(diǎn)的，想想左上角第一個九宮格里，哪一格可以放， 再看 先看看前兩列，應(yīng)該不能放， 看被顏色標(biāo)示的第二行與第三行，又是不能放， 很顯然的，就只有棕色格子能放。 范例四： 再看看這個重要范例，想想左上角第一個九宮格里，哪格可以放， 先看看被顏色標(biāo)示的第二列， 再看看被顏色標(biāo)示的第二行， 經(jīng)過分析后可知要放在這棕色格子。 范例五： 換個輕松點(diǎn)的范例， 看看第一列，數(shù)字有哪些， 顯而易見的就是缺。 中篇范例一： 看看這個比上篇難的，想想能放在哪里呢， 被顏色標(biāo)示起來的第一列和第一行已經(jīng)不能放了， 就左上角的九宮格而言，在紅色標(biāo)示區(qū)域似乎是可以擺的， 但在這里而言，似乎無法決定放在兩格紅色區(qū)域的哪一格， 所以，可以先看看鄰近的九宮格，發(fā)現(xiàn)到棕色格子能放喔，這時候就不用懷疑馬上寫下。 范例二： 看看這個有技術(shù)性的，想想能放在哪里， 看到黃色的第一列已經(jīng)有，所以不能再放了， 就中央的九宮格而言，合理的推論，一定是在第二列中央紅色三格的其中之一了， 既然知道第二列的情況，再考慮黃色區(qū)域后， 那么可以先確定右方九宮格的必然放在這棕色格子。 范例三： 由上篇的概念再進(jìn)階，考慮這上面三個九宮格，看看能否決定的位置， 黃色標(biāo)示的第三行已先被排除， 就第一個九宮格而言，一定在紅色區(qū)域， 就黃色標(biāo)示區(qū)域來看，已不能再放了， 這時可以馬上先決定右上九宮格里的棕色格子是能放的啦。 范例四： 看到這左上方九宮格的第一列，就可以馬上知道缺了哪兩個數(shù)字， 是不是已經(jīng)看出紅色格子不是就是了， 但是又看到第二行有，所以很輕松知道左上棕色格子一定是， 接下來就確定在紅色格子了。 范例五： 先看看這第一列， 左上方的九宮格里，第一列絕對有、， 再考慮到第一行黃色區(qū)域，看到有和， 這下就可確定絕對放在左上角的棕色格子。 下篇范例一： 來看看這個高級進(jìn)階例子，可以先把眼光放在第一列和第一行， 看到在黃色區(qū)域里都有和，所以此黃色區(qū)域已經(jīng)不能再放和了， 這時可以考慮到左上九宮格里的紅色格子能放和， 再看到第一列和第三列的黃色區(qū)域，這黃色區(qū)域里已經(jīng)不能放， 在左上九宮格里，能放的只有紅色與棕色格子，但紅色格子將會被和所占據(jù)，所以能確定棕色格子必然為。 范例二： 看看左上方九宮格里，能否由些微線索決定的位置， 首先，看到第一列后先排除、，又因左上方九宮格里有、，再排除這三個數(shù)字，這下，在左上方九宮格的第一列，只剩下、可以填，然后，又看到第一行有和，所以，棕色格子必然不會是和，那么，就只剩下可以填入啦！ 下面介紹數(shù)獨(dú)的技巧：對于數(shù)獨(dú)游戲的解法，通常采用直觀法(Direct Elimination Techniques) 和 候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques).直觀法(Direct Elimination Techniques),顧名思義，就是通過對謎題中現(xiàn)有的數(shù)字進(jìn)行分析，繼而逐一確定剩余空格中的數(shù)字的方法。它是最常用并且相對簡單的方法，對于比較容易的謎題，可以快速求解并收到良好的效果。但是遇到比較復(fù)雜的題目，直觀法(Direct Elimination Techniques)就稍顯力不從心了。候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques), 是先在所有空白的單元格中寫上所有可能出現(xiàn)的數(shù)字，然后通過一些常用的算法來刪減候選數(shù)，最終獲得唯一確定的候選數(shù)。候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)被廣泛使用在電腦生成謎題及解題的實(shí)踐中，這不僅因?yàn)樗幊滔鄬θ菀?，而且它的算法也在不斷增加，使它的解題效率和能力都得以大力提高。直觀法(Direct Elimination Techniques)經(jīng)常在報章雜志上看到的數(shù)獨(dú)謎題，一般就算再難都可以用直觀法來解決。它不需要象候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)那樣在每個空白的單元格中用鉛筆填上一大堆候選數(shù)。你只要有相對銳利的眼光和一定的邏輯分析能力，就可以準(zhǔn)確地把空余的數(shù)字逐個填出來。實(shí)際上，直觀法就是對數(shù)獨(dú)游戲規(guī)則的充分利用。雖然它并不如候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)那樣強(qiáng)大，但通常要想體會解決數(shù)獨(dú)謎題的樂趣，使用直觀法卻是不二之選。直觀法(Direct Elimination Techniques)具有以下的特點(diǎn)：1. 輕松上手。 即便是數(shù)獨(dú)新手，在拿到謎題的一剎那，就可以用直觀法來解題了。 2. 無需輔助。 在紙上解題時一般只需要一支鋼筆就可以。因?yàn)槭峭ㄟ^推理和邏輯分析來確定哪個格填哪個數(shù)，或是哪個數(shù)填在哪個格里，所以基本不需要猜測。 3. 容易掌握。 