奧數(shù)最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)講義及答案.doc

數(shù)的整除（3）最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)教室 姓名 學號 【知識要點】1、 幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。自然數(shù)a、b的最大公因數(shù)記作（a，b）。2、 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)記作a，b。3、 兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)：（1）（a，b）a，b=ab；（2）若ab，則ab與b的最大公因數(shù)就等于a與b的最大公因數(shù)。（3）a+b與b的最大公因數(shù)，等于a與b的最大公因數(shù)?！镜湫屠}】例1.甲數(shù)是24，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是168，最大公因數(shù)是4，求乙數(shù)。解：由性質(zhì)（1）得到乙數(shù)=16842428.例2.將長為90厘米，寬為42厘米的長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面積相等的正方形鐵皮，恰無剩余，問至少剪成多少塊？解：把長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面積相等的正方形，則正方形的邊長應是長方形的長和寬的公因數(shù)，又要求所剪正方形鐵片塊數(shù)最少，因此正方形邊長是長方形長與寬的最大公因數(shù)。（90，42）=6.至少能剪9042（66）=105（塊）.例3.馬鵬和李虎計算甲、乙兩個自然數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個位數(shù)字看錯了，得乘積473；李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了，得乘積407，那么甲、乙兩數(shù)的乘積應是多少？解：473與407的最大公因數(shù)是11，而11是質(zhì)數(shù)，所以乙數(shù)是11，又473=4311，4073711，所以甲數(shù)是47，甲乙兩數(shù)的乘積應為：4711=517或1477=477.例4.有一種自然數(shù)，它加上1是2的倍數(shù)，加上2是3的倍數(shù)，加上3是4的倍數(shù)，加上4是5的倍數(shù)，加上5是6的倍數(shù)，加上6是7的倍數(shù)，則這種自然數(shù)中除1以外，最小數(shù)是多少？解：根據(jù)已知，若這個數(shù)分別加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍數(shù)，求這個數(shù)最小是多少，即這個數(shù)是2，3，4，5，6，7的最小公倍數(shù)加上1. 2，3，4，5，6，7=420， 最小數(shù)是：420+1=421?！揪唷坷?、兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925，這兩個整數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，得到兩個商的和是16，請寫出這兩個整數(shù)。解：1925=55711 ，兩個商都是1925的因數(shù)，互質(zhì)，而且和為16，所以這兩個商分別為5、11. 即：19255=385， 192511=175.【競賽班】例6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個環(huán)形花圃的周長。他倆的起步和走的方向完全相同。小明的平均步長54厘米，爸爸平均步長72厘米，由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點，這時雪地上只留下60個腳印，這個花圃的周長是多少米？解：根據(jù)題意從第一個腳印重合到下一個重合腳印點的路程長度是他們步長的最小公倍數(shù)。54，72=216，在這216厘米的路程中小明留下21654=4個腳印，爸爸應留下21672=3個腳印，由于兩人最后重合了一個腳印，所以雪地上實際只留下4+31=6個腳印。周長：216（606）=2160厘米=21.6米。【課后分層練習】A組：入門級1. 甲數(shù)是36，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公因數(shù)是4，乙數(shù)應該是多少？解：甲數(shù)乙數(shù)=2884，所以乙數(shù)=288436=32.2. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126.這兩個數(shù)的和是多少？解：126=2162123，所以這兩個數(shù)是212與213；或21與216，從而這兩個數(shù)的和是：212+213=105或21+216=147.3. 從運動場一端到另一端全長96米，從一端起到另一端每隔4米插一面小紅旗。現(xiàn)在要改成每隔6米插一面小紅旗，問可以不拔出來的小紅旗有多少面？解：因為6，4=12，可以不拔出來的小紅旗有9612+1=9（面）4. 三位小朋友每人隔不同的天數(shù)到圖書館一次：甲隔2天去一次，乙隔3天去一次，丙隔4天去一次。上次他們在星期二在圖書館相遇，還要多少天他們才能再在圖書館相遇；相遇時是星期幾？解：3，4，5=60；還要60天再次在圖書館相遇。 607=8周4天；相遇時是星期六。5. 四個自然數(shù)的和為1111，這四個數(shù)的公因數(shù)最大是幾？解：1111=11101，四個數(shù)的公因數(shù)必是其和的因數(shù)，故公因數(shù)最大不超過101，又1+2+3+5=11，所以101，202，303，505這四個數(shù)的和為1111，且它們的最大公因數(shù)為101.B組：進階級1、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應是60，75，90的公倍數(shù)。所求時間為60，75，90=900（秒）=15（分）。2、用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是（48，36，84）=12。3、用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？解：（144，180，240）=223=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是6012=5（元）。4、 一組五個連續(xù)自然數(shù)的和能分別被2，3，4，5，6整除，求滿足此條件的最小一組數(shù)。解：由于2，3，4，5，6的最小公倍數(shù)是60，得這五個數(shù)的和為60的倍數(shù)，即至少為60，605=12，得10+11+12+13+14=60,故滿足條件的最小一組數(shù)為10、11、12、13、14。C組：挑戰(zhàn)級1、在一個3024的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成66個相同的矩形，那么每個矩形是由（306）（246）=54（個）小方格組成。在66的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所以經(jīng)過5個格點（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的54個小方格中，對角線不經(jīng)過任何格點（見右下圖）。所以，對角線共經(jīng)過格點（30，24）-1=5（個）。2、爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實際情況，爺爺與小明的年齡差應是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60（7-1）=10（歲），爺爺?shù)哪挲g=107=70（歲）。3、已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。解：因為12，15都是a的約數(shù)，所以a應當是12與15的公倍數(shù)，即是12，15=60的倍數(shù)。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因為a，b，c=1