廣東省2016年全國卷適應(yīng)性考試文科數(shù)學(xué)試題含答案解析

1 2016 年適應(yīng)性考試 文科數(shù)學(xué) 一、選擇題 :本大題 共 12 小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 在每小題給出的四個選項中 ,只有一項是符合題目要求的 1已知 集合 2 5 6 0 A x x x ， 2 1，則 （ ） A 2,3 B (0, ) C (0 , 2 ) (3, )U D (0, 2 3, )U 【答案】 A 【解析】 2,3A ， (0, )B ， 2, 3 2設(shè)復(fù)數(shù)1 3 2，2 1， 則122（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 D 【解析】12223 2 z 3 2 i ( 1 i ) 4 3 i 5 3 甲，乙，丙三名學(xué)生隨機站成一排，則甲站在邊上的概率為（ ） A 13B 23C 12D 56【答案】 B 【解析】 甲 任意站位有 3 種， 甲站在邊上的 情況有 2 種， 23P 4 設(shè) , ，若 是真命題， 那么 （ ） A p 是真命題 且 q 是假命題 B p 是真命題 且 q 是 真 命題 C p 是 假 命題 且 q 是 真 命題 D p 是真命題 且 q 是假命題 【答案】 C 5已知等比數(shù)列 310，4654，則 ） A412nB312nC31 42n D21 62n 【答案】 A 【解析】3 461318 ， 12q 由1310，得1 8a， 111 4118 ( )22na a q 2 6 執(zhí)行 如圖 的程序框圖，如果輸入的 10N ， 則輸出的 x （ ） A B C D 1 【答案】 C 【解析】 1 1 1 11 2 2 3 3 4 9 1 0x 1 1 1 1 1 1 1 9( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 9 1 0 1 0 7 三角函數(shù) ( ) s i n ( 2 ) c o s 26f x x x 的振幅 和最小正周期分別是（ ） A 3,2B 3, C 2,2D 2, 【答案】 B 【解析】 ( ) s i n c o s 2 c o s s i n 2 c o s 266f x x x x 3 3 3 1c o s 2 s i n 2 3 ( c o s 2 s i n 2 )2 2 2 2x x x x 3 c o s ( 2 )6x ，故選 B 8 (2016 廣東適應(yīng)性考試 )已知過 球面上有三點 , 截面 到球心 的距離 是 球半徑的一半， 且2A B B C C A ，則此球的半徑是 （ ） A 34B 1 C 43D 2 【答案】 C 【解析】 設(shè) 外接圓的半徑為 r ， 則 233r 設(shè)球的半徑為 R ，則 2 2 21()2R R r， 43R 9 在等腰三角形 ， 150Ao ， 1C，則 C（ ） A 3 12B 3 12C 3 12 D 3 12 【答案】 A 【解析】 2()A B B C A B A C A B A B A C A B u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 31 1 c o s 1 5 0 1 12 o 10 已知 橢圓 22 1 ( 0 )xy 的離心率為 53，橢圓上一點 P 到兩焦點距離之和為 12 ，則 b（ ） A 8 B 6 C 5 D 4 【答案】 D n = n + 1x= x+1n (n + 1 ) 1 ,x= 0是否開始輸入 N 3 【解析】 依題意 2 12a ， 6a 53ce a， 25c ， 4b 11 某 幾何體的三視圖如圖 所示 ， 圖中的四邊形都是邊長為 2 的正方形，兩條虛線互相垂直且相等，則該幾何體的體積是（ ） A 203B 163C 86D 83【答案】 A 【解 析】由三視圖可知幾何體是正方體挖去 正四棱錐 而成的 321 2 02 2 133V 12 已知 是第二象限的角，其終邊上的一點為 ( , 5)且 2x ，則 （ ） A 155B 153C 155D 153【答案】 D 【解析】 2 5， 2x ， 2245x 是第二象限的角， 0x ， 21245x ， 3x ， 5 5 1 5t a 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 13 已知實數(shù), ，若目標(biāo)函數(shù)2z x 僅 在點 (3,4) 處取得最 小 值，則 _ 【答案】( , 2)【解析】不等式組表示的平面區(qū)域的角點坐標(biāo)分別為 (1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 3 , 4 )A B C, 2， 64 6 4 264，解得 2a 正視圖 側(cè)視圖俯視圖 4 14 已知雙曲線 22216 13的左焦點在拋物線 2 2y 的準(zhǔn)線上，則 p _ 【答案】 4 【解析】 2 23 ( )1 6 2， 4p 15 已知 () 的單調(diào)減的奇函數(shù)，若 ( 3 1 ) (1 ) 0f x f ，則 x 的取值范圍 是 _ 【答案】2( , 3【解析】 () ( 3 1 ) (1 ) 0f x f ， ( 3 1 ) ( 1 )f x f ， 3 1 1x ， 23x 16 頂點在單位圓上的 ， 角 ,對應(yīng)的邊分別為 ,若 3， 224，則_ 【答案】 34【解析】 頂點在單位圓上的 ， 32 s i n 2 1 32a R A 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 3， 且 2 ， A ， 