對于直觀法(Direct Elimination Techniques)中應(yīng)用的各種算法，可以很快掌握并應(yīng)用于實(shí)際中。 4. 相對簡單。比起候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)，它的算法相對比較簡單，當(dāng)然能解決的謎題的復(fù)雜度也相對要低。 在直觀法(Direct Elimination Techniques)中，常用的算法包括：1. 單元唯一法 ( Sole Position Technique ) 2. 單元排除法 ( Basic Elimination Technique ) 3. 區(qū)塊排除法 ( Block Elimination Technique ) 4. 唯一余數(shù)法 ( Sole Number Technique ) 5. 組合排除法 ( Combination Elimination Technique) 6. 矩形排除法 ( Rectangle Elimination Technique) 下面先介紹直觀法的幾種算法：單元唯一法 ( Sole Position Technique )這應(yīng)該算是直觀法中最簡單的方法了?；旧现恍枰粗i題，推理分析一概都用不上，這是因?yàn)橐褂盟铦M足的條件十分明顯。同樣，也正是因?yàn)樗唵?，所以只能處理很簡單的謎題，或是在處理較復(fù)雜謎題的后期才用得上。 我們先來看一個例子：在上圖中，觀察行B，可以看到除了B3外，其他所有的單元格中都已有了數(shù)字，根據(jù)數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則，即每行，列或區(qū)塊中不能有重復(fù)的數(shù)字，則B3中能填入的數(shù)字只能是行B中所未出現(xiàn)過的，也就是數(shù)字3。所以可以毫不猶豫地在B3中填入3。這就是單元唯一法在行中的應(yīng)用。這里的單元(Unit, or group)，指的是行，列或區(qū)塊。所以有三種情況：1. 當(dāng)某行有8個單元格中已有數(shù)字，或 2. 當(dāng)某列有8個單元格中已有數(shù)字，或 3. 當(dāng)某區(qū)塊有8個單元格中已有數(shù)字。 無論是哪種情況，我們都可以很快地在該行，列或區(qū)塊剩余的空格中填入該單元還未出現(xiàn)過的數(shù)字。下面是單元唯一法在列中的應(yīng)用： 在第7列中，只有F7未填入數(shù)字，且這一列中數(shù)字8還未出現(xiàn)過。所以F7 = 8。在區(qū)塊中也是一樣：在起始于D7的區(qū)塊中，只有E7還未填入數(shù)字，且這個區(qū)塊中數(shù)字5還未出現(xiàn)過，所以可以馬上在E7中填入5。單元唯一法在解題初期應(yīng)用的幾率并不高，而在解題后期，隨著越來越多的單元格填上了數(shù)字，使得應(yīng)用這一方法的條件也逐漸得以滿足。 單元排除法 ( Basic Elimination Technique )單元排除法是直觀法中最常用的方法，也是在平常解決數(shù)獨(dú)謎題時使用最頻繁的方法。使用得當(dāng)?shù)脑?，甚至可以單?dú)處理中等難度的謎題。使用單元排除法的目的就是要在某一單元（即行，列或區(qū)塊）中找到能填入某一數(shù)字的唯一位置，換句話說，就是把單元中其他的空白位置都排除掉。它對應(yīng)于候選數(shù)法中的隱式唯一法。那么要如何排除其余的空格呢？當(dāng)然還是不能忘了游戲規(guī)則，即行，列或區(qū)塊中不能有重復(fù)的數(shù)字。從另一個角度來理解，就是1. 如果某行中已經(jīng)有了某一數(shù)字，則該行中的其他位置不可能再出現(xiàn)這一數(shù)字。 2. 如果某列中已經(jīng)有了某一數(shù)字，則該列中的其他位置不可能再出現(xiàn)這一數(shù)字。 3. 如果某區(qū)塊中已經(jīng)有了某一數(shù)字，則該區(qū)塊中的其他位置不可能再出現(xiàn)這一數(shù)字。 單純理解上面的規(guī)則還是不足以解題，但是在實(shí)踐中這些規(guī)則卻可以交叉使用。在實(shí)際解題過程中，應(yīng)用最多也最方便的是對區(qū)塊的單元排除法，我們可以先看下面這個例子：對于起始于D1的區(qū)塊，其未填數(shù)字的空格有6個之多，如果不使用單元排除法，是很難為這一區(qū)塊填入任何數(shù)字的。這時我們就可以利用行，列及區(qū)塊的相互關(guān)系，即一個單元格既在某一行上，也同時在某一列上以及某一區(qū)塊中的這種關(guān)系來解題。觀察數(shù)字9在謎題中的位置，可以看到它出現(xiàn)在B2，A4，C7，D8，I1和H9。而這些位置中，只有B2，D8和I1與起始于D1的區(qū)塊有關(guān)聯(lián)。因?yàn)镮1=9，它所在的第1列上的其他單元格中不可能再出現(xiàn)9, 而區(qū)塊中的D1和F1正好也在第1列上，所以這兩個單元格填入9的可能性被排除。同理，因?yàn)锽2=9，它所在的第2列中的其他單元格不可能再填入9，而區(qū)塊中的D2和E2也正好在第2列上，因此，這兩個單元格填入9的可能性也被排除掉了。再看行D，因?yàn)镈8=9，所以該行上的D1，D2和D3也不可能再填入9，而這些單元格正好也在起始于D1的區(qū)塊中。所以，這個區(qū)塊中能填入數(shù)字9的位置就只剩下了E3，這樣就通過排除法找到了答案，即E3=9。