小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)教程——第十二講.ppt

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)教程 第十二講相遇問題 在小學(xué)數(shù)學(xué)的解決問題部分 行程問題是其中的一大主要學(xué)習(xí)內(nèi)容 而且在各種數(shù)學(xué)競賽中都離不開這類問題 它內(nèi)容豐富 形式多樣 變化多端 貼近生活 同學(xué)們學(xué)起來饒有興趣 是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大快餐 行程問題所涉及的基本數(shù)量關(guān)系式是 速度 時(shí)間 路程 路程 時(shí)間 速度 路程 速度 時(shí)間相遇問題和追及問題是行程問題中的兩種主要類型 這一講我們先來學(xué)習(xí)相遇問題 相遇問題有兩種情況 相向相遇和反向相離 一般情況 相向相遇的形式多一些 作為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容 它的特點(diǎn)是 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體從兩地出發(fā) 相向運(yùn)動(dòng) 越行越接近 到一定時(shí)候二者可以相遇 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同時(shí)起行 相遇時(shí)所用時(shí)間相同 例1 小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭 兩家相距810米 兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行 小秋每分鐘走40米 小冬每分鐘走50米 問 他們經(jīng)過多長時(shí)是相遇 5分鐘時(shí) 他們還相距多少米 15分鐘時(shí)他們相距多少米 分析 如圖 小秋和小冬家相距810米 稱為總路程 小秋每分走40米 小冬每分走50米 可知小秋和小冬同時(shí)走1分鐘共行路程是40 50 90 米 我們把它稱為速度和 810米里有幾個(gè)90米就是走了幾分鐘 解 810 40 50 810 90 9 分 這個(gè)時(shí)間既是小秋到相遇處時(shí)用的時(shí)間 也是小冬到相遇處時(shí)用的時(shí)間 我們稱它為相遇時(shí)間 例1 小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭 兩家相距810米 兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行 小秋每分鐘走40米 小冬每分鐘走50米 問 他們經(jīng)過多長時(shí)是相遇 5分鐘時(shí) 他們還相距多少米 15分鐘時(shí)他們相距多少米 分析 根據(jù)題意 小秋和小冬每分鐘共行40 50 90 米 5分鐘可以行90 5 450 米 用總路程減去兩人行了的路程就是還沒有行的路程 也就是他們還相距多少米 解 810 40 50 5 810 90 5 810 450 360 米 例1 小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭 兩家相距810米 兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行 小秋每分鐘走40米 小冬每分鐘走50米 問 他們經(jīng)過多長時(shí)是相遇 5分鐘時(shí) 他們還相距多少米 15分鐘時(shí)他們相距多少米 分析 根據(jù)題意 15分鐘時(shí)他們相距多少米 就是他們相向走了9分鐘相遇 這時(shí)他們相距為0 然后相背 反向 而行 又走了15 9 6 分 這時(shí)兩人反向相離的路程 解 40 50 15 9 90 6 540 米 根據(jù)以上例子 我們可以總結(jié)出相遇問題中數(shù)量之間的基本關(guān)系式是 