北京市西城區(qū)2016年中考復(fù)習《數(shù)學應(yīng)用問題》建議講義及練習

第 1 頁 共 8 頁 北京市西城區(qū)重點中學 2016 年 3 月初三數(shù)學中考復(fù)習 數(shù)學應(yīng)用問題 復(fù)習建議 講義及補充練習 一、 研究背景分析 考試說明（ 2016 版）關(guān)于“四基” 的要求中明確指出：“注重對基本活動經(jīng)驗的考 查 . 考查在閱讀、觀察、實驗、計算、推理、驗證等活動過程中所積累的學習與應(yīng)用基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的經(jīng)驗和思維經(jīng)驗 .”“能力要求”中指出 :“分析和解決問題的能力主要是指閱讀、理解問題，根據(jù)問題背景，運用所學的知識、思想方法和積累的活動經(jīng)驗，獲取有效信息，選擇恰當方法，形成解決問題的思路，并用數(shù)學語言表述解決問題的過程 .”“模型思想和應(yīng)用意識主要是指有意識的利用數(shù)學概念、原理和方法解決實際問題；根據(jù)具體問題，抽象出數(shù)學問題，將問題中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系和變化規(guī)律用方程（組）、不等式、函數(shù)、幾何圖形、統(tǒng)計圖表等進行表示，求出并檢驗結(jié)果，驗證模型的合理性 .” 事實上，數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展與各式各樣的 人類 文明息息相關(guān)，例如：埃及和古巴比倫的數(shù)學源于人們生存的需要，希臘數(shù)學與哲學密切相關(guān)，中國數(shù)學的活力來自歷法改革， 印度數(shù)學的源泉始于宗教，而波斯的數(shù)學和天文學互不分離 . 文藝復(fù)興時期的藝術(shù)促使了射影幾何學的誕生，17 世紀微積分的產(chǎn)生解決了科學和工業(yè)革命的一系列問題 新課程的改革重視數(shù)學在實際生活中的應(yīng)用 ，一方面，著眼現(xiàn)實大眾生活 . 傳統(tǒng) 的應(yīng)用問題包括恰當數(shù)量的已知條件，用完題目中的所有條件，恰好能確定地解出這道題；而實際生活中的問題，常常要么條件不足，要么信息 太多 ，甚至結(jié)論不確定 ； 另一方面，關(guān)注傳統(tǒng)文化 中數(shù)學的滲透 ，關(guān)注數(shù)學史知識的傳播 . 二、 中考改革趨勢 及特點 縱觀 12 至 15 年的中考題會發(fā)現(xiàn)， 15 年對數(shù)學應(yīng)用問題的考察有以下幾個特點： 1. 實際應(yīng)用的 題量增加了 . 此處的數(shù)據(jù)不包括概率統(tǒng)計相關(guān)題目，具體見下表： 年份 2012 2013 2014 2015 題目數(shù)量 3 3 3 7 題號 11、 12、 18 5、 12、 17 6、 12、 18 4、 6、 8、 9、 13、 15、 21 2. 題目信息量增加， 需要自己篩選有用信息進行解題 . 【 2015北京第 25 題 】 閱 讀 下 列 材 料： 2015 年清明小長假 ， 北 京 市屬公園開展 以 “清明踏 青 ，春色滿 園 ”為主題的游 園 活動， 雖然 氣 溫 小 幅 走 低 ， 但 游 客踏 青 賞 花 的 熱 情 很 高 ， 市屬 公 園 游 客 接 待 量 約為 190 萬 人次 玉 淵 潭 公 園的 櫻花 、 北京 植 物 園 的 桃 花 受 到 了 游客 的 熱 捧 ， 兩公 園 的 游 客接 待 量 分 別為 38 萬 人次、 人 次 ； 頤 和 園 、 天 壇 公 園 、 北 海 公 園 因皇 家 園 林 的 厚 重 文 化 底 蘊與 滿 園 春色 成 為游 客 的 重 要 目 的 地 ， 游 客 接 待 量 分 別為 26 萬人 次 、 20 萬 人 次 、 人 次 ； 北京 動物 園 游 客接 待量 為 18 萬 人次 ， 熊 貓 館 的 游 客 密 集 度較 高 . 第 2 頁 共 8 頁 2014 年 清 明 小 長 假 ， 天氣 晴好 ， 北 京 市 屬 公 園 游 客 接待 量約 為 200 萬 人 次， 其中 ， 玉 淵潭 公 園 游 客 接 待 量 比 2013 年 清 明 小 長 假 增 長了 25%； 頤 和 園 游 客 接 待 量為 人 次 ， 比2013 年 清 明 小 長 假 增加 了 人 次 ； 北 京 動 物 園 游 客接 待量 為 22萬 人 次 . 2013 年 清 明 小 長假 ， 玉 淵 潭公 園 、 陶 然 亭 公園 、 北 京動 物 園 游 客 接 待 量 分 別 為 32 萬人次、13 萬 人 次 、 人次 . 根據(jù) 以 上 材 料 解 答 下 列 問 題： （ 1） 2014 年 清 明 小 長 假 ，玉 淵 潭 公 園 游 客 接 待 量 為 萬 人 次； （ 2） 選 擇 統(tǒng) 計 表 或 統(tǒng) 計圖 ，將 2013 清 明 小 長假 玉 淵 潭 公 園 、 頤 和 園 和北 京 動 物 園 的游 客 接 待 量 表 示 出 來 . 