下面再看一個在行中使用單元排除法的例子：在謎題中觀察數(shù)字4和行H，在行H有5個空單元格無法確定數(shù)字，但是C3位置上的4使得其所在的第3列中的其他單元格上不能再出現(xiàn)4，所以H3不能填入4。I4上的4使得其所在的區(qū)塊中也不能再填入4，它幫助行H排除了兩個單元格H4和H6，而第8列上的E8中的數(shù)字4使得同樣位于這一列上的H8也排除了填入4的可能。這樣，行H中能填入4的位置就只剩下H9了。在列中也可以使用單元排除法：在第7列中，我們試圖確定能填入數(shù)字1的位置。在行B中，數(shù)字1已經(jīng)出現(xiàn)在B2上，所以B7不可能再填入數(shù)字1了。而位于D8的數(shù)字1也使得F7排除了填入數(shù)字1的可能，因?yàn)樗鼈兾挥谕粎^(qū)塊中。這樣，第7列上就只有A7能填入數(shù)字1了。 通過上面的示例，可以看到，要對區(qū)塊使用單元排除法，需要觀察與該區(qū)塊相交的行和列。要對行使用單元排除法，需要觀察與該行相交的區(qū)塊和列。要對列使用單元排除法，需要觀察與該列相交的區(qū)塊和行。 在實(shí)際解題過程中，行，列和區(qū)塊之間的關(guān)系并不象上面這些圖中所示的那么明顯，所以需要一定的眼力和細(xì)心觀察。一般來說，先看哪個數(shù)字在謎題中出現(xiàn)得最多，就從哪個數(shù)字開始下手，找到還未填入這個數(shù)字的單元（行，列或區(qū)塊），利用已填入該數(shù)字的單元格與單元之間的關(guān)系，看能不能排除一些不可能填入該數(shù)字的位置，直到剩下唯一的位置。如果害怕搞不清已經(jīng)處理過哪些數(shù)字的話，可以從數(shù)字1開始，從左上角的區(qū)塊開始一直檢查到右下角的區(qū)塊，看能不能在這些區(qū)塊中應(yīng)用單元排除法。然后測試數(shù)字2，以此類推。 單元排除法是應(yīng)用得最多的直觀法，雖然在實(shí)踐中經(jīng)常會因?yàn)榇中亩┑艉芏嗍褂眠@一方法的機(jī)會，但只要勤加練習(xí)，就可以運(yùn)用自如。 區(qū)塊排除法 ( Block Elimination Technique )區(qū)塊排除法是直觀法中進(jìn)階的技法。雖然它的應(yīng)用范圍不如單元排除法那樣廣泛，但用它可能找到用單元排除法無法找到的解。有時在遇到困難無法繼續(xù)時，只要用一次區(qū)塊排除法，接下去解題就會勢如破竹了。區(qū)塊排除法實(shí)際上是利用區(qū)塊與行或列之間的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的，這一點(diǎn)與單元排除法頗為相似。然而，它實(shí)際上是一種模糊排除法，也就是說，它并不象單元排除法那樣利用謎題中現(xiàn)有的確定數(shù)字對行，列或區(qū)塊進(jìn)行排除，而是在不確定數(shù)字的具體位置的情況下進(jìn)行排除的。這句話聽起來似乎不好理解，讓我們先從一個例子入手，看看區(qū)塊排除法是怎么應(yīng)用的。對于上面這個謎題，用基本的單元排除法或是單元唯一法都無法再找到解。這時可以嘗試使用區(qū)塊排除法。 我們先從填入數(shù)字最多的區(qū)塊著手，也就是起始于G4的區(qū)塊，該區(qū)塊中只有H6和I5為空，且剩余數(shù)字1和2還未填入。這樣，我們可以想辦法確定這兩個數(shù)字的位置。觀察全局，可以看到D2=2，根據(jù)單元排除法，它所在的第2列上不能再出現(xiàn)數(shù)字2，所以H2和I2將不能填入2，這使得起始于G1的區(qū)塊中數(shù)字2可能出現(xiàn)的位置僅剩下I1和I3，見下圖：雖然我們無法確定2在起始于G1的區(qū)塊中的確定位置，但幸運(yùn)的是，能填入2的位置正好都在行I上，也就是說，無論2在I1還是在I3，行I的其他單元格中將不可能再出現(xiàn)數(shù)字2，所以可以毫不猶豫地排除在I5填入2的可能性，這樣，對于起始于G4的區(qū)塊而言，能填入數(shù)字2的位置就只剩下H6了。所以H6=2。接下來，當(dāng)然毫無疑問，利用單元唯一法，在I5填入數(shù)字1。先小結(jié)一下上面的求解方法：解題時，實(shí)際上是在對目標(biāo)區(qū)塊（主區(qū)塊）有影響的區(qū)塊（輔助區(qū)塊）中應(yīng)用單元單元排除法，使輔助區(qū)塊滿足某些條件并能參與對主區(qū)塊的數(shù)字排除。實(shí)際應(yīng)用中，可能出現(xiàn)下面四種情況：1. 當(dāng)某數(shù)字在某個區(qū)塊中可填入的位置正好都在同一行上，因?yàn)樵搮^(qū)塊中必須要有該數(shù)字，所以這一行中不在該區(qū)塊內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。 2. 當(dāng)某數(shù)字在某個區(qū)塊中可填入的位置正好都在同一列上，因?yàn)樵搮^(qū)塊中必須要有該數(shù)字，所以這一列中不在該區(qū)塊內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。 3. 當(dāng)某數(shù)字在某行中可填入的位置正好都在同一區(qū)塊上，因?yàn)樵撔兄斜仨氁性摂?shù)字，所以該區(qū)塊中不在該行內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。 