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文檔簡介
第 1 頁(共 21 頁) 2016 年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科) 一、填空題(本大題滿分 56分)本大題共有 14題,考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對得 4分,否則一律得零分 1若復(fù)數(shù) z 滿足 ( i 為虛數(shù)單位),則 |z| 2若全集 U=R,函數(shù) 的值域?yàn)榧?A,則 3方程 4x 2x 6=0 的解為 4函數(shù) 的最小正周期 t= 5不等式 的解集是 6已知圓錐的底面半徑為 3,體積是 12,則圓錐側(cè)面積等于 7已知 , , ,其中 是基本單位向量,則 面積為 8在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必 須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6 門學(xué)科中選擇 3 門學(xué)科參加等級(jí)考試小明同學(xué)決定在生物、政治、歷史三門中至多選擇一門,那么小明同學(xué)的選科方案有 種 9若 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和,且 ,則 = 10若函數(shù) f( x) =2|x 1|且 f( x)在 m, +)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù) m 的最小值等于 11若點(diǎn) P、 Q 均在橢圓 ( a 1)上運(yùn)動(dòng), 橢圓 的左、右焦點(diǎn),則的最大值為 12已知函數(shù) ,若實(shí)數(shù) a、 b、 c 互不相等,且滿足 f( a) =f( b) =f( c),則 a+b+c 的取值范圍是 13我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的 “調(diào)日法 ”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法,其理論依據(jù)是:設(shè)實(shí)數(shù) x 的不足近似值和過剩近似值分別為 和 ( a, b, c, dN*),則 是 x 的更為精 第 2 頁(共 21 頁) 確的不足近似值或過剩近似值我們知道 =若令 ,則第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值,即 ,若每次都取最簡分?jǐn)?shù),那么第四次用 “調(diào)日法 ”后可得 的近似分?jǐn)?shù)為 14數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 對任意 nN*,都有 ,則數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 二、選擇題(本大題滿分 20分)本大題共有 4題,每題只有一個(gè)正確答案 代表答案的小方格涂黑,選對得 5分,否則一律得零分 15若 a, bR,且 0,則 “a=b”是 “ 等號(hào)成立 ”的( ) A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D 既非充分又非必要條件 16設(shè) f( x) =2+5x+100x4+其反函數(shù)的解析式為( ) A B C D 17 內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,滿足 ,則角 A 的范圍是( ) A B C D 18函數(shù) f( x)的定義域?yàn)?1, 1,圖象如圖 1 所示;函數(shù) g( x)的定義域?yàn)?1, 2,圖象如圖2 所示 A=x|f( g( x) =0, B=x|g( f( x) =0,則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為( ) A 1 B 2 C 3 D 4 三、解答題(本大題滿分 74 分)本大題共有 5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 第 3 頁(共 21 頁) 19如圖,三棱柱 棱 底面 B=2, , , 點(diǎn),證明異面直線 D 所成角為 ,并求三棱柱 體積 20如圖,點(diǎn) A、 B 分別是角 、 的終邊與單位圓的交點(diǎn), ( 1)若 , ,求 ( 2)證明: ) = 21某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路 岸邊界 似地看成一條曲線段為開發(fā)旅游資源,需修建一條連接兩條公路的直線型觀 光大道 直線 曲線 且僅有一個(gè)公共點(diǎn) P(即直線與曲線相切),如圖所示若曲線段 函數(shù) 圖象的一段,點(diǎn) M 到距離分別為 8 千米和 1 千米,點(diǎn) N 到 0 千米,點(diǎn) P 到 距離為 2 千米以 l1、別為 x、 y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ( 1)求曲線段 函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域; ( 2)求直線 方程,并求出公路 長度(結(jié)果精確到 1 米) 第 4 頁(共 21 頁) 22已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn) ,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 E: x 的焦點(diǎn)重合,斜率為 k 的直線 l 交拋物線 E 于 