3. 重視應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題 ， 盡量使用原始數(shù)據(jù) ，尊重實際結(jié)果，結(jié)果也許不是唯一確定的 . 找規(guī)律是應(yīng)用數(shù)學知識，解決新的數(shù) 學問題 ，估算則是結(jié)合生活經(jīng)驗和已有數(shù)學信息，對實際情況進行預(yù)測 ，言之有理即可 . 【 2012北京第 12 題】在平面直角坐標系 ，我們把橫 、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點已知點 04A ， ，點 B 是 x 軸正半軸上的整點，記 內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為 m 當3m 時，點 B 的橫坐標的所有可能值是 ；當點 B 的橫坐標為 4n （ n 為正整數(shù)）時，m （用含 n 的代數(shù)式表示） 【 2013北京 第 12 題】 如圖，在平面直角坐標系 ，已知直線 l：y= x 1，雙曲線 y= ，在 l 上取一點 x 軸的垂線交雙曲線于點 y 軸的垂線交 l 于點 繼續(xù)操作并探究：過 x 軸的垂線交雙曲線于點 y 軸的垂線交 l 于點，這樣依次得到 l 上的點 ， 記點 橫坐標為 ，則 _ ， _ ；若要將上述操作無限次地進行下去，則 可能取的值是 _ 【 2014北京 第 12 題】 在平面直角坐標系 ，對于點 ( , )P x y ，我們把 ( 1, 1)P y x 叫做點 P 的伴隨點。已知點123這樣一次得到點1A，2A，3A， ，若點13,1) ，則點3_，點2014_；若點1 , )對于任意的正整數(shù) n，點 軸上方，則a,b 應(yīng)滿足的條件為 _. 【 2015北京 第 15 題 】 北 京 市 2009 2014 年 軌道 交 通 日均 客 運 量 統(tǒng) 計如 圖 所示 根 據(jù) 統(tǒng) 計圖 中提 供 的信 息 ， 第 3 頁 共 8 頁 預(yù) 估 2015 年 北京市軌 道 交通日均客運 量 約 萬 人 次 ， 你 的 預(yù) 估 理 由 是 4. 實際背景的選擇 更 貼近大眾化生活 . 現(xiàn)實世界是數(shù)學的源泉，更是數(shù)學應(yīng)用的歸宿 . 【 2012北京第 18 題】列方程或方程組解應(yīng)用題： 據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2 倍少 4 毫克，若一年滯塵 1000 毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵 550 毫克所需的國槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量 【 2013北京 第 17 題】 列方程或方程組解應(yīng)用題： 某園林隊計劃由 6 名工人對 180 平方米的區(qū)域進行綠化，由于施工時增加了 2 名工人，結(jié)果比計劃提前 3 小時完成任務(wù)，若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積 【 2014北京 第 18 題】 列方程或方程組解應(yīng)用題： 小馬自駕私家車從 A 地到 駛原來的燃油汽車所需油費 108 元，駕駛新購買的純電動汽車所需電費 27 元。已知每行駛 1 千米，原來的燃油汽車所需的油費比新購買的純電動汽車所學的電費多 ，求新購買的純電動汽車每行駛 1 千米所需的電費 . 【 2015北京 第 21 題】 列方程或方程組解應(yīng)用題： 為解決 “ 最后一公里 ” 的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自行車供市民使用到 2013 年底，全市已有公租自行車 25 000 輛，租賃點 600 個預(yù)計到 2015 年底，全市將 有公租自行車 50 000 輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量是 2013 年底平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量的 計到 2015 年底，全市 將有租賃點多少個？ 5. 滲透中國傳統(tǒng)文化， 傳播數(shù)學史知識 . 一方面， 感悟 和 傳承 中華文明， 另一方面，體會數(shù)學在不同歷史時期的應(yīng)用 ，了解 相關(guān) 數(shù)學史知識 . 