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文檔簡介
題庫 教師版 1 知識點說明: 盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況分配不足時,稱之為“虧”,分配有余稱之為“盈”;還有些實際問題,是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時,如果每人少分,則物品就有余 (也就是盈 ),如果每人多分,則物品就不足 (也就是虧 ),凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題” 可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式: (盈 虧 ) 兩次分得之差 人數(shù)或單位數(shù) (盈 盈 ) 兩次分得之差 人數(shù)或單位數(shù) (虧 虧 ) 兩次分得之差 人數(shù)或單位數(shù) 物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出 題兩次都有余或兩次都不足,不管哪種 情況,都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題” . 注意 板塊一、 直接計算型 盈虧問題 【例 1】 三 年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動 如果每人搬 4 塊磚,還剩 7 塊;如果每人搬 5 塊,則少 2 塊磚 這個班少先隊有幾個人?要搬的磚共有多少塊? 【解析】 比較兩種搬磚法中各個量之間的關(guān)系:每人搬 4 塊,還剩 7 塊磚;每人搬 5 塊,就少 2 塊 這兩次搬磚,每人相差 5 4 1(塊)第一種余 7 塊,第二種少 2 塊,那么第二次與第一次總共相 差磚數(shù): 7 2 9 (塊),每人相差 1 塊,結(jié)果總數(shù)就相差 9 塊,所以有少先隊員 9 1 9 (人)共有磚: 4 9 7 43 (塊) 【鞏固】 明明過生日,同學們?nèi)ソo他買蛋糕,如果每人出 8 元,就多出了 8 元;每人出 7 元,就多出了 4元那么有多少個同學去買蛋糕?這個蛋糕的價錢是多少? 【解析】 “多 8 元”與“多 4 元”兩者相差 8 4 4(元),每個人要多出 8 7 1(元),因此就知道,共有 4 1 4 (人),蛋糕價錢是 8 4 8 24 (元) 【鞏固】 老猴子給小猴子分桃,每只小猴分 10 個桃,就多出 9 個桃,每只小猴分 11 個桃則多出 2 個桃,那么一共有多少只小猴子?老猴子一共有多少個桃子? 【解析】 老猴子的第一種方案盈 9 個桃子,第二種方案盈 2 個,所以盈虧總和是 9 2 7 (個),兩次分配之差是 11 10 1(個),由盈虧問題公式得,有小猴子: 7 1 7 (只),老猴子有 7 10 9 79 (個)桃子 . 【鞏固】 有一批練習本發(fā)給學生,如果每人 5 本,則多 70 本,如果每人 7 本,則多 10 本,那么這個班有多少學生,多少練習本呢? 【解析】 由題意知:第一種方案:每人發(fā) 5 本多出 70 本;第二種方案:每人發(fā) 7 本多出 10 本;兩種方案分配結(jié)果相差: 70 10 60 (本),這是因為兩次分配中每人所發(fā)的本數(shù)相差: 7 5 2 (本),相差 60 本的學生有: 60 2 30 (人) 練習本有: 30 5 70 220 (本)(或 30 7 10 220 ) 【例 2】 ( 2007 年“走進美妙的數(shù)學花園”初賽)猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃下午收工后,猴王開始分配若大猴分 5 個,小猴分 3 個,猴王可留 10 個若大、小猴都分 4 個,猴王能留下 20 個在這群猴子中,大猴(不包括猴王)比小猴多 只 盈虧問題 題庫 教師版 1 【詳解】 當大猴分 5 個,小猴分 3 個時,猴王可留 10個 若大、小猴都分 4 個,猴王能留下 20 個 也就是說在大猴分 5 個,小猴分 3 個后,每只大猴都拿出 1 個,分給每只小猴 1 個后,還剩下 20 10 10個,所以大猴比小猴多 10只 【鞏固】 學而思學校新買來一批書, 將它們分給幾位老師, 如果每人發(fā) 10 本,還差 9 本,每人發(fā) 9 本,還差 2 本,請問有多少 老師 ?多少本書? 【解析】 “差 9 本”和“差 2 本”兩者相差 9 2 7 (本),每個人要多發(fā) 10 9 1 (本),因此就知道,共有老師 7 1 7 (人),書有 7 10 9 61 (本) 【鞏固】 幼兒園給獲獎的小朋友發(fā)糖,如果每人發(fā) 6 塊就 少 12 塊,如果每人發(fā) 9 塊就 少 24 塊,總共有多少塊糖呢? 