速度和 相遇時(shí)間 總路程總路程 速度和 相遇時(shí)間總路程 相遇時(shí)間 速度和總路程 相遇時(shí)間 一個(gè)速度 另一個(gè)速度解相遇問題時(shí) 我們必須熟練掌握有關(guān)的數(shù)量關(guān)系式 此外 應(yīng)借助于線段圖來直觀地分析和理解題意 以突破題意的難點(diǎn) 例2 甲 乙兩人騎自行車同時(shí)從A B兩地出發(fā) 相向而行 甲每分鐘行200米 乙每分鐘行220米 15分鐘后兩人相遇 求A B兩地的距離 分析 此題根據(jù)數(shù)量關(guān)系就能直接求出 求A B兩地的距離就用速度和 相遇時(shí)間 總路程 解 200 220 15 420 15 6300 米 例3 一輛客車和一輛貨車同時(shí)從630千米的兩地相向而行 客車的速度是每小時(shí)50千米 貨車的速度是每小時(shí)55千米 問幾小時(shí)后兩車相距105千米 分析 兩車在相距630千米的兩地相向而行 距離逐漸縮短 在相遇前某一時(shí)刻兩車相距105千米 這時(shí)兩車共行的路程是630 105 525 千米 然后根據(jù)總路程 速度和 相遇時(shí)間 便可求出所用的時(shí)間 另外 還有一種情況 當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時(shí) 兩車之間的距離會(huì)從零逐漸增大 到某一時(shí)刻 兩車再一次相距105千米 這時(shí)兩車共行的路程為630 105 735 千米 同樣 利用總路程 速度和 相遇時(shí)間 便可求出所用的時(shí)間 解 第一種 兩車相遇前的情況 630 105 50 55 525 105 5 小時(shí) 第二種 兩車相遇后的情況 630 105 50 55 735 105 7 小時(shí) 例4 慢車從甲地開往乙地 開出1小時(shí)后 離甲地40千米 這時(shí) 快車從乙地開往甲地 快車開出3小時(shí)后兩車相遇 已知甲 乙兩地相距340千米 求快車的速度 分析 如圖 慢車開出1小時(shí)后 離甲地40千米 說明慢車的速度為每小時(shí)40千米 也說明慢車比快車先出發(fā)1小時(shí) 行了40千米后 快車才出發(fā) 那么快車用了3小時(shí)與慢車相遇 這個(gè)3小時(shí)是兩車共同用的時(shí)間 共同行的路程為340 40 300 千米 然后用共同路程 相遇時(shí)間 一個(gè)速度 另一個(gè)速度 從而求出快車的速度 解法一 340 40 3 40 300 3 40 100 40 60 千米 解法二 340 40 3 1 3 340 40 4 3 340 160 3 180 3 60 千米 例5 甲 乙兩列火車從相距770千米的兩地相向而行 甲車每小時(shí)行41千米 乙車每小時(shí)行45千米 甲車先出發(fā)2小時(shí)后 乙車才出發(fā) 乙車行幾小時(shí)后與甲車相遇 分析 如圖 甲車先出發(fā)2小時(shí) 所行的路程是41 2 82 千米 這時(shí)乙車才出發(fā) 那么甲 乙同時(shí)相向而行的路程是770 82 688 千米 然后用共同路程 速度和 相遇時(shí)間 便可求出快車的時(shí)間 解 770 41 2 41 45 770 82 86 688 86 8 小時(shí) 例6 甲 乙兩城之間的公路長840千米 兩輛汽車同時(shí)從甲城開往乙城 每一輛汽車每小時(shí)行28千米 第二輛汽車每小時(shí)行42千米 第二輛汽車到達(dá)乙城后立即返回 兩輛汽車從開出到相遇共用了幾小時(shí) 分析一 從圖可知 兩輛車開始時(shí)是同向行走 第二輛車開得快 當(dāng)?shù)诙v車從甲到乙后 所用的時(shí)間是840 42 20 小時(shí) 當(dāng)?shù)诙v車從乙城返回時(shí) 與第一輛車的運(yùn)動(dòng)方向變成了同時(shí)相對(duì)而行 只要求出第二輛車返回時(shí)與第一輛車相遇用的時(shí)間 然后與20相加 便可得出所求問題 解 第二輛車到達(dá)乙城所用的時(shí)間 840 42 20 小時(shí) 