A、 B 兩點(diǎn),交橢圓 于 C、 D 兩點(diǎn) ( 1)求橢圓 的方程; ( 2)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) F( 1, 0),設(shè)點(diǎn) P( 1, k),且 面積為 ,求 k 的值; ( 3)若直線 l 過點(diǎn) M( 0, 1),設(shè)直線 斜率分別為 成等差 數(shù)列,求直線 l 的方程 23已知數(shù)列 各項(xiàng)均為整數(shù),其前 n 項(xiàng)和為 定:若數(shù)列 足前 r 項(xiàng)依次成公差為 1的等差數(shù)列,從第 r 1 項(xiàng)起往后依次成公比為 2 的等比數(shù)列,則稱數(shù)列 “r 關(guān)聯(lián)數(shù)列 ” ( 1)若數(shù)列 “6 關(guān)聯(lián)數(shù)列 ”,求數(shù)列 通項(xiàng)公式; ( 2)在( 1)的條件下,求出 證明:對任意 nN*, ( 3)若數(shù)列 “6 關(guān)聯(lián)數(shù)列 ”,當(dāng) n6 時(shí),在 之間插入 n 個(gè)數(shù),使這 n+2 個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為 等差數(shù)列,求 探究在數(shù)列 是否存在三項(xiàng) 中 m, k, p 成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項(xiàng);若不存在,說明理由 第 5 頁(共 21 頁) 2016 年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、填空題(本大題滿分 56分)本大題共有 14題,考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對得 4分,否則一律得零分 1若復(fù)數(shù) z 滿足 ( i 為虛數(shù)單位),則 |z| 2 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【專題】 轉(zhuǎn)化思想;綜合法;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 【分析 】 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算先化簡復(fù)數(shù),然后計(jì)算復(fù)數(shù)的長度即可 【解答】 解: , z= i+1, z= 1 i, |z|= =2, 故答案為: 2 【點(diǎn)評】 本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長度的計(jì)算公式,比較基礎(chǔ) 2若全集 U=R,函數(shù) 的值域?yàn)榧?A,則 ( , 0) 【考點(diǎn)】 補(bǔ)集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題 【分析】 求出函數(shù)的值域確定出 A,根據(jù)全集 U=R,找出 A 的補(bǔ)集即可 【解答】 解:函數(shù) y=x 0,得到 A=0, +), 全集 U=R, , 0) 故答案為:( , 0) 【點(diǎn)評】 此題考查了補(bǔ)集及其運(yùn)算,熟練掌握補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵 3方程 4x 2x 6=0 的解為 第 6 頁(共 21 頁) 【考點(diǎn)】 指數(shù)式與對數(shù)式的互化 ;二次函數(shù)的性質(zhì) 【專題】 計(jì)算題 【分析】 由 4x 2x 6=0,得( 2x) 2 2x 6=0,由此能求出方程 4x 2x 6=0 的解 【解答】 解:由 4x 2x 6=0,得 ( 2x) 2 2x 6=0, 解得 2x=3,或 2x= 2(舍去), x= 故答案為: 【點(diǎn)評】 本題考查指數(shù)方程的解法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意指數(shù)式和對數(shù)式的互化 4函數(shù) 的最小正周期 t= 【考點(diǎn)】 二階行列式的定義;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;三角 函數(shù)的周期性及其求法 【專題】 計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的求值;矩陣和變換 【分析】 利用二階行列式展開式法則和余弦函數(shù)二倍角公式求解 【解答】 解:函數(shù) = x) +x) 函數(shù) 的最小正周期 t= = 故答案為: 【點(diǎn)評】 本題考查三角函數(shù)的最小正 周期的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意二階行列式展開法則的合理運(yùn)用 5不等式 的解集是 ( 0, 2) 【考點(diǎn)】 其他不等式的解法 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用 第 7 頁(共 21 頁) 【分析】 移項(xiàng)、通分,化為等價(jià)的不等式,即可求出分式不等式的解集 【解答】 解: , 0, 通分得 0, 即 0; 等價(jià)于 2x( x 2) 0, 解得 0 x 2 故答案為:( 0, 2) 【點(diǎn)評】 本題考查了分式不等式的解法與應(yīng)用問題,解題時(shí)通?;癁榈葍r(jià)的不等式進(jìn)行解答,是基礎(chǔ)題 6已知圓錐的底面半徑為 3,體積是 12,則圓錐側(cè)面積等于 15 