【解析】 由題意知:兩次的分配結(jié)果相差: 24 12 12(塊),這是因為第一次與第二次分配中每人相差:9 6 3 (塊),多少人相差 12 塊呢? 12 3 4 (人),糖果數(shù)是: 6 4 12 12 (塊)(或9 4 24 12 ) 【鞏固】 王 老師去琴行買兒童小提琴,若買 7 把,則所帶的錢 差 110 元;若買 5 把,則所帶的錢還 多 30元,問兒童小提琴多少錢一把?王老師一共帶了多少錢? 【解析】 本題購物的兩個方案,第一個方案: 買 7 把差 110 元, 第二個方案: 買 5 把還 多 30 元,從買 7把變成買 5 把,少買了 7 5 2 (把),而錢的差額 為: 110 30 140 (元),即 140 元可以買 2把小提琴,可見小提琴的單價是每把 70 元 ,王老師一共帶了 7 0 7 1 1 0 3 8 0 (元) . 【鞏固】 工人運青瓷花瓶 250 個,規(guī)定完整運到目 的地一個給運費 20 元,損壞一個倒賠 100 元運完這批花瓶后,工人共得 4400 元,則損壞了多少個 ? 【解析】 本題 中 “ 損壞一個倒賠 100 元 ” 的意思是運一 個 完好的花瓶與損壞 1 個 花瓶相差 100 20 120( 元 ) ,即損 1 個 花瓶不但得不到 20 元的運費,而且要付出 120 元本例可假設 250 個 花瓶都完好,這樣可得運費 20 250 5000 ( 元 ) 這樣比實際多得 5 0 0 0 4 4 0 0 6 0 0( 元 ) 就是因為有損壞的瓶子,損壞 1 個 花瓶相差 120 元現(xiàn)共相差 600 元,從而求出共損壞多少 個 花瓶根據(jù)以上分析,可得 損壞了 2 0 2 5 0 4 4 0 0 1 0 0 2 0 5 ( ) ( )(個) 【例 3】 某校安排學生宿舍,如果每間住 5 人則有 14 人沒有床 位;如果每間住 7 人,則多出 4 個床位,問宿舍幾間 ?住宿生幾人 ? 【解析】 由已知條件 每間 5 人 少 14 個床位 每間 7 人 多 4 個床位 比較兩次分配的方案,可以看出,由于第二種方案比第一種每間多住 (7 5) 2人, 一共要多出 (14 4) 18 個床位,根據(jù)兩種方案每間住的人數(shù)的差和床位差,可以求出宿舍間數(shù),然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù) 解: ( 4 1 4 ) ( 7 5 ) = 9 (間 ) 5 9 14 59 (人 ),或 7 9 4 59 (人 ) 【鞏固】 學 校有 30 間 宿舍,大宿舍每間住 6 人,小宿舍每 間 住 4 人已知這些宿舍中共住了 168 人,那么其中有 多少 間 大 宿舍? 【解析】 如 果 30 間都是小宿舍,那么只能住 4 30 120 (人),而實際上住了 168 人大宿舍比小宿舍每間多住 6 4 2 (人),所以大宿舍有 1 6 8 1 2 0 2 2 4 ( ) (間) (這是一個雞兔同籠,放在這里做對比) 【鞏固】 智康學校三年級精英班的一部分同學分糖果,如果每人分 4 粒就多 9 粒,如果每人分 5 粒則少 題庫 教師版 1 粒,問:有多少位同學分多少粒糖果? 【解析】 由題目條件知道,同學的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變,比較兩種分配方案,第一種每人分 4 粒就多 9粒,第二種每人分 5 粒則少 6 粒,兩種不同 方案一多一少差 9+6=15(粒),相差原因在于兩種方案分配數(shù)不同,兩次分配數(shù)之差為: 5(粒),每人相差一粒, 15 人相差 15 粒,所以參與分糖果的同學的人數(shù)是 15 1=15(位),糖果的粒數(shù)為: 4 15+9=69(粒) . 【鞏固】 秋 天到了,小白兔收獲了一筐蘿卜,它按照計劃吃的天數(shù)算了一下,如果每天吃 4 個,要多出48 個蘿卜;如果每天吃 6 個,則又少 8 個蘿卜那么小白兔買回的蘿卜有多少個?計劃吃多少天? 【解析】 題 中告訴我們每天吃 4 個,多出 48 個蘿卜;每天吃 6 個,少 8 個蘿卜 觀察每天吃的個數(shù)與蘿卜剩余個數(shù)的變化就能看出,由 每天吃 4個變?yōu)槊刻斐?6個,也就是每天多吃 2個時,蘿卜從多出 48 個到少 8 個,也就是所需的蘿卜總數(shù)要相差 48 8 56(個) 從這個對應的變化中可以看出,只要求 56里面含有多少個 2,就是所求的計劃吃的天數(shù);有了計劃吃的天數(shù),就不難求出共有多少個蘿卜了吃的天數(shù):( 48 8)( 6 4) 56 2 28(天),蘿卜數(shù): 6 28 8 160(個)或 4 28 48 160(個) 板塊二、條件 關(guān)系 轉(zhuǎn)換型 盈虧問題 【例 4】 貓 媽媽給小貓分魚,每只小貓 分 10 條魚,就多出 8 條魚,每只小貓 分 11 條魚則正好分完,那么一共有多少只小貓 ?貓媽媽一共有多少條魚? 【解析】 貓媽媽的第一種方案盈 8 條魚,第二種方案不盈不虧,所以盈虧總和是 8 條,兩次分配之差是11 10 1(條),由盈虧問題公式得,有小貓: 8 1 8 (只),貓媽媽有 8 10 8 88 (條)魚 【鞏固】 學而思學校三年級基礎(chǔ)班的一部分同學分小玩具,如果每人分 4 個就少 9 個,如果每人分 3 個正好分完,問:有多少位同學分多少個小玩具? 