【 2015北京 第 5 題】 剪 紙 是 我 國 傳 統(tǒng) 的 民間 藝術(shù) ， 下 列 剪 紙 作 品 中 ， 是軸 對 稱 圖 形 的 為 第 4 頁 共 8 頁 【 2015北京 第 8 題】 右 圖 是 利 用 平 面 直 角 坐 標系 畫 出 的 故 宮 博 物 院 的 主要 建筑 分 布 圖 ， 若 這 個坐 標 系分 別 以 正 東 、 正 北 方 向 為 x 軸 、 y 軸的正方向，表示太和門的點的坐 標 為 0,1，表示九龍壁的點的坐 標為 4,1，則表示下 列宮 殿 的 點 的 坐 標 正 確 的 是 A 景 仁 宮 4,2B 養(yǎng) 心 殿 2,3 C 保 和 殿 1,0D 武 英 殿 4【 2015北京 第 13 題】 九 章 算術(shù) 是 中 國 傳 統(tǒng) 數(shù) 學 最 重要 的 著 作 ，奠 定 了 中 國 傳 統(tǒng)數(shù) 學 的 基 本 框 架 它 的 代數(shù)成 就 主 要 包 括 開 方 術(shù) 、正 負術(shù)和方 程 術(shù) 其中 ， 方 程 術(shù) 是 九 章 算 術(shù) 最 高 的 數(shù) 學成 就 九 章 算 術(shù) 中 記 載 ： “ 今有 牛 五 、 羊 二 ， 直金 十 兩； 牛 二 、 羊 五 ， 直金 八 兩 問 ： 牛 、 羊 各 直金 幾 何 ？ ” 譯文 ： “ 假 設(shè)有 5 頭 牛、 2 只羊 ， 值金 10 兩； 2 頭 牛、 5 只 羊 ， 值金 8 兩 問 ：每 頭 牛 、 每 只 羊各 值 金 多 少 兩 ？ ” 設(shè)每 頭 牛 值 金 x 兩， 每 只 羊 值金 y 兩， 可 列 方 程 組 為 【期中 試題 】 九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架。 其中卷第九勾股，主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系 “今有邑方二百步，各中開門 問出南門幾何步而見木？”譯文：“今有正方形小城邊長為 200 步，各方中央開一城門 5 步處有樹，問出南門多少步能見到樹？”請你結(jié)合題意畫出圖形，并完成求解 . 【期中 試題 】 北京紫禁城是中國古代漢族宮廷建筑之精華 . 經(jīng)測算發(fā)現(xiàn) , 太和殿 , 中和殿 , 保和殿這三大殿的 矩形 宮院 至保和殿 , 南至太和門 , 西至弘義閣 , 東至體仁閣）與三大殿下的工字形大臺基所在的矩形區(qū)域 相似形 , 若比較宮院與臺基之間的比例關(guān)系 , 可以發(fā)現(xiàn)接近于 9:5, 取 “九五至尊 ”之意 . 根據(jù)測量數(shù)據(jù) , 三大殿臺基的寬為 40丈 , 請你估算三大殿宮院的寬 為 丈 . 【期末試題】 程大位所著算法統(tǒng)宗是 一部 中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作在算法統(tǒng)宗中記載： “平地秋千未起，踏板 離 地一尺送行二步與人齊，五尺人高曾記仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉良工高士素好奇，算出索長有幾？ ” 【注釋】 1 步 =5 尺 譯文： “當秋千靜止時，秋千上的踏板離地有 1 尺高，如將秋千的踏板往前推動兩步（ 10 尺）時，踏板就和人一樣高，已知這個人身高是 5 尺美麗的姑娘 和才子們 ，每天都來爭蕩秋千，歡聲笑語終日不斷好奇的能工巧匠，能算出這秋千的繩索長是多少嗎？ ” 如圖，假設(shè)秋千的繩索長始終保持直線狀態(tài)， 秋千的靜止狀態(tài)， 是 踏 板， 地面，點 B 是 推動兩步 后 踏 板的位置，弧 踏 板移動 的軌跡 已知 尺， B=10 尺，人的身高 尺 設(shè)繩索長 第 5 頁 共 8 頁 B=x 尺，則可列方程為 【期末試題】 “ 圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作九章算術(shù)中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”用數(shù)學語言可表述為：如圖， O 的直徑，弦 E， 寸， 0 寸，直徑 長為 寸 . 【期末試題】 頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為 2 米的正六邊形，那么這個地基的周長是米 【期末試題】 九章算術(shù)中記載了這樣一道題： “今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？ ”用現(xiàn)代的語言表述為： “ 如果 O 的直徑，弦 B 于 E ， 1， 10寸，那么直徑 長為多少寸？ ” 請你補全示意圖，并求出 長 【期末試題】 古算趣題： “笨人執(zhí)竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭 有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服 ”若設(shè)竿長為 x 尺，則可列方程為 【期末試題】 九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架九章算術(shù)中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”（如圖 ） 閱讀完這段文字后，小智畫出了一個圓柱截面示意圖（如圖 ），其中 點 A，求間徑就是要求 O 的直徑 再次閱讀后，發(fā)現(xiàn) _寸， _寸（一尺等于十寸），通過運用有關(guān)知識即可解決這個問題 請你補全題目條件，并幫助小 智 求出 O 的直徑 【期末試題】 學校組織社會大課堂活動去首都博物館參觀，明明提前上網(wǎng)做了功課，查到了下面的一段文字： 第 6 頁 共 8 頁 青銅展 館 首都博物館建筑本身是一座融古典美和現(xiàn)代美于一體的建筑藝術(shù)品，既具有濃郁的民族特色，又呈現(xiàn)鮮明的現(xiàn)代感 面以上）東西長 152 米、南北寬 66 米左右，建筑高度 41 米 ：矩形展館，橢圓形專題展館，條形的辦公科研樓 發(fā)著濃郁的歷史氣息 . 