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積;旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)) 【專題】 空間位置關(guān)系與距 離 【分析】 根據(jù)圓錐的體積計(jì)算出圓錐的高,以及圓錐的母線,進(jìn)而求出圓錐的側(cè)面積 【解答】 解:設(shè)圓錐的高為 h,底面半徑為 r, 圓錐的底面半徑為 3,體積是 12, , 即 h=4, 圓錐的母線長 l= , 圓錐的側(cè)面積 S=5=15, 故答案為: 15 【點(diǎn)評】 本題主要考查圓錐的體積和側(cè)面積的計(jì)算,要求熟練掌握圓錐的體積和側(cè)面積公式 7已知 , , ,其中 是基本單位向量,則 面積為 【考點(diǎn)】 三角形的面積公式 第 8 頁(共 21 頁) 【專題】 轉(zhuǎn)化思想;綜合法;解三角形 【分析】 根據(jù)平面向量的數(shù)量積以及坐標(biāo)運(yùn)算,求出向量的模長,判斷三角形是直角三角形,求出面積即可 【解答】 解:根據(jù)題意,得: =( 4, 3), =( 3, 4), = =( 7, 1), 2=42+32=25, 2=( 3) 2+42=25, 2=( 7) 2+12=50; | |2=| |2+| |2, 直角三角形,它的面積為 S= 55= 故答案為: 【點(diǎn)評】 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)平面向量的數(shù)量積以及坐 標(biāo)運(yùn)算,進(jìn)行解答,是基礎(chǔ)題 8在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6 門學(xué)科中選擇 3 門學(xué)科參加等級(jí)考試小明同學(xué)決定在生物、政治、歷史三門中至多選擇一門,那么小明同學(xué)的選科方案有 10 種 【考點(diǎn)】 排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【專題】 計(jì)算題;方程思想;綜合法;排列組合 【分析】 分類討論:選擇兩門理科學(xué)科,一門文科學(xué)科;選擇三門理科學(xué)科,即可得出結(jié)論 【解答】 解:選擇兩門理科學(xué)科,一門文科學(xué)科,有 種;選擇三門理科學(xué)科,有 1 種, 故共有 10 種 故答案為: 10 【點(diǎn)評】 本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ) 9若 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和,且 ,則 = 5 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【專題】 方程思想;極限思想;定義法;等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 設(shè)等差數(shù)列 公差為 d,由已知可得 的表達(dá)式,求極限可得 第 9 頁(共 21 頁) 【解答】 解:設(shè)等差數(shù)列 公差為 d, 則由 可得 = +5, 解得 d=10,故 = = =5+ , = ( 5+ ) =5 故答案為: 5 【點(diǎn)評】 本題考查等差數(shù)列的求和公式,涉及極限的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題 10若函數(shù) f( x) =2|x 1|且 f( x)在 m, +)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù) m 的最小值等于 1 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用;指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 先將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式,進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,結(jié)合已知可得答案 【解答】 解:函數(shù) f( x) =2|x 1|= , 則函數(shù) f( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 1, +), 若函數(shù) f( x) =2|x 1|且 f( x)在 m, +)上單調(diào)遞增, 則 m, +) 1, +), 即 m1, 即實(shí)數(shù) m 的最小值等于 1, 故答案為: 1 【點(diǎn)評】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,單調(diào)性的性質(zhì),難度中檔 11若點(diǎn) P、 Q 均在橢圓 ( a 1)上運(yùn)動(dòng), 橢圓 的左、右焦點(diǎn),則的最大值為 2a 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 第 10 頁(共 21 頁) 【專題】 數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 利用向量的平行四邊形法則可得: =2 ,代入再利用向量的三角形法則、橢圓的性質(zhì)即可得出 【解答】 解: =2 , = =2 2a, 的最大值為 2a, 故答案為: 2a 【點(diǎn)評】 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的平行四邊形法則與三角形法則,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題 12已知函數(shù) ,若實(shí)數(shù) a、 