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116 難點 33 函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用 函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一 在高考中,必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去,因而一定成為高考的又一個熱點 難點磁場 ( )已知函數(shù) f(x)=)51( )1(lo g)11( )1()1( 32 1)討論 f(x)在點 x= 1,0,1 處的連續(xù)性; (2)求 f(x)的連續(xù)區(qū)間 . 案例探究 例 1已知函數(shù) f(x)=242(1)求 f(x)的定義 域,并作出函數(shù)的圖象; (2)求 f(x)的不連續(xù)點 (3)對 f(x)補充定義,使其是 命題意圖:函數(shù)的連續(xù)性,尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映 知識依托:本題是分式函數(shù),所以解答本題的閃光點是能準(zhǔn)確畫出它的圖象 . 錯解分析:第 (3)問是本題的難點,考生通過自己對所學(xué)連續(xù)函數(shù)定義的了解 3)問是求的分?jǐn)?shù)函數(shù)解析式 . 技巧與方法:對分式化簡變形,注意等價性,觀察圖象進(jìn)行解答 . 解: (1)當(dāng) x+2 0 時,有 x 2 因此,函數(shù)的定義域是 ( , 2) ( 2,+ ) 當(dāng) x 2 時, f(x)=242xx=x 2, 其圖象如上圖 (2)由定義域知,函數(shù) f(x)的不連續(xù)點是 2. (3)因為當(dāng) x 2 時, f(x)=x 2,所以 )2(2 4. 因此,將 f(x)的表達(dá)式改寫為 f(x)=2)( 4)2( 242則函數(shù) f(x)在 例 2求證:方程 x=b(a 0,b 0)至少有一個正根,且它不大于 a+b. 命題意圖:要判定方程 f(x)=0 是否有實根 y=f(x)的圖象是否與 此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),只要找到圖象上的兩點,滿足一點在 x 軸上方,另一點在 x 軸下方即可 知識依托:解答本題的閃光點要找到合適的兩點,使函數(shù)值其一為負(fù),另一為正 . 錯解分析:因為本題為超越方程,因而考生最易想到畫圖象觀察,而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡便作用 . 117 證明:設(shè) f(x)=b x, 則 f(0)=b 0,f(a+b)=a a+b)+b (a+b)=a a+b) 1 0, 又 f(x)在 (0,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù),所以存在一個 (0,a+b,使 f(0,即 f(x)=0的根,也就是方程 x=a b 的根 . 因此,方程 x=b 至少存在一個正根,且它不大于 a+b. 錦囊妙計 f(x)在 等式f(x)=f(涵義是: (1)f( x= f(在; (2)f(x)存在,這里隱含著 f(x)在點 x=近有定義; (3)f(x)在點 的極限值等于這一點的函數(shù)值,即f(x)=f( 函數(shù) f(x)在 映在圖象上是 f(x)的圖象在點 x= f(x)在點 是 f(x)的圖象在點 x= 其情形: (1)f(x)存在; f(在,但f(x) f(2)f(x)存在,但 f(存在 .(3) f(x)不存在 . 以得到計算函數(shù)極限的一種方法:如果函數(shù) f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的,點 定義區(qū)間內(nèi)的一點,那么求 x 函數(shù) f(x)的極限,只要求出 f(x)在點 f(可以了,即f(x)=f( 殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )若 f(x)=11113 點 x=0 處連續(xù),則 f(0)等于 ( ) .( )設(shè) f(x)=21 11 2110 f(x)的連續(xù)區(qū)間為 ( ) A.(0, 2) B.(0, 1) C.(0, 1) (1, 2) D.(1, 2) 二、填空題 3.( )x 2ln(=_. 4.( )若 f(x)=0 0 11x 處處連續(xù),則 a 的值為 _. 三、解答題 118 5.( )已知函數(shù) f(x)=)0( 1)0( 121211)f(x)在 x=0 處是否連續(xù)?說明理由; (2)討論 f(x)在閉區(qū)間 1,0和 0,1上的連續(xù)性 . 6.( )已知 f(x)=)0()0(11x (1)求 f( x); (2)求常數(shù) a 的值,使 f(x)在區(qū)間 ( ,+ )內(nèi)處處 連續(xù) . 7.( )求證任何一個實系數(shù)一元三次方程 (a0,a1,a2,R,0)至少有一個實數(shù)根 . 8.( )求函數(shù) f(x)=)1( )21( 2 不連續(xù)點和連續(xù)區(qū)間 . 參考答案 難點磁場 解: (1)xf(x)=3, xf(x)= 1,所以xf(x)不存在,所以 f(x)在 x= 1 處不連續(xù), 但xf(x)=f( 1)= 1, xf(x) f( 1),所以 f(x)在 x= 1 處右連續(xù),左不連續(xù) xf(x)=3=f(1), xf(x)不存在,所以xf(x)不存在,所以 f(x)在 x=1 不連續(xù),但左連續(xù),右不連續(xù) . 又xf(x)=f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 處連續(xù) . (2)f(x)中,區(qū)間 ( , 1), 1,1 ,(1,5上的三個函數(shù)都是初等函數(shù),因此 f(x)除不連續(xù)點 x= 1 外,再也無不連續(xù)點,所以 f(x)的連續(xù)區(qū)間是 ( , 1), 1,1和 (1,5 . 殲滅難點訓(xùn)練 一、 1111)1()11(11)1()11)(11()(333 233 22311111)0(1111)1( 323A 11 xx 19 21)1(1)(11 f(x)在 x=1 點不連續(xù),顯知 f(x)在 (0,1)和 (1,2)連續(xù) . 答案: C 二、 用函數(shù)的連續(xù)性,即)()(0, 11a r c t a 12si n (11a r c t a 2si n (121,0)(400000答案:21三、 f(x)=)0( 1)0(12111) xf(x)= 1, xf(x)=1,所以xf(x)不存在,故 f(x)在 x=0 處不連續(xù) . (2)f(x)在 ( ,+ )上除 x=0 外,再無間斷點,由 (1)知 f(x)在 x=0 處右連續(xù),所以 f(x)在 1, 0上是不連續(xù)函數(shù),在 0,1上是連續(xù)函數(shù) . (1)f( x)=)0( )0( 11(2)要使 f(x)在 ( ,+ )內(nèi)處處連續(xù),只要 f(x)在 x=0連續(xù),xf(x) = x x x 11=2111 11(0 x xf(x)=x(a+a,因為要 f(x)在 x=0處連續(xù),只要xf(x)= xf(x) = xf(x)=f(0),所以 a= f(x)=數(shù) f(x)在 ( ,+ )連續(xù),且 x
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