明明對首都博物館建筑物產(chǎn)生了濃厚的興趣，站到首都博物館北廣場，他被眼前這座建筑物震撼了 出的青銅展館和北墻面交出一條拋物線，拋物線與外立面之間和諧、統(tǒng)一，明明走到過街天橋上照了一張照片（如圖所示） 了算，對旁邊的文文說： “我猜想這條拋物線的頂點到地面的距離應(yīng)是 左右 .” 文文反問： “你猜想的理由是什么 ”？明明說： “我的理由是 ”. 明明又說： “不過這只是我的猜想，這次準備不充分，下次來我要用學過的數(shù)學知識準確的測測這個高度 ,我想用學到的 知識 , 我要帶 等測量工具 ”. 三、 復(fù)習建議 1. 中考數(shù)學應(yīng)用問題大致可以分為三類： 第一類 ， 與數(shù)學知識 緊密相關(guān) ，實際背景比 較簡單。 例如： 【 2015北京 第 6 題】 如圖 ， 公路 垂 直 ， 公路 與 點 開 ， 若 測 得 長 為 則 M,C 兩點 間 的 距離為 A D 第二類 ， 與生活實踐息息相關(guān)， 所涉及的數(shù)學知識 都是課內(nèi)重點學習的內(nèi)容 ； 例如： 【 2015北京 第 9 題】 一 家 游 泳 館 的 游 泳 收費 標 準 為 30 元 /次 ， 若 購買 會員 年 卡 ， 可 享 受 如 下 優(yōu) 惠： 會員 年 卡 類 型 辦卡 費 用 （ 元） 每次 游 泳 收 費 （ 元） 50 25 200 20 C 類 400 15 例 如 ， 購 買 員 年 卡 ， 一 年 內(nèi) 游泳 20 次 ， 消費 502520550元 ， 若 一 年 內(nèi) 在該游泳 館 游 泳 的次 數(shù) 介 于 4555 次 之 間 ， 則 最 省 錢的 方式為 A 購買 員 年 卡 B 購買 員 年卡 C 購買 C 類 會 員 年卡 D 不 購 買 會 員 年 卡 第三類 ， 與日常生活緊密聯(lián)系，并且數(shù)學原理比較復(fù)雜 西城區(qū) 2015年度 第一學期七年級期末 附加題第三題 】 唐代大詩人李白喜好飲酒 作詩 ，民間有 “李白斗酒 詩百篇”之說 算法統(tǒng)宗中記載了一個 “ 李 第 7 頁 共 8 頁 白沽酒 ” 的故事 詩云： 注：古代一斗是 10 升 大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條 約定 ：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再 喝掉其中的 19 升酒按照這樣的約定，在第 3 個店里遇到朋友 正好 喝光了 壺中的酒 （ 1）列方程求壺中原有多少 升 酒； （ 2）設(shè)壺中原有0第 n 個店飲酒后壺中余第一次飲后所余酒為 102 19（升），第二次飲后所余酒為2 1 02 1 9 2 ( 2 1 9 ) 1 9a a a 2102 ( 2 1 ) 1 9a （升）， 用1表達式表示 用0a和 n 的表達式表示 按照這個約定，如果在第 4 個店 喝光 了壺中酒，請借助 中 的結(jié)論求 壺中原 有 多少升酒 2. 不同類型的應(yīng)用問題對解題者的知識儲備和認知能力要求不同 . 第一類應(yīng)用問題著 重考查基礎(chǔ)知識 和基本技能的直接應(yīng)用，便于幫助基礎(chǔ)比較薄弱的學 生獲得成功體驗，建立攻克應(yīng)用問題的信心，當然，解題過程 中 需要嚴謹、踏實的態(tài)度，保證不出錯； 第二類 應(yīng)用問題與生活實踐息息相關(guān)，所以閱讀量會比較大，信息較多，數(shù)量關(guān)系也比較錯綜復(fù)雜，由于數(shù)據(jù)源于實際問題，所以對運算能力的要求較高 . 所以，解決此類問題的關(guān)鍵步驟如 右圖 ： 環(huán)節(jié) 情境理解： 讀懂題目的每一字句，及時圈點勾畫關(guān)鍵字詞，并盡可能地把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言或圖表語言幫助梳理已知信息， 篩選有用信息， 其實就是我們做常規(guī)應(yīng)用題時的“審題”，尤其當問題中條件比較多的時候，要保持冷靜，仔細審題 . 環(huán)節(jié) 問題歸類：思考該問題應(yīng)化歸為什么數(shù)學問題，是考查位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、還是變化規(guī)律？具體數(shù)量關(guān)系中的相等關(guān)系還是不等關(guān)系？是幾何中的面積關(guān)系 問題 ？