3A ， 1 13s i b c A 5 三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 17（本小題滿分 12 分） 數(shù)列 n 項和，且對任意的 *nN ，均有 222 （ 1） 求1 （ 2）求 數(shù)列 【解析】 （ 1） 222 242n n nS a a 21 1 142S a a,， 21 1 142a a a， 11( 2) 0， 0， 1 2a （ 2） 242n n nS a a, 當(dāng) 2n 時， 21 1 142n n nS a a ， 得， 22114 2 2n n n n na a a a a 22112 2 0n n n na a a a ， 22112 2 0n n n na a a a ， 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) 0n n n n n na a a a a a ， 11( ) ( 2 ) 0n n n na a a a ， 1 2， 數(shù)列 以 2 為首項，公差為 2 的等差數(shù)列， 2 ( 1 ) 2 2na n n ， 1 2 2 1a ， *2 , n n 6 18（本小題滿分 12 分） 某學(xué)校的籃球興趣小組為調(diào)查該校男女學(xué)生對籃球的喜好情況 ，用簡單隨機抽樣方法調(diào)查了該校 100名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下 ： 28122535是否喜歡籃球否是女生男生性別（ 1） 該校共有 500名學(xué)生，估計有多少學(xué)生喜好籃球？ （ 2）能否有 99 %的把握認為該校 的 學(xué)生 是否喜歡籃球與 性別 有關(guān)？說明原因； 50 名女生中按是否看營養(yǎng)說明采取分 （ 3） 已知在喜歡籃球的 12名女生中， 6 名女生 （分別記為1 2 3 4 5 6, , , , , )P P P P P 2 名女生 (分別記為12,時喜歡羽毛球， 4 名女生 (分別記為1 2 3 4, , , )V V V 現(xiàn)從喜歡乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人，求12, 附： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b a c b d c d ， n a b c d 參考數(shù)據(jù)： )( 02 【解析】（ 1） 100名學(xué)生有 47 名學(xué)生喜好籃球， 500 名學(xué)生中，估計有 475 0 0 2 3 5100名 學(xué)生喜好籃球 （ 2） 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b a c b d c d 21 0 0 ( 3 5 2 8 2 5 1 2 ) 5 7 8 0 0 7 . 7 3 4 5 4 7 4 0 5 3 6 0 7 4 7 3 由于 7 4 5 6 5 ， 有 99 %的把握認為該校 的 學(xué)生 喜歡籃球與 性別 有關(guān) （ 3） 從喜歡乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人 的基本事件為 ： 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V，1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 4 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 5 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4, , ,P B V P B P B V P B V， 5 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 6 1 1 6 1 2 6 1 3 6 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V，共 48 個 ， 其中 12, 基本事件為 ： 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V，共 4 個 ， 12,被選中 的 基本事件 有 44 個 ， 12,被選中 的 的概率 為 44 1148 12P 7 19（本小題滿分 12 分） 如圖 所示 ，在 直 三棱柱 中， 底面 棱 C ，且 2C 點 G 、 H 在棱，且 1G H H G G F （ 1）證明： 平面 （ 2）求點 C 到平面 距離 【解析】（ 1） 證明： 設(shè) 點 O ， 在 直 三棱柱 中， 90G C B H F E o, 2 , 1A B B C G H H G G F ， 2 , 2B C C G F E F H ， 4 5 , 4 5C B G C G B F H E F E H 90F H E C G B o， 即 90G H O H G O o， 90o ， B 直 三棱柱 中， ,A B B E A B B C B E B C B I， 平面 平面 H B BI ， 平面 平面 平面 （ 2） 設(shè) 點 C 到平面 距離為 d C A B G A B C ， 1133A B G B C GS d S A B ， 1 1 1 13 2 3 2A B B G d B C C G A B ， A B B G d B C C G A B ， 2 2 2 2 2 2d ， 2d 點 C 到平面 距離為 2 20（本小題滿分 12 分） 已知點 1( ,0)2:2 P 為平面上的動點，過 P 作直線 