4. 當(dāng)某數(shù)字在某列中可填入的位置正好都在同一區(qū)塊上，因?yàn)樵摿兄斜仨氁性摂?shù)字，所以該區(qū)塊中不在該列內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。 其中1，2兩種情況相對常見，也比較容易判斷。上面的示例就是第1種情況。下面我們會看到第2種情況的例子：雖然在起始于A7的區(qū)塊中，未填入數(shù)字的空單元格多達(dá)4個，但我們還是可以輕松地確定數(shù)字5的位置。這是因?yàn)樵谄鹗加贕7的區(qū)塊中，我們欣喜地發(fā)現(xiàn)數(shù)字5可能出現(xiàn)的位置正好都在第8列上，這時5的確切位置已經(jīng)不重要了，因?yàn)樗呀?jīng)滿足了上面介紹的第2種情況的條件，因此可以參與對起始于A7的區(qū)塊進(jìn)行數(shù)字排除了。在它的影響下，A8和B8中填入數(shù)字5的可能性已經(jīng)不存在，因?yàn)樗鼈兌荚诘?列上。這樣，在起始于A7的區(qū)塊中，數(shù)字5能填入的位置只剩下A9和C9了。這時，我們再利用單元排除法，通過A4位置上的數(shù)字5再消除其所在行A上的A9，最終得到能填入5的唯一位置C9。下面看幾個比較少見的例子在行C上，數(shù)字3的位置可以通過下面的方法來確定：先看行B，利用單元排除法，通過H2和F3位置上的3進(jìn)行列排除，得到行B中能填入3的位置為B4和B5。碰巧的是，這兩個單元格都在起始于A4的區(qū)塊中，這時已經(jīng)滿足了上述情況3的條件。利用單元排除法的區(qū)塊排除，則行C上的C4和C5都不能再填入3；再加上F3的列排除的共同努力，最終確定數(shù)字3在行C上的唯一位置就是C1。第4種情況的例子如下：在這個示例中，只是使用單元排除法和單元唯一法到這一步就繼續(xù)不下去了。要想求得數(shù)字8在第6列的位置，就必須要借助區(qū)塊排除法。先看第4列，通過位于C3和I8的數(shù)字8的行排除，使8在第4列可能填入的位置只剩下D4和F4，而這兩個單元格正好都在起始于D4的區(qū)塊中。因?yàn)榈?列不能沒有數(shù)字8，而數(shù)字8如果填在區(qū)塊中的其他位置（如D6，E6或F6）時將迫使D4和F4上不能再填入8，這樣會導(dǎo)致第4列沒有數(shù)字8。因此，第6列中的D6，E6和F6能填入數(shù)字8的可能性被排除。這樣第6列中就只剩下B6能填入8了。實(shí)際解題過程中，還會碰到比較復(fù)雜的情況，看下面的謎題：你能確定數(shù)字3在起始于A1的區(qū)塊中的位置嗎？先看位于C5的數(shù)字3，它不僅排除了同一行中C1和C3中填入3的可能性，也同時排除了同一行中C8和C9填入3的可能性，這使得在起始于A7的區(qū)塊中，能填入3的位置只剩下B8和B9，見下圖：利用區(qū)塊排除法，在起始于A7的區(qū)塊中，無論3在B8還是B9，行B中的其他位置都不能再填入3，所以B1，B2和B3都被排除。于是，在起始于A1的區(qū)塊中，能填入3的位置僅剩下A1和A2了。但至此我們還無法確定3的準(zhǔn)確位置，這時我們還要借助于其他的輔助區(qū)塊來進(jìn)一步排除。觀察起始于D1的區(qū)塊，利用D7位置上的3排除同一行的D1，以及用G3位置上的3排除同一列的E3和F3，使區(qū)塊中可能填入3的位置只余E2和F2，剛好這兩個位置都在第2列中，符合上面介紹的第2種情況，于是可以把A2也排除掉。最后，我們就可以很肯定地在A1中填入數(shù)字3了。這個例子同時使用了多個輔助區(qū)塊同時參與排除。在實(shí)際使用中雖然這種情況并不常見，但卻也不少見。關(guān)鍵在于如何能正確識別并恰當(dāng)應(yīng)用區(qū)塊排除法。相信通過大量的練習(xí)并勤于分析思考，這種方法就可以運(yùn)用自如，得心應(yīng)手。下面是其他的一些例子，可以幫助更好地理解并掌握這種技法：唯一余數(shù)法 ( Sole Number Technique )唯一余數(shù)法是直觀法中較不常用的方法。雖然它很容易被理解，所以說明這個方法不需要很大篇輻，然而在實(shí)踐中，卻不易看出能夠使用這個方法的條件是否得以滿足，從而使這個方法的應(yīng)用受到限制。與單元唯一法相比，唯一余數(shù)法是確定某個單元格能填什么數(shù)的方法，而單元唯一法是確定某個數(shù)能填在哪個單元格的方法。另外，應(yīng)用單元唯一法的條件十分簡單，幾乎一目了然。與候選數(shù)法相比，唯一余數(shù)法相當(dāng)于顯式唯一法。雖然顯式唯一法是候選數(shù)法中最簡單且應(yīng)用最容易的方法，但在 直觀法中卻正好相反。先看一個例子：對于單元格G9應(yīng)該填入什么數(shù)字，就算你把前面介紹的所有直觀技法都用上，也不得而知。然而，我們通過觀察它所在的行，列和區(qū)塊，可以發(fā)現(xiàn)除了數(shù)字2以外，1到9中其他的數(shù)字都出現(xiàn)了，其中行G中包含了7，6，9，5，3和8，第9列中包含了數(shù)字5，8，7和1，起始于G7的單元格中包含了3，8，4，7，5和1。這樣，如果G9不填入數(shù)字2，就一定會違反游戲“行，列或區(qū)塊不能出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字”的規(guī)則。