【解析】 第一種分配方案虧 9 個小玩具 ,第二種方案不盈不虧,所以 盈虧總和是 9 個 ,兩次分配之差是 :4 3 1(個),由盈虧問題公式得,參與分玩具 的同學有: 9 1 9(人),有小玩具 9 3 27 (個 ) 【鞏固】 學而思學校買來一批小足球分給各班:如果每班分 4 個,就差 66 個,如果每班分 2 個,則正好分完,學而思 小學一共有多少個班?買來多少個足球? 【解析】 第一種分配方案虧 66個球,第二種方案不盈不虧,所以盈虧總和是 66個,兩次分配之差是 4 2 2(個),由盈虧問題公式得,朝陽小學有: 66 2 33 (個)班,買來足球 33 2 66 (個) . 【鞏固】 一 位老師給學生 分糖果,如果每人分 4 粒就多 9 粒,如果每人分 5 粒正好分完,問:有多少位學 生?共 多少粒糖果? 【解析】 第 一種分配方案盈 9 粒糖,第二種方案不盈不虧,所以盈虧總和是 9 粒,兩次分配之差是 5 4 1(粒),由盈虧問題公式得,參與分糖的同學有: 9 1 9 (人),有糖果 9 5 45 (粒) 【鞏固】 實驗小學學生乘車去春游,如果每輛車坐 60 人,則有 15 人上不了車;如果每輛車多坐 5 人,恰好多出一輛車 少個學生? 【解析】 沒 輛車坐 60 人,則多余 15 人,每輛車坐 60+5=65人,則多出一輛車,也就是差 65 人 65+15) 5=80 5=16(輛) . 學生人數(shù)為: 60( 16+15=60 15+15=900+15=915(人) . 【例 5】 甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的 信紙,甲每封信用 2 張信紙,乙每封信用 3 張信紙,一段時間后,甲用完了所有的信封還剩下 20 張信紙,乙用完所有信紙還剩下 10 個信封,則他們每人各買了多少張信紙? 題庫 教師版 1 【解析】 由 題意,如果乙用完所有的信封,那么缺 30 張信紙這是盈虧問題,盈虧總額為 (20 30)張信紙, 兩次分配的差為 (3 2)張信紙,所以有信封 (20 30) (3 2) 50(個 ),有信紙 2 50 20 120(張 ) 【例 6】 幼 兒園將一筐蘋果分給小朋友,如果全部分給大班的小朋友,每人分 5 個,則余下 10 個。如全部分給小班的小朋友,每人分到 8 個,則缺 2 個。 已知大班比小班多 3 人,問:這筐蘋果共有多少個? 【解析】 先把大班人數(shù)和小班人數(shù)轉(zhuǎn)化為一樣。大班減少 3人,則蘋果又收回 3 5 15 個蘋果,人數(shù)一樣,根據(jù)盈虧問題公式,小班人數(shù)為: (1 5 1 0 2 ) ( 8 5 ) 9 人,蘋果總數(shù)是 8 9 2 70 個。 【鞏固】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友如果分給大班的小朋友,每人 5 粒就缺 6 粒如果分給小班的小朋友,每人 4 粒就余 4 粒已知大班比小班少 2 個小朋友, 這袋糖果共有多少粒? 【解析】 如 果大班增加 2 個小朋友,大、小班人數(shù)就相等了,變?yōu)椤懊咳?5 粒缺 16 粒,每人 4 粒多 4 ?!?的盈虧問題小班有 (16 4) (5 4) 20(人 )這袋糖果有 4 20 4 84(粒 ) 【例 7】 有 一些糖,每人分 5 塊則多 10 塊,如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的 ,那么每人 4 塊就少兩塊,這些糖共有多少塊? 【解析】 第一次 每人分 5 塊,第二次每人分 4 塊,可以認為原有的人每人拿出 5 4 1 塊糖分給新增加的人,而新增加的人剛好是原來的一半,這樣新增加的人每人可分到 2 塊糖果,這些人每人還差 4 2 2塊,一共差了 10 2 12 塊,所以新增加了 12 2 6 人,原有 6 2 12 人 糖果數(shù)為:12 5 10 70 (塊 ) 【鞏固】 臥龍 自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓,每只大熊貓分 5 個還多余 10 棵竹子,如果大熊貓數(shù)增加到 3 倍還少 5 只,那么每只大熊貓分 2 棵竹子還缺少 8 棵竹子,問有大熊貓多少只,竹子多少棵? 【解析】 使 同學們 感到困難的是條件“ 3 倍還少 5 只大熊貓 ” 先要轉(zhuǎn)化這一條件,假設還有 10 棵竹子 ,10 2 5 , 就可以多有 5 個 大熊貓 ,把“少 5 只 大熊貓 ”這一條件暫時擱置一邊,只考慮 3 倍大熊貓 數(shù),也相當于按原 大熊貓 數(shù)每 只大熊貓 給 2 3 6 (棵 )竹子 ,每 只大熊貓 給 5 棵 與給 6 棵 ,總數(shù)相差 10 10 8 28 (棵 ),所以原有 大熊貓 數(shù) 2 8 (6 5) 2 8 (只 ),竹子 總數(shù)是5 28 10 150 (棵 ) 【鞏固】 體育 隊將一些羽毛球分給若干個人,每人 5 個還多余 10 個羽毛球,如果人數(shù)增加到 3 倍,那 么每人分 2 個羽毛球還缺少 8 個,問有羽毛球多少個? 