l 的垂線，垂足為 Q ，且Q P Q F F P F Q （ 1）求動點 P 的軌跡 C 的方程 ； （ 2）設(shè)圓 M 過點 (1,0)A 且圓心 M 在 P 的軌跡 C 上， 12, 在 y 軸上截得的弦，證明弦長12 【解析】（ 1） 設(shè) 動點 ( , )Px y ， 則 1( , )2 11( , 0 ) , ( 1 , ) , ( , ) , ( 1 , )22Q P x Q F y F P x y F Q y u u ur u u ur u u ur u u Q P Q F F P F Q 11( , 0 ) ( 1 , ) ( , ) ( 1 , )22x y x y y ， 21122x x y ，即 2 2 動點 P 的軌跡 C 的方程為 2 2 （ 2） 設(shè) 圓心 2001( , )2M y y，則 圓 M 的方程為 2 2 2 2 2 20 0 0 011( ) ( ) ( 1 ) ( 0 )22x y y y y y ， 2 2 2 20 0 02 1 0x y y x y y y ， 令 0x ，得 22002 1 0y y y y 2200( 2 ) 4 ( 1 ) 4 0 設(shè) 1 1 2 2( 0 , ) , ( 0 , )E y E y，則 21 2 0 1 2 02 , 1y y y y y y ， 2 221 2 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 4E E y y y y y y 2200( 2 ) 4 ( 1 ) 4 ， 弦長 12一個常數(shù)，且常數(shù)為 2 9 21（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) ( ) l o g ( 1 ) ( 0 , 1 )af x x a a （ 1）當(dāng) 1a 時，證明： 1 2 1 2, ( 1 , ) ,x x x x ，有 1 2 1 2( ) ( )()22x x f x f ； （ 2）若曲線 ()y f x 有經(jīng)過點 (0,1) 的切線，求 a 的取值范圍 【解析】（ 1）證明： ( ) l o g ( 1 ) ( 0 , 1 )af x x a a ， 1a ，1 2 1 2, ( 1 , ) ,x x x x ， 121 0 , 1 0 ，1211 ， 1 2 1 212( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 )22x x x x ， 1 2 1 212( ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ( 1 )22 x x xf x x 121 l o g ( 1 ) ( 1 )2 a 1212 ( ) ( )11l o g ( 1 ) l o g ( 1 )2 2 2aa f x f ， 1 2 1 2( ) ( )()22x x f x f （ 2） () 1, ) ， 若曲線 ()y f x 在點 ( , ( )x f x 處的切線經(jīng)過點 (0,1) ， 則應(yīng)有 ( ) 1 ()fx ，即 l o g ( 1 ) 1 1( 1 ) l na xx x a ( 1 ) l n l o g ( 1 ) 1 0ax a x x （ 1x ） ， （ *）有解 1( 1 ) l n l o g 0a xx a ， 11 ) l n 0a ， 1 ， l n ( 1 ) l ， l n l n ( 1 )1x ， 令 ( ) l n ( 1 )1xg x x x ，則2211() 1 ( 1 ) ( 1 )x x x ， 令 ( ) 0 ，解得 0x ， 令 ( ) 0 ，解得 10x ， () 1,0) 上單調(diào)減，在 (0, ) 上單調(diào)增， ( ) ( 0 ) 0g x g， a ， 1a 10 （ 2） ()為 ( 1, ) ， 若曲線 ()y f x 在點 ( , ( )x f x 處的切線經(jīng)過點 (0,1) ， 則應(yīng)有 ( ) 1 ()fx ，即 l o g ( 1 ) 1 1( 1 ) l na xx x a ( 1 ) l n l o g ( 1 ) 1 0ax a x x （ 1x ） , （ *）有解 設(shè) ( ) ( 1 ) l n l o g ( 1 ) 1 aF x x a x x （ 1x ）， 則 1( ) l o g ( 1 ) 1 l n ( 1 ) l n 1 l o g ( 1 ) 1 l n( 1 ) l x x a x a x , 令 ( ) 0 ，解得 1 當(dāng) 1時， ( ) 0 ，當(dāng) 1時， ( ) 0 ， ( 1) 1F a a 是 () 因此，當(dāng) 10a，即 01a時，方程（ *）無解， 曲線 ()y f x 沒有經(jīng)過點 (0,1) 的切線 當(dāng) 10a 時，由于 e 1 1 時， ( e 1 ) e l n ( l o g e 1 ) e 1 1 0aF a a a a a , 方程（ *）有解，故曲線 ()y f x 有經(jīng)過點 (0,1) 的切線 11 請考生在 22、 23、 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 。作答時請寫清楚題號 22（本小題滿分 10分）選修 4何證明選講 如圖所示， 半圓 O 的直徑， C ，垂足為 D ， F ， 別交于點 E 、G （ 1）證明： D ； （ 2） 證明： E 【解析】 （ 1） 連接 F ， F ， 點 G 是 中點， F 直徑， F /F ， 9 0 , 9 0D A O A O B F B C F C B ， D （ 2） 在 與 中， 由 （ 1） 知 D A O G