所以G9中的數(shù)字一定是2總結(jié)一下，就是如果某一單元格所在的行，列及區(qū)塊中共出現(xiàn)了8個不同的數(shù)字，那么該單元格可以確定地填入還未出現(xiàn)過的數(shù)字。怎么樣，很簡單吧，但在實(shí)踐中卻不那么容易識別。看下面的謎題： 你能看出來對哪個單元格應(yīng)用唯一余數(shù)法嗎？ 還有這個謎題：答案分別是E6=9和I7=9。 一般來說，只有在使用基本的排除方法都失效的情況下，才試著使用這個方法來解題。組合排除法 ( Combination Elimination Technique)組合排除法和區(qū)塊排除法一樣，都是直觀法中進(jìn)階的技法，但它的應(yīng)用范圍要更小一點(diǎn)。一般情況下，基本沒有機(jī)會用到這種方法解題，所以要找到相應(yīng)的例子也都很困難。當(dāng)然，如果你希望優(yōu)先以這個技法來解題的話，還是能碰到很多能符合使用組合排除法條件的情況。組合排除法，顧名思義，要考慮到某種組合。這里的組合既包括區(qū)塊與區(qū)塊的組合，也包括單元格與單元格的組合，利用組合的關(guān)聯(lián)與排斥的關(guān)系而進(jìn)行某種排除。它也是一種模糊排除法，同樣是在不確定數(shù)字的具體位置的情況下進(jìn)行排除的。下面先看一個例子：對于上面這個謎題，你能確定數(shù)字6在起始于G4的區(qū)塊中的位置嗎？要想獲得正確的答案初看起來有些困難。因?yàn)殡m然在G9和H3已經(jīng)存在了兩個6，但是利用它們只能行排除區(qū)塊中的G4和H6兩個單元格，還是無法確定6到底是在I4還是在I5中。這時候，組合排除法就派上用場了?，F(xiàn)在撇開起始于G4的區(qū)塊，先看它上面的兩個區(qū)塊，即起始于A4和D4的區(qū)塊。這幾個區(qū)塊的共同特點(diǎn)是占有同樣的幾列，也就是第4列至第6列，因此它們之間的數(shù)字會相互直接影響。對于起始于A4的區(qū)塊，利用A1處已有的數(shù)字6進(jìn)行行排除，可以得到這個區(qū)塊中可能填入6的位置只剩下兩個：B5和C6。 對于起始于D4的區(qū)塊，利用E7處已有的數(shù)字6進(jìn)行行排除，可以得到這個區(qū)塊中可能填入6的位置也剩下兩個：F5和F6。 這時，我們?nèi)詿o法確定6在這兩個區(qū)塊中的確切位置。但不妨對可能出現(xiàn)的情況作一下分析：1. 假設(shè)在起始于A4的區(qū)塊中，B5=6，則同一區(qū)塊中的C6必不為6，而且B5還將列排除F5，這樣在起始于D4的區(qū)塊中，只有F6=6。 2. 假設(shè)在起始于A4的區(qū)塊中，C6=6，則同一區(qū)塊中的B5必不為6，而且C6還將列排除F6，這樣在起始于D4的區(qū)塊中，只有F5=6。 簡單地說，只有兩種可能：B5=6且F6=6，或者C6=6且F5=6。決不會再出現(xiàn)其他的情況。但無論是其中哪一種情況，第5列和第6列都會有確定的6出現(xiàn)在這兩個區(qū)塊中，也就是說，第5列和第6列的其他位置不可能再出現(xiàn)數(shù)字6。這樣，原本無法肯定的6在起始于G4區(qū)塊中的位置，一下子就變得明確了。利用起始于A4和D4的區(qū)塊對起始于G4的區(qū)塊進(jìn)行列排除，可以把I5排除掉，這樣，就只剩下I4可以填入6了。小結(jié)一下，組合排除法的要滿足的條件如下：1. 如果在橫向并行的兩個區(qū)塊中，某個數(shù)字可能填入的位置正好都分別占據(jù)相同的兩行，則這兩行可以被用來對橫向并行的另一區(qū)塊做行排除。 2. 如果在縱向并行的兩個區(qū)塊中，某個數(shù)字可能填入的位置正好都分別占據(jù)相同的兩列，則這兩列可以被用來對縱向并行的另一區(qū)塊做列排除。 讓我們再看一個例子：要想確定數(shù)字1在起始于D4的單元格中的位置，我們將設(shè)法借助于其橫向上相鄰兩個區(qū)塊的幫助。利用I2的列排除，我們可以把起始于D1的區(qū)塊中的E2和F2排除掉，這樣，這個區(qū)塊中能填入1的位置剩下D1，D3和E1。 利用H7的列排除，可以把起始于D7的區(qū)塊中的E7和F7排除掉，再利用A9的列排除，可以把這個區(qū)塊中E9和F9排除掉，這樣，這個區(qū)塊中能填入1的位置只剩下D8和E8。雖然在起始于D1的區(qū)塊中，能填入1的位置多達(dá)3個，但是它們正好只分布在行D和行E上，而且在起始于D7的區(qū)塊中能填入1的位置所占據(jù)的也是這兩行。最終1的位置只可能有三種情況：D1=1且E8=1；或者D3=1且E8=1；或者E1=1且D8=1。無論是哪種情況，行D和行E都會有確定的1出現(xiàn)在這兩個區(qū)塊中，也就是說，這兩行的其他位置不會再出現(xiàn)1。于是，借助于這兩個區(qū)塊的行排除，我們可以把起始于D4的區(qū)塊中的D4和D6排除掉，再利用G4位置的列排除，最終確定1的位置在F6。下面是其他一些使用組合排除法的例子：在實(shí)踐中，組合排除法的實(shí)際應(yīng)用機(jī)會不如區(qū)塊排除法多。但是，掌握這一技法無疑可以大大提高求解謎題的靈活性，從而增加解題的樂趣。矩形排除法 ( Rectangle Elimination Technique)矩形排除法雖然淺顯易懂，但一般在實(shí)際解題的時候應(yīng)用得卻比較少。