【解析】 考 慮人數(shù)增加 3 倍后,相當于按原人數(shù)每人給 2 3 6(個),每人給 5 個與給 6 個,總數(shù)相差10 8 18 (個),所以原有人數(shù) 18( 6 5) 18(人),乒乓球總數(shù)是 5 18 10 100(個) 【例 8】 王老師給小朋友分蘋果和桔子,蘋果數(shù)是桔子數(shù)的 2 倍 個,多 4 個;蘋果每人分7 個,少 5 個 少個蘋果和桔子? 【解析】 因 為桔子每人分 3 個多 4 個,而蘋果是桔子的 2 倍,因此蘋果每人分 6 個就多 8 個 個少 5個,所以應有( 8+5)( 6=13(人) . 蘋果個數(shù)為 13 76(個) . 桔子數(shù)為 13 3+4=43(個) . 答:有 13個小朋友, 86個蘋果和 43 個桔子 . 【鞏固】 學而思學校買來一批體育用品,羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍,分給同學們,每組分乒乓球拍 5副,余乒乓球拍 15 副,每組分羽毛球拍 14 副,則差 30 副,問:學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副? 【解析】 因為羽毛球拍是乒乓球拍的 2倍,如果每次分羽毛球拍 5 2=10(副),最后應余下 15 2=30(副),題庫 教師版 1 因為 142=4(副),分到最后還差 30副,所以比每次分 10副總共差 30+30=60(副),所以有小組: 60 4=15(組),乒乓球拍有: 5 15+15=90(副),羽毛球拍 90 2=180(副) . 【例 9】 用一根長繩測量井的深度,如果繩子兩折時,多 5 米;如果繩子 3 折時,差 4 米 【解析】 井的深度為:( 5 2+4 3)( 3=22 1=22(米) . 繩子長度為:( 22+5) 2=27 2=54(米),或者 ( 22 3=18 3=54(米) . 【例 10】 樂樂有一個儲蓄筒,存放的都是硬幣,其中 2 分幣比 5 分幣多 22 個;按錢數(shù)算, 5 分幣卻比 2分幣多 4 角;另外,還有 36 個 1 分幣樂 樂共存了多少錢 ? 【解析】 假設去掉 22 個 2 分幣,那么按錢數(shù)算, 5 分幣比 2 分幣多 8 角 4 分,一個 5 分幣比一個 2 分幣多3 分,所以 5 分幣有: 8 4 5 2 2 8 ( ) ( 個 ); 2 分幣有: 28 22 50( 個 ) 所以樂樂共存錢: 5 2 8 2 5 0 1 3 6 1 4 0 1 0 0 3 6 2 7 6 ( 分 ) 【例 11】 陽光小學 學生乘汽車到香山春游如果每車坐 65 人,則有 5 人不能乘上車;如果每車多坐 5 人,恰多余了一輛車,問一共有幾輛汽車,有多少學生? 【解析】 每車多坐 5 人,實際是每車可坐 5 65 70 (人 ),恰好多余了一輛車,也就是還差一輛汽車的人,即 70 人因而原問題轉(zhuǎn)化為:如果每車坐 65 人,則多出 5 人無車乘坐;如果每車坐 70 人,還少 70 人,求有多少人和多少輛車?車數(shù)是 5 5 6 5 5 1 5 ( ) (輛 ),人數(shù)是 65 15 5 980 (人 )或 5 6 5 1 5 1 9 8 0 ( ) ( ) (人 ) 【鞏固】 幸福 小學少先隊 的同學到會議室開會,若每條長椅上坐 3 人則 多出 7 人,若每條長椅上 多 坐 4人則多 出 3 條長椅問:到會議室開會的少先 隊 員 有多少人? 【解析】 第 二個條件可轉(zhuǎn)化為:“每條長椅上坐 7 個人,則少 21 個人”, “多 7 人”與“ 少 21 人”兩者相差 7 21 28 (人 ),每條長椅要多 坐 7 3 4 (人 ),因此就知道,共有 28 4 7 (條 )長椅,人數(shù)是 7 3 7 28 (人 ) 【鞏固】 智康 小合唱隊的同學到會議室開會,若每條長椅上坐 3 人則多出 9 人,若每條長椅上坐 4 人則多出 3 人 唱隊有多少人? 【解析】 “多 9人”與“多 3 人”兩者相差 9 3 6(人),每條長椅要多座 4 3 1(人),因此就知道,共有 6 1 6(條)長椅,人數(shù)是 6 3+9 27(人) 【鞏固】 少先隊員去植樹,如果每人挖 5 個樹坑,還有 3 個樹坑沒人挖;如果其中兩人各挖 4 個樹坑,其余每人挖 6 個樹坑,就恰好挖完所有的樹坑。請問,共有多少名少先隊員?共挖了多少樹坑? 【解析】 這是一個典型的盈虧問題,關(guān)鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖 4 個樹坑,其余每人挖 6個樹坑,就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即:應該統(tǒng)一成每人挖 6個樹坑,形 成統(tǒng)一的標準。