還是實際中的利率問題、行程問題、工程問題 、最值問題、優(yōu)化問題 變化規(guī)律是滿足一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，還是其它的遞推規(guī)律教學中，可以師生共同 將應(yīng)用問題進行歸類 ， 掌握常見的實際模型，發(fā)揮“思維定勢”的積極作今攜一壺酒，游春郊外走 逢朋加一倍 ，入店飲 斗 九 相逢三處店，飲盡壺中 酒 試問能算士：如何知原有 情境理解 問題歸類 問題表征 解題規(guī)劃 自我評價 第 8 頁 共 8 頁 用，一 部分總結(jié) 工作具體參見 “ 補充 練習 ” . 環(huán)節(jié) 問題表征： 初中生一般采用直譯策略就夠了，直接根據(jù)題意，將文字語言翻譯成符號語言、圖形語言，梳理已知條件之 間的關(guān)系，整體把握題目中的數(shù)量關(guān)系 . 反之，有時題目中用圖表給出了已知條件，需要結(jié)合題干說明， 理解其表達的實際意義， 將圖表語言翻譯成符號語言 . 引導(dǎo)學生可以類比記憶中相類似的實際問題，借助相關(guān)模型，完成問題表征 . 例如： 【 2015海淀一模第 8 題】 由圖可知， a 的 值就是甲乙兩家之間的距離 甲騎車 到乙 家研討 數(shù)學問 題，中途因等候紅燈停止了一分鐘，之后又騎行 了 米 到達了乙家若甲騎行的速度始終不變，從出發(fā)開始計時，剩余的路程 S （單位： 千 米）與 時間 t （單位： 分鐘 ）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，則 圖中 a 等于 A B 2 C D 6 環(huán)節(jié) 解題規(guī)劃： 一方面，將自己經(jīng)驗中與新問題有關(guān)的知識、方法 組合起來，做出嘗 試，如果嘗試失敗，就進行新的嘗試 ， 嘗試的過程中要非常明確自己的思考方向， 對于 做過 哪些嘗試要心里有數(shù) ；另一方面，如果已經(jīng)找到了解決問題的策略，要嘗試一題多解，對比 尋找最優(yōu)方案 . 環(huán)節(jié) 自我評價，包括對解題過程和解答結(jié)果的評價 . 通過對解題過程的自我控制和評價，使自己的思維活動成為一種有目的性、可控性的組織活動，而不是僅憑直覺盲目胡亂嘗試，一旦發(fā)現(xiàn)不能順利達到解題目標，就要考慮調(diào)整解題策略；另外，要結(jié)合實際情況，考慮自己的答案是否合理 . 為幫助學生養(yǎng)成自我評價的好習慣，可設(shè)置如下調(diào)查問題： 你認為你對上述問題的解決正確嗎？（ ） A. 完全正確 B. 可能正確 C. 可能錯了 D. 一定做錯了 第三類應(yīng)用問題，對數(shù)學思維水平要求較高，重在考查數(shù)學思想方法，數(shù)學思想方法 可以看成一種元認知成分，其 中的“思想”是一種概括性的知識，對數(shù)學知識與數(shù)學活動中的特定內(nèi)容作出本質(zhì)的概括；而“方法”則是與這種“本質(zhì)概括”相對應(yīng)的基本活動策略 . 數(shù)學思想方法能夠幫助學生對問題作出基本的判斷，提示可能解決問題的方向 . 數(shù)學思想方法的積累滲透應(yīng)該在日常教學活動中完成 . 進入高中階段，此類應(yīng)用問題主要是讓學生結(jié)合實際問題，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，從而解決問題 . 63S /千米t/分鐘 第 9 頁 共 8 頁 補充練習 1. 行程問題 （ 2015 燕山一模）為了節(jié)能減排，近期 純電動出租車正式上路運行 某地純電動出租車 的運價 為 3 公里以內(nèi) 10 元 ；超出 3 公里后 每公里 2 元 ； 單程超過 15 公里 ， 超過部分每公里 3元 小周要到離家 10 公里的博物館參觀，若他往返都乘坐 純電動出租車 ，共需付車費 元 （ 2015 燕山一模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： 趙老師為了響應(yīng)市政府 “ 綠色出行 ” 的號召，改騎自行車上下班 ，結(jié)果每 天上班 所用時間 比自駕車多53小時 已知趙老師家距學校 12 千米，上下班高峰時段，自駕車的速度是自行車速度的 2 倍 求趙老師騎自行車的速度 （ 2015 門頭溝一模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： 北京快速公交 4 號線開通后，為響應(yīng)“綠色出行” 的 號召，家住門頭溝的 李 明上班由自駕車改為乘 公交 已知 李 明家距上班地點 18 千米，他 乘公交平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程的 2 倍還多 9 千米，他從家出發(fā)到達上班地點，乘公交所用時間是自駕車所用時間的 37， 問李 明自駕車上班平均每小時行駛多少千米？ （ 2015 石景山一模）列方程或方程組解應(yīng)用題： 小辰和小丁從學校出發(fā)，到離學校 2 千米的“首鋼籃球館”看籃球比賽 小丁步行 16 分鐘后，小辰騎自行車出發(fā)，結(jié)果兩人同時到達 已知小辰的速度是小丁速度的 3 倍，求兩人的速度 （ 2015 西城一模） 從 北京 到某市可乘坐普通列車或高鐵 已知高鐵的行駛路程是 400 千米 ，普通列車的行駛路程是 520 千米 如果 高鐵的平均速度是普通列車平均速度的 ， 且乘坐高鐵 比乘坐普通列車 少用 3 小時 求 高鐵的平均 速度是多少千米 /時 （ 2015 延慶一模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： 八年級的學生去距學校 10 千米的科技館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了 20 分鐘，其余的學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達，已知汽車的速度是騎自行車學生速度的 2 倍，求騎車學生每小時走多少千米 ？ （ 2015 豐臺二模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： 為響應(yīng)市政府 “綠色出行 ”的號召，小張上班由自駕車改為騎公共自行車已知小張家距上班地點 10 千米他用騎公共自行車的方式平均每小時行駛的路程比他用自駕車的方式平均每小時行駛的路程少 45 千米，他從家出發(fā)到上班地點，騎公共自行車方式所用的時間是自駕車方式所用的時間的 4 倍小張用騎公共自行車方式上班平均每小時行駛多少千米 ? 第 10 頁 共 8 頁 （ 2015 昌平二模） 自從 2012 年 9 月 1 日昌平區(qū)首批 50 輛純電動出租車正式運營以來，電動 出租車以綠色環(huán)保受到市民的廣泛歡迎 ， 給市民的生活帶來了 很大 方便 下表是行駛 15 公里 以內(nèi)普通燃油出租車和 純電動出租車的運 營 價 格： 車型 起步 公里 數(shù) 起步價格 超出起步 公里 數(shù)后的單價 普通燃油型 3 13 元 /公里 純電動型 3 8 元 2 元 /公里 老張 每天 從家去單位打出租車上班 （路程 在 15 公里 以內(nèi)），結(jié)果發(fā)現(xiàn) 正常 情況下 乘坐 純電動出租車比燃油出租車平均每 公里 節(jié)省 ， 求老張 家到單位的路程是多少 公里 ？ 2. 工程問題 （ 2015 通州一模） 為了把通州區(qū)打造成宜居的北京城市副中心，區(qū)政府對地下污水排放設(shè)施進行改造某 施工隊承擔鋪設(shè)地下排污管道任務(wù)共 2200 米，為了減少施工對周邊交通環(huán)境的影響，施工隊進行技術(shù)革新，使實際平均每天鋪設(shè)管道的長度比原計劃 多 10%，結(jié)果提前兩天完成 任務(wù) 求原計劃平均每天鋪設(shè)排污管道的長度 （ 2015 平谷一模） 列方程或方程組解應(yīng)用題 ： 為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的 1200 件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場 兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩個工廠了解情況，獲得如下信息： 信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用 10 天； 信息二 ： 乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的 根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品 ？ （ 2015 海淀二模） 列方程或方程組解應(yīng)用題 : 小 明 堅持長跑健身他從家 勻速 跑步到學校，通常需 30 分鐘 某周 日，小李與同學相約早上八點學校見，他七點半從家跑步出發(fā)，平均每分鐘比平時快了 40 米， 結(jié)果 七點五十 五 分就到達了學校， 求小 明 家到學校的距離 3. 銷售問題 （ 2015 昌平二模） 小明在 學習之余 去買文具，打算 購買 5 支 單價相同的簽字筆 和 3 本單價相同的 筆記 本 ，期間 他與售貨員 對話如下 ： 請你 判斷在單價沒有弄反的情況下，購買 1 支 簽字筆和 1 本 筆記本應(yīng)付 小明 ： 您好 ， 我要買 5 支 簽字筆和 3 本 筆記本 售貨員 ： 好的 ，那你應(yīng)該 付 52 元 小明 ： 剛才 我把 兩種 文具的單價弄反了，以為要付 44 元 第 11 頁 共 8 頁 A 10 元 B 11 元 C 12 元 D 13 元 （ 2015 西城二模） 列方程（組）解應(yīng)用題： 某超市的部分商品賬目記錄顯示內(nèi)容如下： 商品 時間 第一天 第二天 第三天 牙膏 (盒 ) 7 14 ？ 牙刷（支） 13 15 12 營業(yè)額（元） 121 187 124 求第三天賣出牙膏多少盒 （ 2015 通州二模）某中學為豐富學生的校園生活，準備從 體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買 3 個足球和 2 個籃球共需 310 元，購買 2 個足球和 5 個籃球共需 500 元。 （ 1）求購買一個足球、一個籃球各需多少元？ （ 2）根據(jù)學 校實際情況，需從 體育用品商店一次性購買足球和籃球共 96 個，要求購買足球和籃球的總費用不超過 5720 元，這所中學最多可以購買多少個籃球？ （ 2015 房山二模） 列方程或方程組解應(yīng)用題 幾個小伙伴打算去音樂廳看演出，他們準備用 360 元錢購買門票下面是兩個小伙伴的對話： 根據(jù)對話中的信息，請你求出這些小伙伴的人數(shù) 4. 倍數(shù)關(guān)系 （ 2015 海淀一模）列方程或方程組解應(yīng)用題 : 為了響應(yīng)學校提出的 “節(jié)能減排，低碳生活 ”的倡議，班會課上小李建議每位同學都踐行 “雙面打印，節(jié)約用紙 ”他舉了一個實際例子： 打印 一份資料，如果用 型紙單面打印 ，總質(zhì)量 為 400 克， 將其全部改成雙面打印 ， 用紙將減少一半 ； 如果用 型 紙雙面打印，總質(zhì)量 為 160 克 頁 薄型 紙 比 厚型紙 輕 ， 求 例子中的 型紙每頁 的質(zhì)量 .（墨的質(zhì)量忽略不計） （ 2015 豐臺一模）列方程或方程組解應(yīng)用題： 中國國家博物館由原中國歷史博物館和中國革命博物館兩館合并改擴建而成 為目前世界上最大的博物館 倍少 平方米，新館的展廳總面積比原兩館大樓過兩天就是“兒童節(jié)”了，那時候來看這場演出，票價會打六折，我們每人一張票，還能剩 72 元錢呢！ 如果今天看演出，我們每人一張票，正好差兩張票的錢 第 12 頁 共 8 頁 的展覽面積大 平方米，求新館的展廳總面積和原兩館大樓的展覽面積 . （ 2015 東城一模）列方程或方程組解應(yīng)用題： 2015 年 “ 植樹節(jié) ” 前夕， 某小區(qū)為綠化環(huán)境， 購進 200 棵 柏樹苗和 120 棵 棗樹苗，且 兩種樹苗所需費用相同 進價比每棵柏樹苗 的進價 的 2 倍少 5 元 ， 每棵柏樹苗的 進價是多少元 ？ （ 2015 門頭溝二模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： 2014 年北京市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為 立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的 3 倍還多 立方米，問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方米 . （ 2015 平谷二模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： 為開闊學生的視野在社會大課堂活動中， 某 校 組織 初三年級學生參觀科技館 ，原計劃租用45 座客車若干輛，但有 15 人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的 60 座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿 求該校初三年級有學生 多少 人 ？原計劃租用多少輛 45 座客車？ 5. “率” （ 2015 朝陽二模） 列方程或方程組解應(yīng)用題： （ 2015 順義二模）列方程或方程組 解應(yīng)用題： 隨著市民環(huán)保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降 某銷售點 2012 年 銷售煙花爆竹 2 000箱， 2014 年銷售煙花爆竹為 1 280 箱 求 2012 年到 2014 年 煙花爆竹 銷售 量的年平均下降率 6. 相似三角形的應(yīng)用 （ 2015 朝陽一模） 如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標點 P，在近岸取點 Q 和 S，使點 P， Q， S 在一條直線上，且直線 河垂直，在過點 S 且與 直的直線 a 上選 第 13 頁 共 8 頁 P ， 過點 Q 且與 直的直線 b 的交點為 R如果 0 m， 20 m，0 m，則河的寬度 A 40 m B 60 m C 120 m D 180 m （ 2015 豐臺一模） 如圖， O 為 蹺蹺板 中點，支柱 地面 直 ，垂足 為 點 C， 且 0 蹺蹺板 的一端 一端 A 離地面的高度為 （ 2015 門頭溝一模） 如圖是小明設(shè)計的用激光筆測量城墻高度的示意圖，在點 P 處水平放置一面平面鏡，光線從點 A 出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到城墻 頂端 C 處， 已知 D， ， ， 2 米， 那么該城墻高度 米 （ 2015 通州一模） 燃燈佛舍利塔 (簡稱燃燈塔 )是通州八景之一，該塔始建于南北朝北周宇文時期，距今已有 1300 多年歷史 00 米，是通州 的象征 來求燃燈塔的高度 2 米， 然后在同一時刻立一根高 2 米的標桿，測得標桿影長為 ， 那么 燃燈塔高度為 米 . （ 2015 西城一模） 如圖是蹺蹺板 的 示意圖，立柱 地面垂直， 以 O 為 橫板 中點 ， 點 O 上下轉(zhuǎn)動，橫板 B 端最大高度 h 是否會隨橫板長度的變化而變化 呢？