第一輛車用20小時(shí)所行的路程是 28 20 560 千米 第一輛車和第二輛車相對(duì)而行的路程是 840 560 280 千米 第一輛車和第二輛車相對(duì)而行的時(shí)間是280 42 28 4 小時(shí) 從出發(fā)點(diǎn)到相遇時(shí)用的時(shí)間是 20 4 24 小時(shí) 例6 甲 乙兩城之間的公路長840千米 兩輛汽車同時(shí)從甲城開往乙城 每一輛汽車每小時(shí)行28千米 第二輛汽車每小時(shí)行42千米 第二輛汽車到達(dá)乙城后立即返回 兩輛汽車從開出到相遇共用了幾小時(shí) 分析二 我們用轉(zhuǎn)化的思想 讓第二輛車由與第一輛車同向而行變成從另一城丙出發(fā) 與第一輛車相向而行 那么兩車從開出到相遇所行的路程 正好是兩城間公路長的2倍 因此 兩車從開出到相遇所用的時(shí)間相當(dāng)于兩車從相距840 2 1680 千米 的兩地同時(shí)出發(fā) 相向而行 直到相遇所用的時(shí)間 如圖 解 第一輛車和第二輛車共行的路程是 840 2 1680 千米 兩輛車從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間 1680 42 28 1680 70 24 小時(shí) 例7 小陳和小王兩人同時(shí)分別從兩地騎車相向而行 小陳每分鐘行320米 小王每分鐘行310米 兩人相遇距全程中點(diǎn)50米 求全程長多少米 分析 從圖上可以看出 兩人相遇的地點(diǎn)距離中點(diǎn)50米 也就是小陳走了全程的一半后又走了50米 小王走了全程的一半減50米的地方 小陳比小王多走了50 50 100 米 已知小陳每分鐘行320米 小王每分鐘行310米 小陳每分鐘比小王多行320 310 10 米 多少分鐘小陳比小王多行100米 用100 10 10 分 這就是相遇的時(shí)間 再速度和 相遇時(shí)間 總路程 解 相遇時(shí)小陳比小王多行的路程是 50 50 100 米 相遇時(shí)間 100 320 310 10 分鐘 全程 320 310 10 6300 米 例8 甲 乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條長2900米長的水渠 甲隊(duì)每天修80米 乙隊(duì)每天修65米 兩隊(duì)人各從一端同時(shí)相向施工 相遇時(shí) 甲隊(duì)超過中點(diǎn)多少米 分析一 這道題與例7的運(yùn)動(dòng)方向是相同的 只是把條件和問題換了換 可以用以下思路來解決問題 要求甲隊(duì)超過中點(diǎn)多少米 只要求出甲隊(duì)修的米數(shù) 再減去小渠的一半便可得出 要求甲隊(duì)修的米數(shù) 必須知道甲隊(duì)的速度和甲隊(duì)用的時(shí)間 速度已知是每天修80米 時(shí)間就是兩隊(duì)相遇的時(shí)間 用總路程除以速度和便可以求出 解 相遇時(shí)間 2900 80 65 2900 145 20 天 甲隊(duì)修的米數(shù) 80 20 1600 米 甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù) 1600 2900 2 1600 1450 150 米 例8 甲 乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條長2900米長的水渠 甲隊(duì)每天修80米 乙隊(duì)每天修65米 兩隊(duì)人各從一端同時(shí)相向施工 相遇時(shí) 甲隊(duì)超過中點(diǎn)多少米 分析二 甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù) 也是乙隊(duì)距中點(diǎn)的米數(shù) 用甲隊(duì)修的米數(shù)減去乙隊(duì)修的米數(shù)再除以2 就求出甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù) 所以用第一種思路先求出相遇時(shí)間 再分別求出甲隊(duì)和乙隊(duì)修的米數(shù) 