這是因?yàn)榧词怪i題中存在滿足使用這一方法的情況，也很難直接看出來。然而，相對組合排除法而言，在解題過程中倒是能有更多的機(jī)會用上矩形排除法。下面先看一個例子：對于這個謎題，如果不用矩形排除法是無法繼續(xù)下去的。我們將通過講解這種技法，從而找到數(shù)字8在起始于G1的區(qū)塊中的位置。乍看之下，好象一籌莫展。因?yàn)锽2和E3上的8只能列排除左下角這個區(qū)塊中的G2， H2，G3和I3這4個單元格，這時仍剩下兩個單元格G1和H1無法確定。讓我們先來留意一下第6列，這一列中暫時沒有8，那么8可能會填入哪幾個單元格中呢？首先，B2中的8行排除了B6，而E3和F4中的8又分別行排除了E6和F6。這樣，能填入8的位置就只剩下C6和I6了。見下圖：同樣，對于第9列，由于F4的行排除，F(xiàn)9不可能填8，所以這一列能填入8的位置也就只剩下C9和I9了。湊巧的是，這兩列中能填入8的位置都在同樣的兩行上，即行C和行I。這時就為我們應(yīng)用矩形排除法創(chuàng)造了前提條件。如果第6列中C6=8，那么I6和C9一定不能是8。而第9列這時就只剩下I9能填入8了；又或者如果第6列中I6=8，那么C6和I9一定不能是8，而第9列就只剩下C9能填入8了。不可能再有第3種情況。所以，要么C6=8且I9=8，要么I6=8且C9=8。但無論是哪種情況，不難發(fā)現(xiàn)，行C和行I都已填入了8，所以這兩行的其他位置不可能再填入8。我們正好可以利用這一點(diǎn)來進(jìn)行排除。 觀察起始于G1的區(qū)塊，我們已經(jīng)知道現(xiàn)在只剩下G1和I1兩個單元格無法確定了，通過上面的分析，利用矩形排除法排除位于行I上的I1，就可以確定數(shù)字8一定在G1上。總結(jié)一下，使用矩形排除法的條件如下： 1. 如果一個數(shù)字在某兩行中能填入的位置正好在同樣的兩列中，則這兩列的其他的單元格中將不可能再出現(xiàn)這個數(shù)字； 2. 如果一個數(shù)字在某兩列中能填入的位置正好在同樣的兩行中，則這兩行的其他的單元格中將不可能再出現(xiàn)這個數(shù)字。 讓我們再來看一個例子：做到這一步時，不用矩形排除法的話恐怕是走投無路了。這次還是要在起始于G1的區(qū)塊中找到數(shù)字4的位置。但我們無法確定4究竟在G2還是G3呢？ 先要找找看有沒有滿足矩形排除法條件的情況存在。觀察行B，在這一行中，由于C5的區(qū)塊排除，B4和B5都不能為4，再加上H8列排除了B8，這樣行B中能填入4的位置包括B1和B3。 再看行F，由于D6的列排除，使得F6不能填4，所以行F中能填入4的位置只有F1和F3。 幸運(yùn)的是，行B和行F中能填入4的位置正好都位于同樣的兩列上，即第1列和第3列。根據(jù)上面矩形排除法的規(guī)則，第1列和第3列中不在行B和行F上的單元格中不能填入4，所以G3不能為4。這樣，起始于G1的區(qū)塊中就只有G2能填入4了。 下面是應(yīng)用矩形排除法的其他一些例子，希望可以幫助大家快速掌握這種方法： 矩形排除法可以說是直觀法中最困難的技法，因?yàn)楫?dāng)前的謎題即使?jié)M足應(yīng)用這一方法的條件，也實(shí)在太難發(fā)現(xiàn)了。一般情況下，盡量先使用其他相對簡單的直觀法。如果最后連矩形排除法都用上還是無法解題，你可能就需要嘗試候選數(shù)刪減法了。候選數(shù)法(Candidates Elimination Techniques)對于解決數(shù)獨(dú)謎題，最常使用的方法就是直觀法和候選數(shù)法。在謎題相對簡單時，直觀法可以取得相當(dāng)好的效果。但是如果謎題比較復(fù)雜，直觀法的效果就十分有限，即使通過試探性填數(shù)也不一定能夠解題，而這時候選數(shù)法卻可以很好地發(fā)揮作用。在對數(shù)獨(dú)謎題求解的電腦程序的設(shè)計(jì)上，候選數(shù)法也因?yàn)楦咝б讓?shí)現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用。如果用候選數(shù)法來解題，必須首先準(zhǔn)備一張如下圖所示的候選數(shù)柵格表： 初始化時，每個單元格中都包含了1至9所有的數(shù)字，它表示該單元格中在解題時還可以選擇填入的數(shù)字。很明顯，不在候選數(shù)中的數(shù)字是不能夠填入該單元格中的。如果某一單元格中已填入一個確定的數(shù)字，則根據(jù)數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則，即該單元格所在行，列及區(qū)塊中都不能再出現(xiàn)這個數(shù)字，則該數(shù)字應(yīng)從這些單元格中的候選數(shù)字中去除。對于下面的這個謎題： 每填入一個數(shù)字時，都要將該單元格中的候選數(shù)全部刪除，同時掃描其所在行，列和區(qū)塊，看它們所覆蓋的單元格上的候選數(shù)中有無該數(shù)字： 如果有，就把該數(shù)字從候選數(shù)中刪除：同理，填入謎題中其他的初始數(shù)字，并刪除這些數(shù)字各自所在行，列和區(qū)塊候選數(shù)中的該數(shù)字，可以得到下面的候選數(shù)柵格表： 注意，填入數(shù)字的順序與最終的候選數(shù)柵格表無關(guān)。這時，我們發(fā)現(xiàn)每個單元格中的候選數(shù)已經(jīng)比最初少了許多，真是一個令人興奮的開始。