一位同學做了如下研究：他先 設(shè) m， .5 m， 通過計算得到此時的 將橫板 換成橫板 AB， O 為 橫板 AB的 中點 ， 且 AB=3m， 此時 B 點的最大高度為 此得到 大小關(guān)系是： “”、“”或“”） 可進一步得出， h 隨橫板的長度的變化而 （填“不變”或“改變”） （ 2015 西城二模）兩千多年前，我國的學者墨子和他的學生 做了小孔成像的實驗 他的做法是，在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像 小華在學習了小孔成像的原理后，利用如下裝置來驗證小孔成像的現(xiàn)象 已知一根點燃的蠟燭距小孔 20屏在距小孔 30，小華測量了蠟燭的火焰高度為 2則光屏上火焰所成像的高度為 _ 第 14 頁 共 8 頁 2015 昌平二模） 在陽光體育課上，小騰在 打網(wǎng)球， 如圖所示， 網(wǎng)高 球 剛 好打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng) 6 m 的位置上 ，則球拍擊球的高度 h = m （ 2015 平谷二模） 如圖，利用標桿 量建筑物的高度，標桿 ，測得 米 ， 4 米 ，則樓高 米 . （ 2015 懷柔二模） 如圖， A， B 兩點分別位于一個池塘的兩端， 小明想用繩子測量 A， B 間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫 他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達 A， B 的點 C， 找到 中點 D， E，并且測出 長為 10m，則 A， 的距離為 A 15m B 25m C 30m D 20m 7. 分段計費 （ 2015 豐臺一模） 為增強居民的節(jié)水意識，某市 自 2014 年 實施 “階梯水價 ”. 按照 “階梯水價 ”的收費標準， 居民 家庭每年 應(yīng)繳水費 y（元）與用水量 x（立方米）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示 014 年全年 上 繳水費 1180 元， 那么 該家庭 2014 年用水的總量是 A 240 立方米 B 236 立方米 C 220 立方米 D 200 立方米 （ 2015 石景山一模） 2014 年 5 月 1 日起，北京市居民用水實施階梯水價按年度用水量計算，將居民家庭全年用水量劃分為三檔，水價分檔遞增，水量分檔和水價標準 如下： 第一階梯用水量不超過 180 立方米，水價為每立方米 5 元；第二階梯用水量在 180（不含） 260（含）立方米之間，超出 180 立方米的部分的水價為每立方米 7 元；第三階梯用水量為 260立方米以上，超出 260 立方米的部分的水價為每立方米 9 元 若某居民家庭全年用水量為240 立方米，則應(yīng)繳納的水 費 為 元 第 15 頁 共 8 頁 （ 2015 朝陽一模） 為了緩解城市擁堵，某市對非居民區(qū)的公共停車場制定了不同的收費標準（見下表） . 如果小王某次停車 3 小時，繳費 24 元，請你判斷小王該次停車所在地區(qū)的類別是 （填 “ 一類、二類、三類 ” 中的一個） （ 2015 東城一模） 北京的水資源非常匱乏， 為促進市民節(jié)水，從 2014 年 5 月 1 日起北京市居民用水實行階梯水價，實施細則如下表 : 北京市居民用水階梯水價表 單位 : 元 /立方米 分檔水量 戶年用水量 （立方米） 水價 其中 自來水費 水資源費 污水 處理費 第一階梯 0） 二階梯 181） 三階梯 260 以上 戶居民從 2015 年 1 月 1 日至 4 月 30 日 ,累積用水 190 立方米 ,則這戶居民 4 個月共需繳納水費 元 . （ 2015 房山一模） 隨著北京公交票制票價調(diào)整，公交集團更換了新版公交站牌， 乘客在乘車時可以通過 新版公交站牌計算乘車費用 上下車站站名所對應(yīng)數(shù)字相減取絕對值就是乘車路程，再按照其所在計價區(qū)段，參照票制規(guī)則計算票價 乘車路程計價區(qū)段 016. 對應(yīng)票價 (元 ) 2 3 4 . 另外， 一卡通普通卡刷卡實行 5 折優(yōu)惠，學生卡刷卡實行 優(yōu)惠 . 小明用學生卡乘車，上車時站 名 上對應(yīng)的數(shù)字是 5，下車時站名 上對應(yīng)的數(shù)字是 22，那么，地區(qū)類別 首小時內(nèi) 首小時外 一類 /15 分鐘 /15 分鐘 二類 /15 分鐘 /15 分鐘 三類 /15 分鐘 /15 分鐘 第 16 頁 共 8 頁 小明乘車的費用是 _元 . （ 2015 房山一模） 列方程或方程組解應(yīng)用題 為了鼓勵市民節(jié)約用電 ， 某市對居民用電實行“階梯收費”（總電費 =第一階梯電費 +第二階梯電費） 電量不超過 200 度按第一階梯電價收費，超過 200 度的部分按第二階梯電價收費 下圖 是張磊家 2014 年 3 月和 4 月所交電費的收據(jù) ： 請問 該市規(guī)定的第一階梯電價和