b、 c 互不相等,且滿足 f( a) =f( b) =f( c),則 a+b+c 的取值范圍是 ( 8, 10) 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【專題】 計(jì)算題;函數(shù)思想;數(shù)形結(jié)合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 作出 f( x)的函數(shù)圖象,由三角函數(shù)的對稱性可知 a+b=4,由交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得 4 c 6 【解答】 解:作出 f( x)的函數(shù)圖象如圖: f( a) =f( b) =f( c), 不妨設(shè) a b c,根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性可得 a+b=4且 4 c 6 a+b+c=4+c 8 a+b+c 10 故答案為( 8, 10) 第 11 頁(共 21 頁) 【點(diǎn)評 】 本題考查了分段函數(shù)的函數(shù)圖象,三角函數(shù)的對稱性,零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷,屬于基礎(chǔ)題 13我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的 “調(diào)日法 ”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法,其理論依據(jù)是:設(shè)實(shí)數(shù) x 的不足近似值和過剩近似值分別為 和 ( a, b, c, dN*),則 是 x 的更為精確的不足近似值或過剩近似值我們知道 =若令 ,則第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值,即 ,若每次都取最簡分?jǐn)?shù),那么第四次用 “調(diào)日法 ”后可得 的近似分?jǐn)?shù)為 【考點(diǎn)】 歸納推理 【專題】 計(jì)算題;方程思想;綜合法;推理和證明 【分析】 利用 “調(diào)日法 ”進(jìn)行計(jì)算,即可得出結(jié)論 【解答】 解:第二次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值,即 ; 第三次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值,即 , 第四次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值, 即 , 故答案為: 【點(diǎn)評】 本題考查 “調(diào)日法 ”,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ) 14數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 對任意 nN*,都有 ,則數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 3+2n 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【專題】 方程思想;轉(zhuǎn)化思想;等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 ,由 +1 3,解得 當(dāng) n=2k 13, kN*時(shí),1=1 3,變形為 2= ,利用等 比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 1,再利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解: , +1 3,解得 第 12 頁(共 21 頁) 當(dāng) n=2k 13, kN*時(shí), 1=1 3= 1+ +( 2k 1) 3化為: 21=3 +2 變形為 2= , 數(shù)列 2是等比數(shù)列,公比為 ,首項(xiàng)為 2 2= , 1= +2 數(shù)列 1的前 n 項(xiàng)和 = +2n = 3+2n 故答案為: 3+2n 【點(diǎn)評】 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題 二、選擇題(本大題滿分 20分)本大題共有 4題,每題只有一個(gè)正確答案 代表答案的小方格涂黑,選對得 5分,否則一律得零分 15若 a, bR,且 0,則 “a=b”是 “ 等號(hào)成立 ”的( ) A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既非充分又非必要條件 【考 點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【專題】 定義法;不等式的解法及應(yīng)用;簡易邏輯 【分析】 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可 【解答】 解: 0, 0, 當(dāng) a=b,則 + =1+1=2,此時(shí)等號(hào)成立, 第 13 頁(共 21 頁) + 2 =2,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即 a=b 時(shí)取等號(hào), 故 “a=b”是 “ 等號(hào)成立 ”的充要條件, 故選: A 【點(diǎn)評】 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵 16設(shè) f( x) =2+5x+100x4+其反函數(shù)的解析式為( ) A B C D 【考點(diǎn)】 反函數(shù) 