高考數(shù)學(xué)難點突破_難點33__函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用

116 難點 33 函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用 函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一 在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點 難點磁場 ( )已知函數(shù) f(x)=)51( )1(lo g)11( )1()1( 32 1)討論 f(x)在點 x= 1,0,1 處的連續(xù)性； (2)求 f(x)的連續(xù)區(qū)間 . 案例探究 例 1已知函數(shù) f(x)=242(1)求 f(x)的定義 域，并作出函數(shù)的圖象； (2)求 f(x)的不連續(xù)點 (3)對 f(x)補充定義，使其是 命題意圖：函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映 知識依托：本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點是能準(zhǔn)確畫出它的圖象 . 錯解分析：第 (3)問是本題的難點，考生通過自己對所學(xué)連續(xù)函數(shù)定義的了解 3)問是求的分?jǐn)?shù)函數(shù)解析式 . 技巧與方法：對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖象進(jìn)行解答 . 解： (1)當(dāng) x+2 0 時，有 x 2 因此，函數(shù)的定義域是 ( , 2) ( 2,+ ) 當(dāng) x 2 時， f(x)=242xx=x 2, 其圖象如上圖 (2)由定義域知，函數(shù) f(x)的不連續(xù)點是 2. (3)因為當(dāng) x 2 時， f(x)=x 2,所以 )2(2 4. 因此，將 f(x)的表達(dá)式改寫為 f(x)=2)( 4)2( 242則函數(shù) f(x)在 例 2求證：方程 x=b(a 0,b 0)至少有一個正根，且它不大于 a+b. 命題意圖：要判定方程 f(x)=0 是否有實根 y=f(x)的圖象是否與 此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在 x 軸上方，另一點在 x 軸下方即可 知識依托：解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數(shù)值其一為負(fù)，另一為正 . 錯解分析：因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡便作用 . 117 證明：設(shè) f(x)=b x, 則 f(0)=b 0,f(a+b)=a a+b)+b (a+b)=a a+b) 1 0, 又 f(x)在 (0,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個 (0,a+b，使 f(0,即 f(x)=0的根，也就是方程 x=a b 的根 . 因此，方程 x=b 至少存在一個正根，且它不大于 a+b. 錦囊妙計 f(x)在 等式f(x)=f(涵義是： (1)f( x= f(在； (2)f(x)存在，這里隱含著 f(x)在點 x=近有定義； (3)f(x)在點 的極限值等于這一點的函數(shù)值，即f(x)=f( 函數(shù) f(x)在 映在圖象上是 f(x)的圖象在點 x= f(x)在點 是 f(x)的圖象在點 x= 其情形： (1)f(x)存在； f(在，但f(x) f(2)f(x)存在，但 f(存在 .(3) f(x)不存在 . 以得到計算函數(shù)極限的一種方法：如果函數(shù) f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點 定義區(qū)間內(nèi)的一點，那么求 x 函數(shù) f(x)的極限，只要求出 f(x)在點 f(可以了，即f(x)=f( 殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )若 f(x)=11113 點 x=0 處連續(xù)，則 f(0)等于 ( ) .( )設(shè) f(x)=21 11 2110 f(x)的連續(xù)區(qū)間為 ( ) A.(0， 2) B.(0， 1) C.(0， 1) (1， 2) D.(1， 2) 二、填空題 3.( )x 2ln(=_. 4.( )若 f(x)=0 0 11x 處處連續(xù)，則 a 的值為 _. 三、解答題 118 5.( )已知函數(shù) f(x)=)0( 1)0( 121211)f(x)在 x=0 處是否連續(xù)？說明理由； (2)討論 f(x)在閉區(qū)間 1,0和 0,1上的連續(xù)性 . 6.( )已知 f(x)=)0()0(11x (1)求 f( x); (2)求常數(shù) a 的值，使 f(x)在區(qū)間 ( ,+ )內(nèi)處處 連續(xù) . 7.( )求證任何一個實系數(shù)一元三次方程 (a0,a1,a2,R,0)至少有一個實數(shù)根 . 8.( )求函數(shù) f(x)=)1( )21( 2 不連續(xù)點和連續(xù)區(qū)間 . 參考答案 難點磁場 解： (1)xf(x)=3, xf(x)= 1,所以xf(x)不存在，所以 f(x)在 x= 1 處不連續(xù)， 但xf(x)=f( 1)= 1, xf(x) f( 1),所以 f(x)在 x= 1 處右連續(xù)，左不連續(xù) xf(x)=3=f(1), xf(x)不存在，所以xf(x)不存在，所以 f(x)在 x=1 不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù) . 又xf(x)=f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 處連續(xù) . (2)f(x)中，區(qū)間 ( , 1), 1,1 ,(1,5上的三個函數(shù)都是初等函數(shù)，因此 f(x)除不連續(xù)點 x= 1 外，再也無不連續(xù)點，所以 f(x)的連續(xù)區(qū)間是 ( , 1), 1,1和 (1,5 . 殲滅難點訓(xùn)練 一、 1111)1()11(11)1()11)(11()(333 233 22311111)0(1111)1( 323A 11 xx 19 21)1(1)(11 f(x)在 x=1 點不連續(xù)，顯知 f(x)在 (0,1)和 (1,2)連續(xù) . 答案： C 二、 用函數(shù)的連續(xù)性，即)()(0, 11a r c t a 12si n (11a r c t a 2si n (121,0)(400000答案：21三、 f(x)=)0( 1)0(12111) xf(x)= 1, xf(x)=1,所以xf(x)不存在，故 f(x)在 x=0 處不連續(xù) . (2)f(x)在 ( ,+ )上除 x=0 外，再無間斷點，由 (1)知 f(x)在 x=0 處右連續(xù)，所以 f(x)在 1， 0上是不連續(xù)函數(shù)，在 0,1上是連續(xù)函數(shù) . (1)f( x)=)0( )0( 11(2)要使 f(x)在 ( ,+ )內(nèi)處處連續(xù)，只要 f(x)在 x=0連續(xù)，xf(x) = x x x 11=2111 11(0 x xf(x)=x(a+a,因為要 f(x)在 x=0處連續(xù)，只要xf(x)= xf(x) = xf(x)=f(0),所以 a= f(x)=數(shù) f(x)在 ( ,+ )連續(xù)，且 x