那么它就相當于每人挖 6 個樹坑,就要差( 6*2=4 個樹坑。這樣,盈虧總數(shù)就是 3+4=7,所以,有少先隊員 7/( 6=7 名,共挖了 5*7+3=38 個坑。 盈虧總數(shù)等于 3+( 6*2=7,少先隊員有 7/( 6=7名,共挖了 5*7+3=38個樹坑。 【鞏固】 六年級學生出去劃船。老師算了一下,如果每 船 坐 6 人,那么還剩下 22 人沒船坐。安排時發(fā)現(xiàn)有 3 條船壞了,于是改為每船坐 8 人,結(jié)果還剩下 6 人沒地方坐,請問:一共有多少學生? 【解析】 如果 3 條船沒有壞,每船坐 8 人,那么多余了 8 3 6 18 個座位。根據(jù)盈虧問題公式,有船(1 8 2 2 ) ( 8 6 ) 2 0 條,學生人數(shù)為 20 6 22 142 人。 題庫 教師版 1 【例 12】 學校為新生分配宿舍每個房間住 3 人,則多出 23 人;每個房間住 5 人,則空出 3 個房間問宿舍有多少間?新生有多少人? 【解析】 每個房間住 3 人,則多出 23 人,每個房間住 5 人,就空出 3 個房間,這 3 個房間如果住滿人應該是 5 3 1 5 (人 ),由此可見,每一個房間增加 5 3 2 (人 )兩次安排人數(shù)總共相差23 15 38 (人 ),因此,房間總數(shù)是: 38 2 19(間 ),學生總數(shù)是: 3 19 23 80 (人 ),或者5 19 5 3 80 (人 ) 【鞏固】 學校為新生分配宿舍每個房間住 3 人,則多出 22 人;每個房間 多住 5 人,則空 1 個房間問宿舍有多少間?新生有多少人? 【解析】 每 個房間住 3 人,則多出 22 人,每個房間 多 住 5 人, 意味著就是每個房間住 8 個人 ,則 空出 1 個房間,這 1 個房間如果住滿 人應該是 1 8 8 (人 ),由此可見,每一個房間增加 8 3 5 (人 )兩次安排人數(shù)總共相差 22 8 30 (人 ),因此,房間總數(shù)是: 30 5 6 (間 ),學生總數(shù)是:3 6 22 40 (人 ) 【鞏固】 軍 隊分配宿舍,如果每間住 3 人,則多出 20 人;如果每間住 6 人,余下 2 人可以每人各住一個房間,現(xiàn)在每間住 10 人,可以空出 多少個房間? 【解析】 每 間住 6 人,余下 2 人可以每人各住一個房間,說明多出兩個房間,同時多出兩個人,即兩次分配方案人數(shù)相差 2 0 6 2 2 3 0 (人 ),每間房間相差: 6 3 3 (人 ),所以共有房間:30 3 10 (間 ),一共有: 3 10 20 50 (人 ),即可以空出 10 50 10 5 (間 )房間 【鞏固】 豬 媽媽帶著孩子去野餐,如果每張餐布周 圍坐 4 只小豬就有 6 只小豬沒地方坐,如果每張餐布周圍多坐一只小豬就會余出 4 個空位子,問:一共有多少只小豬,豬媽媽一共帶了多少張餐布? 【解析】 每張餐布周圍多坐一只小豬就是坐 5只小豬,余出 4個空位子就是少 4只小豬,所以原問題可以轉(zhuǎn)化為:如果每張餐布周圍坐 4只小豬,則多出 6只沒處坐;如果每張餐布周圍坐 5 只,還少 4只,求有多少只小豬多少張餐布?所以餐布數(shù)是:( 6+4) 1=10(張),有小豬: 10 4+6=46(只) . 【例 13】 國慶節(jié)快到了,學而思學校的 少先隊員去 擺花盆 如果每人 擺 5 盆花 ,還有 3 盆沒人擺 ;如果其中 2 人各擺 4 盆 ,其 余的 人各擺 6 盆,這些花盆正好擺完問有多少少先隊員參加擺花盆活動,一共擺多少花盆 ? 【解析】 這是一道有難度的盈虧問題,主要難在對第二個已知條件的理解上:如果其中 2 人各擺 4 盆,其余的人各擺 6 盆,這些花盆正好擺完,這組條件中包含著兩種擺花盆的情況 2 人各擺 4 盆,其余的人各擺 6 盆如果我們把它統(tǒng)一成一種情況,讓每人都擺 6 盆,那么,就可以多擺6 4 2 4 ( ) (盆 )因此,原問題就轉(zhuǎn)化為:如果每人各擺 5 盆花,還有 3 盆沒人擺;如果每人擺 6 盆花,還缺 4 盆問有多少少先隊員,一共擺多少花盆? 人數(shù): 3 6 4 2 6 5 7 ( ) ( )(人 ), 盆數(shù): 5 7 3 38 (盆 )或 6 7 4 38 (盆 ) 【鞏固】 媽 媽買來一籃橘子分給全家人,如果其中兩人分 4 個,其 余人每人分 2 個,則多出 4 個;如果其中一人分 6 個,其余人每 人分 4 個,則缺少 12 個,媽媽買來橘子多少個 ?全家共有多少 人 ? 