【專題】 定義法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;二項(xiàng)式定理 【分析】 根據(jù)二項(xiàng)式定理:( 1+x) 5=1+5x+100x4+函數(shù)可寫成 y=1+( 1+x) 5,再求其反函數(shù)即可 【解答】 解:因?yàn)?y=f( x) =2+5x+100x4+1+1+5x+100x4+1+( 1+x) 5, 即 y=1+( 1+x) 5,所以, 1+x= , 因此, x= 1+ , 再交換 x, y 得, y= 1+ , 所以, f( x)的反函數(shù)的解析式為 f 1( x) = 1+ , xR, 故答案為: C 【點(diǎn)評】 本題主要考查了反函數(shù)及其解法,涉 及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,根式的運(yùn)算和函數(shù)定義域與值域的確定,屬于中檔題 17 內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,滿足 ,則角 A 的范圍是( ) A B C D 【考點(diǎn)】 余弦定理 【專題】 計(jì)算題;數(shù)形結(jié)合;分析 法;解三角形 第 14 頁(共 21 頁) 【分析】 由已知可得( a b+c)( a+b c) 理可得: b2+a2用余弦定理可得 = ,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解 A 的范圍 【解答】 解: , 又 由于三角形兩邊之和大于第三邊,可得 a+c b 0, a+b c 0,且 b, c 0, ( a b+c)( a+b c) 理可得: b2+a2 = , A( 0, ) 故選: B 【點(diǎn)評】 本題主要考查了余弦定理,余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合能力,屬于中檔題 18函數(shù) f( x)的定義域?yàn)?1, 1,圖象如圖 1 所示 ;函數(shù) g( x)的定義域?yàn)?1, 2,圖象如圖2 所示 A=x|f( g( x) =0, B=x|g( f( x) =0,則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象;交集及其運(yùn)算 【專題】 數(shù)形結(jié)合;定義法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;集合 【分析】 結(jié)合圖象,分別求出集合 A, B,再根據(jù)交集的定義求出 AB,問題得以解決 【解答】 解:由圖象可知, 若 f( g( x) =0, 則 g( x) =0 或 g( x) =1, 由圖 2 知, g( x) =0 時(shí), x=0,或 x=2, g( x) =1 時(shí), x=1 或 x= 1 第 15 頁(共 21 頁) 故 A= 1, 0, 1, 2, 若 g( f( x) =0, 由圖 1 知, f( x) =0,或 f( x) =2(舍去), 當(dāng) f( x) =0 時(shí), x= 1 或 0 或 1, 故 B= 1, 0, 1, 所以 AB= 1, 0, 1, 則 AB 中元素的個(gè)數(shù)為 3 個(gè) 故選: C 【點(diǎn)評】 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用,屬于中檔題 三、解答題(本大題滿分 74 分)本大題共有 5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 19如圖,三 棱柱 棱 底面 B=2, , , 點(diǎn),證明異面直線 D 所成角為 ,并求三棱柱 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【專題】 數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;空間位置關(guān)系與距離 【分析】 在 使用正弦定理得出 0,即 平 面 平面 是 出 用棱柱的體積公式求出棱柱的體積 【解答】 證明:在 ,由正弦定理得 ,即 , ,即 , 平面 面 第 16 頁(共 21 頁) 面 面 C=A, 平面平面 面 異面直線 成角為 , , , 三棱柱 =S = 【點(diǎn)評】 本題考查了線面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱柱的體積計(jì)算,屬于中檔題 20如圖,點(diǎn) A、 B 分別是角 、 的終邊與單位圓的交點(diǎn), ( 1)若 , ,求 ( 2)證明: ) = 【 考點(diǎn)】 兩角和與差的余弦函數(shù);任意角的三角函數(shù)的定義 【專題】 轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的求值 【分析】 ( 1)由條件利用二倍角公式,誘導(dǎo)公式,求得 值 ( 2)由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,證得公式成立 【解答】 解:( 1)由 ,可得 2 2) =2 ) 1= , , 2) = , ( 2)由題意可得, | |=| |=1,且 與 的夾角為 , =( =( =1 ), ) =立 第 17 頁(共 21 頁) 【點(diǎn)評】 本題主要考查二倍角公式,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于中檔題 21某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路 岸邊界 似地看成一條曲線段為開發(fā)旅游資源 ,需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道 