解 相遇時(shí)間 2900 80 65 2900 145 20 天 甲隊(duì)修的米數(shù) 80 20 1600 米 乙隊(duì)修的米數(shù) 65 20 1300 米 甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù) 1600 1300 2 300 2 150 米 例9 甲 乙兩車站相距8250米 A公交車速度為每分鐘280米 B公交車速度為每分鐘270米 A B兩車分別從甲 乙兩站相向開出 兩車到站后都要停留5分鐘 然后返回 它們第一次相遇后要經(jīng)過多少時(shí)間第二次相遇 分析 從圖中可以看出 A B兩車從出發(fā)到第一次相遇經(jīng)過的總路程是甲 乙兩站的長8250米 A B兩車從出發(fā)到第二次相遇經(jīng)過的總路程是甲 乙兩站8250米的3倍 也就是第一次相遇到第二次相遇時(shí) 兩車經(jīng)過的總路程是8250米的2倍 又已知兩車的速度 可求得兩車行這兩個(gè)全程共用的時(shí)間 最后加上停站時(shí)間 就求出了最后結(jié)果 解 從第一次相遇到第二次相遇經(jīng)過的總路程 8500 2 16500 米 從第一次相遇到第二次相遇所用的時(shí)間 16500 280 270 30 分鐘 30 5 35 分鐘 例10 小春 小夏兩人同時(shí)從A B兩地出發(fā)相向而行 兩人在離A地50米處第一次相遇 相遇后兩人仍以原速繼續(xù)前行 并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回 途中兩人在距B地25米處第二次相遇 問A B兩地相距多少米 分析 從圖上看 小春和小夏運(yùn)行的情況與例9題兩輛汽車運(yùn)行的情況相似 只是小春 小夏到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)時(shí)沒有停 返回即走 那么我們可以用例9思路來想 小春 小夏第一次相遇時(shí) 合行的路程是A B之間的距離 此時(shí) 小春行了50米 從圖中可以看出 他們到第二次相遇時(shí)共行了A B之間的距離的3倍 也就是小春和小夏各行了從出發(fā)到第一次相遇時(shí)自己所行路程的3倍 即小春共行了3個(gè)50米 用小春共行的路減去他返回時(shí)又行的25米 就得到A B兩地間的距離 解 50 3 25 150 25 125 米 例11 甲 乙 丙3人做走路游戲 甲每分鐘走40米 乙每分鐘走50米 丙每分鐘走60米 甲 乙兩人從A地 丙從B地 3人同時(shí)相向出發(fā) 丙先遇見乙 再經(jīng)過2分鐘遇到甲 問A B兩地相距多遠(yuǎn) 分析 從圖上看出 乙 丙相遇時(shí) 甲 乙相差的路程正好是丙再行2分鐘與甲相遇時(shí) 甲 丙2分鐘共走的路程 這個(gè)路程可以求出 40 60 2 200 米 即乙比甲多行了200米 而乙每分鐘比甲每分鐘快50 40 10 米 那么200米里有幾個(gè)10米就是在幾分鐘內(nèi)行出來的 用200 10 20 分 這個(gè)時(shí)間是乙與丙相遇時(shí) 甲 乙 丙各用的時(shí)間 也可以看成是乙 丙相遇的時(shí)間 用乙 丙速度和 相遇時(shí)間 總路程 便可求出A B兩地相距多遠(yuǎn) 解 乙 丙相遇時(shí) 甲 乙的路程差 40 60 2 200 米 乙 丙的相遇時(shí)間 200 50 40 20 分 A B兩地的距離 50 60 20 2200 米 例12 丁丁和帶著小狗的冬冬同時(shí)分別從相距1400米的兩地相向而行 丁丁每分鐘行65米 冬冬每分鐘行75米 小狗每分鐘跑200米 冬冬的小狗遇到丁丁后立即返回向冬冬這邊跑 遇到冬冬后再向丁丁這邊跑 當(dāng)丁丁和冬冬相遇時(shí) 小狗一共跑了多少米 A地 B地 返回 分析 按照常規(guī) 要求狗一共走了多少米 就得把狗與甲相遇走的路程 與乙相遇走的路程 再與甲相遇走的路程 都求出 然后再相加 算出結(jié)果 但是 仔細(xì)想來 狗在甲 乙之間要跑多少個(gè)來回 每次來回所用的時(shí)間是多少 這些