【解析】 由“其中兩人分 4 個,其余每人分 2 個,則多出 4 個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分 2 個,這分 4 個的兩人每人都拿出 2 個 ,共拿出 4 個,結(jié)果就多了 4 4 8 個;由“一人分 6 個,其余每人分 4 個,則缺少 12 個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分 4 個,分 6 個的人拿出 2 個,結(jié)果就少了 12 2 10 個,轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一般類型,則: 全家的人數(shù) : 4 2 2 (1 2 2 ) ( 4 2 ) 18 29 (人 ) 橘子的個數(shù) : 2 9 8 26 (個 ) 題庫 教師版 1 【例 14】 四 班舉行“六一”聯(lián)歡晚會,輔導員老師帶著一筆錢去買糖果如果買芒果 13 千克,還差 4 元;如果買奶糖 15 千克,則還剩 2 元已知每千克芒果比奶糖貴 2 元,那么,輔導員老師帶了 元錢 【解析】 這 筆錢買 13千克芒果還差 4 元,若把這 13千克芒果換成奶糖就會多出 13 2 26 元,所以這筆錢買 13千克奶糖會多出 26 4 22 元 而這筆錢買 15千克奶糖會多出 2 元,所以每千克奶糖的價格為: ( 2 2 2 ) (1 5 1 3 ) 1 0 (元) 輔導老師共帶了 10 15 2 152 元 【鞏固】 小 明媽媽帶著一筆錢去買肉,若買 10 千克牛肉則還差 6 元,若買 12 千克豬肉則還剩 4 元已知每千克牛肉比豬肉貴 3 元,問:小明媽媽帶了多少錢? 【解析】 因 為“每千克牛肉比豬肉貴 3 元”,所以同樣買 10 千克豬肉的話,就剩了 3 10 6 24(元),這樣化成普通的盈虧問題,豬肉的價錢是:( 24 4)( 12 10) 10(元),所以 小明媽媽帶的錢數(shù)是: 12 10 4 124(元) 【鞏固】 食 堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉,如果買牛肉 18 千克,則差 4 元;如果買豬肉 20 千克,則多 2 元 肉每千克差價 8 角 肉各多少錢一千克? 【解析】 這 里有兩種肉,思考起來比較困難,能否化為一種肉的問題呢?仔細分析一下已知條件,買牛肉18 千克差 4元,而買豬肉 20 千克還多 2 元,說明牛肉貴一些 角,如果 18千克牛肉換成 18千克豬肉,就要少花 8 18=144(角) =14元 4角 14 元 4角 10 元4角 小李買豬 肉 18千克多余 10 元 4角,買 20千克多余 2元,求豬肉單價和錢數(shù) .”雖然兩次都是盈余,仍屬盈虧問題,不過豬肉單價 =兩次錢的差兩次千克量差 . 解 由已知條件知牛肉比豬肉貴,每千克貴 8角 8 千克豬肉貴 8 18=144(角) =14 元 4角 . 因此小李若買 18 千克豬肉就會多余 14 元 4角 10元 4角 . 由已知小李買 20 干克豬肉多余 2元,所以豬肉每千克價格為 ( 104( 20=84 2=42(角) =4 元 2 角 . 所以牛肉每千克價格為: 4元 2角 +8角 =5 元 . 小李帶的錢為: 20+2=86(元) . 【鞏固】 李明的媽媽去超市買洗衣粉,雕牌和碧浪的單價分別為 8 元和 10 元,李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買 3 袋,并且沒有剩余的錢問:李媽媽帶了多少錢? 【解析】 (法 1)“李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買 3袋”,這三袋洗衣粉多花 8 3 24(元),又因為花的錢總數(shù)一樣多,所以在買碧浪洗衣粉的時候要把這些錢補上,而碧浪比雕牌每袋貴 2元,所以要買碧浪洗衣粉袋數(shù) 24 2 12(件)這樣李媽媽帶的錢數(shù)是 10 12 120(元) (法 2)如果買雕牌與碧浪洗衣粉數(shù)量一樣多,則買雕牌洗衣粉以 后還剩 3 8 24(元),根據(jù)普通的盈虧問題解法,買碧浪洗衣粉的數(shù)量是: 24( 10 8) 24 2 12(件),所以李媽媽帶的錢數(shù)是: 12 10 120(元) 【例 15】 小強由家里到學校,如果每分鐘走 50 米,上課就要遲到 3 分鐘;如果每分鐘走 60 米,就可以比上課時間提前 2 分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米? 【解析】 遲 到 3 分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù): 50 3 150 (米),提前 2 分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù): 60 2 120 (米),距離上課時間為: (1 5 0 1 2 0 ) ( 6 0 5 0 ) 2 7 (分鐘),家到學校的路程為: 5 0 ( 2 7 3 ) 1 5 0 0 (米) 【鞏固】 東 東從家去學校,如果每分走 80 米,結(jié)果比上課提前 6 分到校,如果每分走 50 米 ,則要遲到 3分,那么東東家到學校的路程是 _米 【解析】 這 道題看似行程問題,實質(zhì)卻可以用盈虧問題來解 據(jù)已知, ( 8 0 6 5 0 3 ) ( 8 0 5 0 ) 6 3 0 3 0 2 1 (分鐘 ),然后可求東東家離校的路程為:題庫 教師版 1 