直線 曲線 且僅有一個(gè)公共點(diǎn) P(即直線與曲線相切),如圖所示若曲線段 函數(shù) 圖象的一段,點(diǎn) M 到距離分別為 8 千米和 1 千米,點(diǎn) N 到 0 千米,點(diǎn) P 到 距離為 2 千米以 l1、別為 x、 y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ( 1)求曲線段 函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域; ( 2)求直線 方程,并求出公路 長度(結(jié)果精確到 1 米) 【考點(diǎn)】 根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型;函數(shù)解析式的求解及常用方法 【專題】 應(yīng)用題;函數(shù)思想;數(shù)學(xué)模型法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 ( 1)由題意得 M( 1, 8),則 a=8,故曲線段 函數(shù)關(guān)系式為 ,可得其定義域; ( 2)根據(jù)直線和曲線相切,利用判別式 =0 進(jìn)行求解即可 【解答】 解:( 1)由題意得 M( 1, 8),則 a=8,故曲線段 函數(shù)關(guān)系式為 , 又得 ,所以定義域?yàn)?1, 10 ( 2)由( 1)知 P( 2, 4),設(shè)直線方程為 y 4=k( x 2), 聯(lián)立方程 ,得 ( 2 k) x 8=0, 由判別式 =0 得 4( 2 k) 2+32k=4( k+2) 2=0,得 k= 2, 即直線 方程為 y= 2x+8, 當(dāng) x=0 時(shí), y=8,當(dāng) y=0 時(shí), x=4, 即 A( 0, 8), B( 4, 0), 則 =4 8944 米 【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)的應(yīng)用問題,利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵 第 18 頁(共 21 頁) 22已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn) ,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 E: x 的焦點(diǎn)重合,斜率為 k 的直線 l 交拋物線 E 于 A、 B 兩點(diǎn),交橢圓 于 C、 D 兩點(diǎn) ( 1)求橢圓 的方程; ( 2)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) F( 1, 0),設(shè)點(diǎn) P( 1, k),且 面積為 ,求 k 的值; ( 3)若直線 l 過點(diǎn) M( 0, 1),設(shè)直線 斜率分別為 成等差數(shù)列,求直線 l 的方程 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【專題】 綜合題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 ( 1)設(shè)橢圓方程為 =1( a b 0),由橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn) ,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 E: x 的焦點(diǎn)重合,列出方程組求出 a, b,由此能求出橢圓 的方程 ( 2)設(shè)直線 l: y=k( x 1),由 ,得 2( ) x+,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式,結(jié)合已知條件能求出 k 的值 ( 3)設(shè)直線 l: y=1,代入橢圓,得( 4) 88=0,由此利用 M( 0, 1)在橢圓內(nèi)部,得 l 與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn),根據(jù)韋達(dá)定理、等差數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合已知條件能求出直線 l 的方程 【解答】 解:( 1)設(shè)橢圓方程為 =1( a b 0), 由題設(shè) , 解得 , , 橢圓 的方程為 ( 2)設(shè)直線 l: y=k( x 1), 由 ,得 2( ) x+, l 與拋物線 E 有兩個(gè)交點(diǎn), k0, 第 19 頁(共 21 頁) =16( ) 0, 則 | = , P( 1, k)到 l 的距離 d= , 又 , =4 ,即 4, 解得 k= ( 3)設(shè)直線 l: y=1,由 ,得( 4) 88=0, M( 0, 1)在橢圓內(nèi)部, l 與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn), 設(shè) C( D( 則 , , 由 成等差數(shù)列, 得 = = = = = = = , 解得 k= , 直線 l 的方程為 y= 【點(diǎn)評】 本題考查橢圓方程、直線斜率、直線方程的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式,等差數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用 23已知數(shù)列 各項(xiàng)均為整數(shù),其前 n 項(xiàng)和為 定:若數(shù)列 足前 r 項(xiàng)依次成公差為 1的等差數(shù)列,從
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