隨后，我們將輔以各種候選數(shù)刪減技巧，進(jìn)一步減少候選數(shù)的個數(shù)，當(dāng)某單元格中只剩下唯一的候選數(shù)時，該單元格就得到了它的唯一解。細(xì)心的朋友已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在上面的候選數(shù)柵格表中，單元格I1中已經(jīng)剩下唯一候選數(shù)1，這時我們就可以通過顯式唯一法來解題了。 在候選數(shù)刪減法中，常用的算法包括：1. 顯式唯一法 (Naked Single) 2. 隱式唯一法 (Hidden Single) 3. 區(qū)塊刪減法 (Intersection Removal) 4. 顯式數(shù)對法 (Naked Pair) 5. 顯式三數(shù)集法 (Naked Triplet) 6. 顯式四數(shù)集法 (Naked Quad) 7. 隱式數(shù)對法 (Hidden Pair) 8. 隱式三數(shù)集法 (Hidden Triplet) 9. 隱式四數(shù)集法 (Hidden Quad) 10. 矩形對角線法 (X-wing) 11. XY形態(tài)匹配法（XY-wing） 12. XYZ形態(tài)匹配法（XYZ-wing) 13. 三鏈數(shù)刪減法 (Swordfish) 14. WXYZ形態(tài)匹配法（WXYZ-wing) 顯式唯一法 (Naked Single)這是候選數(shù)刪減法中最簡單的一種方法，就是掃描候選數(shù)柵格表，如果哪個單元格中只剩下一個候選數(shù)，就可應(yīng)用顯式唯一法，在該單元格中填入這個數(shù)字，并在相應(yīng)行，列和區(qū)塊的候選數(shù)中刪除該數(shù)字。 在下面的圖中：單元格I1有唯一的候選數(shù)1，則毫無疑問地把數(shù)字1填入該單元格中，并掃描其所在行，列和區(qū)塊的候選數(shù)中有無數(shù)字1：如果有，則把1從這些單元格的候選數(shù)中刪除：顯式唯一法雖然簡單，但卻是最有效的候選數(shù)刪減法之一；尤其在謎題相對簡單時，有時單單使用顯式唯一法就可以解題。隱式唯一法 (Hidden Single)見文知義，隱式唯一法也是唯一候選數(shù)法的一種，但它肯定不如顯式唯一法那樣顯而易見。我們知道，如果某一個單元格中只有一個候選數(shù)字，這時可以毫不猶豫地填入它；但是有沒有這種情況，即使某個單元格中有不止一個候選數(shù)字，我們也可以輕易地推斷出這個單元格的正確解答呢？ 考慮下面的情況：在第7列中，單元格B7中雖然有多個候選數(shù)，但觀察整列后我們發(fā)現(xiàn)，只有這個單元格中有數(shù)字6。根據(jù)數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則，每一列中都必須要有從1到9的所有數(shù)字，而同時6卻只能出現(xiàn)在這個單元格中，所以很顯然B7=6。當(dāng)然，別忘了把6從B7所在的行，列和區(qū)塊中刪除。同樣，在下圖中：觀察行B后我們發(fā)現(xiàn)，只有單元格B8中含有數(shù)字7。同理，B8是該行中唯一可以填入數(shù)字7的單元格，所以B8=7。另外，我們還要掃描相應(yīng)行，列和區(qū)塊，刪除其中的候選數(shù)7。當(dāng)然，這種隱藏的唯一候選數(shù)也可能躲在區(qū)塊中，看下圖：對于起始于A1的區(qū)塊而言，數(shù)字8只出現(xiàn)在單元格A2的候選數(shù)中，所以A2=8。從相應(yīng)行，列和區(qū)塊，刪除其中的候選數(shù)8。 隱式唯一法是顯式唯一法的有力補(bǔ)充，很多稍復(fù)雜的題都可以在這兩種方法的交替使用下得以解決。 區(qū)塊刪減法 (Intersection Removal)應(yīng)用顯式唯一法和隱式唯一法只能解決簡單的謎題，遇到稍復(fù)雜的謎題，還是要靠其他的方法。區(qū)塊刪減法也是比較常用的方法，它的目的是盡量刪減候選數(shù)，而不一定要生成某一單元格的唯一解（當(dāng)然，產(chǎn)生唯一解更好）。區(qū)塊刪減法是利用區(qū)塊中的候選數(shù)和行或列上的候選數(shù)之間的交互影響而實(shí)現(xiàn)的一種刪減方法，它分為兩種情況： 區(qū)塊對行或列的影響 觀察下圖：可以看到在起始于A7的區(qū)塊中，數(shù)字9只出現(xiàn)在A9和C9的候選數(shù)中，更巧的是，A9和C9正好都在同一列上，即第9列。這時就可以應(yīng)用區(qū)塊刪減法了。具體地說，在起始于A7的區(qū)塊中，數(shù)字9只能填在A9或是C9中，又因?yàn)檫@兩個單元格都在第9列上，所以無論數(shù)字9填在哪個單元格中，第9列的其他單元格中都不能再填數(shù)字9，所以要把9從它們的候選數(shù)中刪除。在上圖中，位于第9列的單元格E9中的候選數(shù)9將被刪除。下圖說明的是區(qū)塊對行的影響：在起始于G1的區(qū)塊中，只有H2和H3可以填入數(shù)字3，而這兩個單元格正好都在行H中。同樣的道理，在這個區(qū)塊中無論數(shù)字3填入H2還是H3，行H中的其他單元格中都不可能再填入3，所以在單元格H4，H6和H7的候選數(shù)中的3將被刪除。 行或列對區(qū)塊的影響 與“區(qū)塊對行或列的影響”相近但卻不同，“行或列對區(qū)塊的影響”著重于先對行或列進(jìn)行分析。