8 0 ( 2 1 6 ) 1 2 0 0 (米 ) 【鞏固】 王老師由家里到學校,如果每分鐘騎車 500 米,上課就要遲到 3 分鐘;如果每分鐘騎車 600 米,就可以比上課時間提前 2 分鐘到校 【解析】 遲到 3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù): 500 3=1500(米), 提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù): 600 2 1200(米)王老師家到學校需要( 1500 1200)( 60=270(分鐘),王老師家到學校的路程: 500( 270+3) 136500(米) 【鞏固】 學校規(guī)定上午 8 時到校,小明去上學,如果每分種走 60 米,可提早 10 分鐘到校;如果每分鐘走 50 米,可提早 8 分鐘到校,求小明幾時幾分離家剛好 8 時到校?由家到學校的路程是多少? 【解析】 小明每分鐘走 60 米,可提早 10分鐘到校,即到校后還可多走 60 10 600(米);如果每分鐘走50米,可提早 8 分鐘到校,即到校后還可多走 50 8 400(米),第一種情況比第二種情況每分鐘多走 60 50 10(米),就可以多走 600 400 200(米),從而可以求出小明由家到校所需時間 ( 1) 10 分種走多少米? 60 10 600(米), ( 2) 8分種走多少米? 50 8 400(米), ( 3)需要時間: ( 600 400)( 60 50) 20(分鐘),所以小明 7時 40 分離家剛好 8時到校 . ( 4)由家到校的路程: 60( 20 10) 600(米)或: 50( 20 8) 600(米) 【例 16】 “ 六一 ” 兒童節(jié),小明到商店買了一盒花球和一盒白球,兩盒內(nèi)的球的 數(shù)量相等花球原價 1元錢 2 個,白球原價 1 元錢 3 個因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售,兩種球的售價都是 2 元錢 5 個,結(jié)果小明少花了 4 元錢,那么小明共買了多少個球? 【解析】 花球原價 1 元錢 2 個,白球原價 1 元錢 3 個即花球原價 10 元錢 20 個,白球原價 10 元錢 30 個那么,同樣買花球和白球各 30 個,花球要比白球多花 10 2 5 ( 元 ) ,共需要 3 0 2 3 0 3 2 5 ( 元 ) 現(xiàn)在兩種球的售價都是 2 元錢 5 個,花球和白球各買 30 個需要 ( 3 0 5 ) 2 2 2 4 ( 元 ) ,說明花球和白球各買 30 個能省下 25 24 1( 元 ) 現(xiàn)在共省了 4 元,說明花球和白球各有30 4 120 ( 個 ) ,共買了 120 2 240 ( 個 ) 【例 17】 ( 2009“數(shù)學解題能力展示”中年級組復試題) 幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖她發(fā)給每個小朋友 2 塊巧克力, 7 塊奶糖和 8 塊水果糖發(fā)完后清點一下,水果糖還剩 15塊,而巧克力恰好是奶糖的 3 倍那么共有 _個小朋友 【解析】 畫線段圖分析,由題意知: 從奶糖的 7 份中取 2 份,那么剩下的 5 份就和上面的 2 小段相等 如圖: 題庫 教師版 1 那么 2 小段和 5 份都看成 10 份量,那么總量就相當于 19 份量,水果糖中原有的 8 份就是現(xiàn)在的16 份,則剩下的 15 塊水果糖就占有 3 份,則 1 份就是 5 塊,給小朋友們分出去的水果糖數(shù)量是:16 5 80 (塊),小朋友的人數(shù)是: 80 8 10 (人) 方法二:由上圖知,設發(fā)完后奶糖剩下 1 份,則巧克力剩下 3 份,而巧克力與奶糖每人分得相差 5塊,對應剩下的糖相差 2 份,水果糖與奶糖每人分得相差 1 塊,則對應剩下的糖應相差 2 5 份,所以水果糖最后應剩下 1 份,恰是 15塊,所以 1 份對應的是 15 5,所以應用盈虧問題共有 ( 2 5 1 5 ) ( 8 7 ) 1 0 (人) 【例 18】 一盒咖啡中有若干袋,一包方糖中有若干塊 小唐喝前兩盒咖啡時每袋咖啡都放 3 塊方糖,結(jié)果共用了 1 包方糖和第 2 包中的 24 塊;小唐喝后三盒咖啡時每袋咖啡都只放 1 塊方糖,最后第3 包方糖還剩下 36 塊,那么每盒咖啡有多少袋? 【解析】 小唐喝前 2 盒咖啡,每袋放 3 塊糖,相當于喝 6 盒咖啡每袋放 1 塊糖;小唐喝后 3 盒咖啡,每袋放 1 塊糖,所以喝后 3 盒用 掉的方糖總量是前 2 盒用掉方糖量的一半 同時,小唐喝前 2 盒咖啡一共用掉方糖一包又 24 塊,喝后 3 盒咖啡用掉方糖一包差 12 塊,因此一包又 24 塊方糖與兩包差 24 塊方糖一樣多,一包方糖有 ( 2 4 2 4 ) ( 2 1 ) 4 8 (塊) 于是喝前兩盒咖啡用掉方糖 48 24 72(塊),每盒咖啡的袋數(shù)為: 72 3 2 12 (袋) 【鞏固】 巧克力每盒 9 塊,軟糖每盒 11塊,要把這兩種糖 分 發(fā)給一些小朋友 , 每 種 糖每人一塊,由于又來了一位小朋友,軟糖就要增加一盒,兩種糖分發(fā)的盒數(shù)就一樣多,現(xiàn)在又來了一位小朋友,巧克力還要增加一盒,則最后共有多少個小朋友? 【解析】 新來了一位小朋友,就要增加一盒軟糖,說明在此之前,軟糖應該是剛好分完幾整盒,所以原來的小朋友人數(shù)是 11的倍數(shù) 增加了第二位小朋友之后,巧克力糖也要再來一盒了,說明原有的小朋友分幾整盒巧克力糖之后還剩下一塊,也就是說,原有的小朋友人數(shù)是 9 的倍數(shù)減 1 符合這兩個條件的最小的數(shù)是 44 ,而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件,所以原有 44 個小朋友,最后有 46 個小朋友 【例 19】 有若干盒卡片分給一些小朋友,如果只分一盒,每人至少可以得到 7 張;如果每人分 8 張卡片,則還缺少 5 張現(xiàn)在把所有卡片都分完,每人分到 60 張,而且還多出 4 張問:共有多少個小朋友? 【詳解】 首先由題意 ,一盒卡片每人分 7 張則有剩余,每人分 8 張則少 5 張,證明總?cè)藬?shù)多于 5 個 如果一共有 7 盒卡片,則所有人每人要想分到 8 7 56 (張)卡片,還缺 35 張,卡片張數(shù)比題中所述要少 如果一共有 9 盒卡片,則只要再添上 5 9 45 (張)卡片,就能使所有人每人分到 8 9 72 (張),人數(shù)為 1( 4 5 4 ) ( 7 2 6 0 ) 4 512 ,不滿足總?cè)藬?shù)多于 5 個的要求 類似地,當卡片總盒數(shù)多于 9 時,都不滿足總?cè)藬?shù)多于 5 個的要求 因此卡片一共有 8 盒,添上 5 8 40 (張)卡片,就能使所有人每人分到 8 8 64 (張),所以總?cè)藬?shù)為: ( 4 0 4 ) ( 6 4 6 0 ) 1 1 (人) (二解 )60 7 8 4L , 60 8 7 4L ,說明卡片的盒數(shù)是 8 盒, “ 若都分 8 張則還缺少 5 張 ” ,即如果我們在每盒中加 5 張 ( 8 盒共加 40 張 ) ,每人就可以 得到 8 8 64 ( 張 ) ,現(xiàn)在實際每人得到60 張,即每人需要退出 4 張,其中要有 4 張是每人 60 張后多下來的,還有 40 張是我們一開始借來的要還出去,即要退出 44 張, 44 4 11 ( 人 ) ,說明有 11 人 【例 20】 有若干個蘋果和若干個梨 個蘋 果配 2 個梨分堆,那么梨分完時還剩 2 個蘋果;如果按 每 3 個蘋果配 5 個梨分堆,那么蘋果分完時還剩 1 個 梨 【解析】 容 易看出這是一道盈虧應用題,但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到 第一種方案是 1 個蘋果“搭配” 2 個梨,第二種方案是 3 個蘋果“搭配” 5 個梨 題庫 教師版 0 1 個蘋果“搭配”若干個梨,那么問題就好解決了 1 個蘋果搭配 2 個梨,缺 4個梨; 1 個蘋果搭配 5/3 個梨,多 1 個梨”,此時盈虧總額為 4 1 5 (個 )梨,兩次分配數(shù)之差為2 5 / 3 1/ 3(個 )梨 4 1 ) ( 2 5 / 3 ) 1 5 (個 ),有梨 15 2 4 26 (個 ). 【鞏固】 有若干個蘋果和梨,如果按 1 個蘋果配 3 個梨分一堆,那么蘋果分完時,還剩 2 個梨;如果按半個蘋果配 2 個梨分一堆,那么梨分完時,還剩半個蘋果 【解析】 1 個蘋果配 3 個梨,多 2 個梨;半個蘋果配 2 個梨,即 1 個蘋果配 4 個梨,剩半個蘋果,即少 2個梨 2+2)( 4=4(個),梨有 3 4+2=14(個) . 【例 21】 幼兒園老師給小朋友分糖果若每人分 8 塊,還剩 10 塊;若每人分 9 塊,最后一人分不到 9 塊,但至少可分到一塊那么糖果最多有多少塊? 【分析】 最后一人分不到 9 塊,那么最多可以分到 8 塊,即若每人分 9 塊,還差 1 塊根據(jù)盈虧計算公式,人數(shù)有 1 1 0 9 8 1 1 ( ) ( ) ( 人 ) ,糖果最多有 9 11 1 98 ( 塊 ) ;最后一人分不到 9 塊,但至少可分到一塊,即最少是最后一人差 8 塊,根據(jù)盈虧計算公式,人數(shù)有 8 1 0 9 8 1 8 ( ) ( ) ( 人 ) ,糖果最多有 9 18 8 154 ( 塊 ) ;所以,這批糖果最多有 154 塊 【例 22】 幼兒園有三個班 , 甲班 比 乙班 多 4 人 , 乙班比丙班多 4 人, 老師給小孩分棗,甲 班每個小孩比乙班每個小孩少分 3 個棗,乙班每個小孩比丙班每個小孩少分 5 個棗,結(jié)果甲班比乙班共多分 3個棗,乙班比丙班總共多分 5 個棗 問:三個班總共分了多少個棗? 【解析】 設丙班有 x 個小孩,那么乙班就有 4x( ) 個小孩,甲班有 8x( )
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