觀察下圖：在第5列中，8只出現(xiàn)在D5和F5的候選數(shù)中；也就是說，第5列中的數(shù)字8只能填入這兩個單元格其中的一個。碰巧的是，這兩個單元格正好都位于起始于D4的區(qū)塊中，結(jié)果使得這一區(qū)塊中的數(shù)字8也不能填入?yún)^(qū)塊的其他單元格中，所以D4，E4，E6和F6的候選數(shù)中的8將被刪除。 同樣，下圖說明了行對區(qū)塊的影響： 在行E中，只有E5和E6能填入數(shù)字6，而這兩個單元格又剛好都在起始于D4的區(qū)塊中，所以該區(qū)塊中的其他單元格內(nèi)不能再填入數(shù)字6，即6將從單元格D5和F5的候選數(shù)中刪除?？偨Y(jié)一下區(qū)塊刪減法的條件，就是1. 在某一區(qū)塊中，當(dāng)所有可能出現(xiàn)某個數(shù)字的單元格都位于同一行時，就可以把這個數(shù)字從該行的其他單元格的候選數(shù)中刪除。 2. 在某一區(qū)塊中，當(dāng)所有可能出現(xiàn)某個數(shù)字的單元格都位于同一列時，就可以把這個數(shù)字從該列的其他單元格的候選數(shù)中刪除。 3. 在某一行（列）中，當(dāng)所有可能出現(xiàn)某個數(shù)字的單元格都位于同一區(qū)塊中時，就可以把這個數(shù)字從該區(qū)塊的其他單元格的候選數(shù)中刪除。 雖然區(qū)塊刪減法應(yīng)用比較廣泛，但是還是要先給大家潑盆冷水。因?yàn)樵诤芏鄷r候，即使?jié)M足了區(qū)塊刪減的條件，也可能會發(fā)生沒有候選數(shù)可以刪減的情況，讓人空歡喜一場。其實(shí)，這個問題對其他稍復(fù)雜的方法都是普遍存在的。顯式數(shù)對法 (Naked Pair)顯式數(shù)對法在很多謎題中都可以得到應(yīng)用，它的條件比較容易滿足，而且顯而易見。先看下圖：在行E中，E2和E8中候選數(shù)只有兩個，且都是2和3，即構(gòu)成一個2, 3的數(shù)對。這使得該行中其他單元格中不能再出現(xiàn)2或3。為什么呢，因?yàn)榧僭O(shè)E2=2，則E8一定要填3；反之，假設(shè)E2=3，則E8則一定填2，不會再出現(xiàn)其他的情況。所以2和3必然不能成為該行中其他單元格的候選數(shù)。這樣，E3，E4和E5的候選數(shù)中都不能再有2和3。對于列也是這樣：在第3列中，數(shù)對6, 8只出現(xiàn)且都出現(xiàn)在A3和H3中，所以其他單元格里都不能再有這兩個數(shù)字。這樣，C3的候選數(shù)中將刪除6和8，而F3的候選數(shù)中將刪除8。同樣，別忘了還有區(qū)塊： 觀察起始于G4的區(qū)塊，可以發(fā)現(xiàn)G5和I4中含有數(shù)對2, 4，這樣，該區(qū)塊中其他的單元格里都不能再有數(shù)字2和4，這次受影響的有4個單元格，分別是G4，H4，I5和I6。總結(jié)一下顯式數(shù)對的條件，也就是，在一個行，列或區(qū)塊中，如果有兩個單元格都包含且只包含相同的兩個候選數(shù)，則這兩個候選數(shù)字不能再出現(xiàn)在該行，列或區(qū)塊的其他單元格的候選數(shù)中。顯式三數(shù)集法 (Naked Triplet)顯式三數(shù)集法并不如顯式數(shù)對法那樣常見，但它們的原理卻很相似。顯式數(shù)對法要求同樣的2個數(shù)字都出現(xiàn)在某行，列或區(qū)塊的2個單元格中，且這2個單元格的候選數(shù)不能包含其他的數(shù)字。同樣，顯式三數(shù)集法要求的是3個數(shù)字要出現(xiàn)在3個位于同一行，列或區(qū)塊的單元格中，且這3個單元格的候選數(shù)中不能包含其他數(shù)字。但不同的是，顯式三數(shù)集法不要求每個單元格中都要包含這3個數(shù)字。例如，對于數(shù)字集2,4,5，如果在某行，列或區(qū)塊中有3個單元格的候選數(shù)分別為下面幾種情況時，都可應(yīng)用顯式三數(shù)集法，即3個單元格的候選數(shù)集可以分別為：2, 4, 5 2, 4, 5 2, 4, 5，或 2, 4 4, 5 2, 5，或 2, 4, 5 2, 5 4, 5，或 2, 4, 5 4, 5 2, 4, 5，或 . 也就是說，要形成顯式三數(shù)集，則必須要有3個在同一行，列或區(qū)塊中的單元格，每個單元格中至少要有2個候選數(shù)，且它們的所有候選數(shù)字也正好都是一個三數(shù)集的子集。由于這個三數(shù)集中的3個數(shù)字正好可以分別填入這3個單元格中，所以該行，列或區(qū)塊中其他的單元格中不可能再填入這3個數(shù)字。但要注意的是，下面的這種情況不是顯式三數(shù)集：2, 4, 5 2, 4 2, 4其中2, 4和2, 4可應(yīng)用顯式數(shù)對法，所以第一個候選數(shù)集2, 4, 5將只能剩下候選數(shù)，這時就可應(yīng)用顯式唯一法了?？聪聢D：在行D中，D1，D7和D8中分別包含候選數(shù)集3, 5, 9，3, 5, 9和5, 9，根據(jù)上面的知識，可以判斷出這是一個顯式三數(shù)集，因此數(shù)字3，5和9不可能再出現(xiàn)在行內(nèi)其他的單元格中，所以D4和D6的候選數(shù)中的3，5和9將被刪除。下面是列中的顯式三數(shù)集的例子： 在第2列中，G2，H2和I2中分別包含候選數(shù)集2, 6，2, 5和