3-2-4環(huán)形跑道問題_題庫教師版

題庫 教師版 8 1、 掌握如下兩個關(guān)系： （ 1）環(huán)形跑道問題 同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次 （ 2）環(huán)形跑道問題 同一地點出發(fā)，如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次 2、遇見多人多次相遇、追及能夠借助線段圖進行分析 3、用比例解、數(shù)論等知識解環(huán)形跑道問題 本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程 解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。 一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用： 路程和 =相遇時間 速度和 路程差 =追及時間 速度差 二、解環(huán)形跑道問題的一般方法： 環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。 環(huán)線型 同一出發(fā)點 直徑兩端 同向：路程差 nS 對 (反向 )：路程和 nS 例 1】 一個圓形操場跑道的周長是 500 米，兩個學(xué)生同時同地背向而行黃鶯每分鐘走 66 米，麻雀每分鐘走 59 米經(jīng)過幾分鐘才能相遇 ? 【解析】 黃鶯和麻雀每分鐘共行 66 59 125 （千米），那么周長跑道里有幾個 125米，就需要幾分鐘，即5 0 0 ( 6 6 5 9 ) 5 0 0 1 2 5 4 （分鐘） 知識精講 教學(xué)目標(biāo) 環(huán)形跑道問題 題庫 教師版 8 【鞏固】 小張和小王各以一定速度，在周長為 500米的環(huán)形跑道上跑步小王的速度是 200 米 /分 小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步， 1 分鐘后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米 /分？ 小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【解析】 兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程小張的速度是 5 0 0 1 2 0 0 3 0 0 （米 /分） 在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是： 5 0 0 ( 3 0 0 2 0 0 ) 5 （分） 300 5 500 3 （圈） 【例 2】 (2008 年第八屆 “春蕾杯 ”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽決賽 )上海小學(xué)有一長 300米長的環(huán)形跑道，小亞和小胖同時從起跑線起跑，小亞每秒鐘跑 6 米，小胖每秒鐘跑 4 米， (1) 小亞第一次追上小胖時兩人各跑了多少米？ (2) 小亞第二次追上小胖兩人各跑了多少圈？ 【解析】 第一次 追上時，小亞多跑了一圈，所以需要 3 0 0 ( 6 4 ) 1 5 0 秒，小亞跑了 6 150 900（米）。小胖跑了 4 150 600（米）；第一次追上時，小胖跑了 2 圈，小亞跑了 3 圈，所以第二次追上時，小胖跑 4 圈，小亞跑 6 圈。 【鞏固】 一條環(huán)形跑道長 400 米，甲 騎自行車每分鐘騎 450 米，乙跑步每分鐘 250 米，兩人同時從同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？ 【解析】 4 0 0 4 5 0 2 5 0 2 （ ）(分鐘 ) 【鞏固】 小新和正南在操場上比賽跑步，小新每分鐘跑 250 米，正南每分鐘跑 210 米，一圈跑道長 800米，他們同時從起跑點出發(fā)，那么小新第三次超過正南需要多少分鐘？ 【解析】 小新第一次超過正南是比正南多跑了一圈，根據(jù) S v t差 差，可知 小新第一次超過正南需要：8 0 0 2 5 0 2 1 0 2 0 （ ） ( 分鐘 ) ， 第 三 次 超 過 正 南 是 比 正 南 多 跑 了 三 圈 ， 需 要8 0 0 3 2 5 0 2 1 0 6 0 （ ）(分鐘 ) 【鞏固】 幸福村小學(xué)有一條 200 米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑 6 米，晶晶每秒鐘跑 4 米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？ 【解析】 這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致因此，當(dāng)冬冬第一次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個周長 (200 米 )，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根據(jù)追及問題的基本關(guān)系就可求出追及時間以及他們各自所走的路程 冬 冬第一次追上晶晶所需要的時間： 2 0 0 6 4 1 0 0 （ ） (秒 ) 冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應(yīng)為： 6 100 600 (米 ) 晶晶第一次被追上時所跑的路程： 4 100 400 (米 ) 冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數(shù)： 6 0 0 2 2 0 0 6 （ ） (圈 ) 晶晶第 2 次被追上時所跑的圈數(shù)： 4 0 0 2 2 0 0 4 （ ） (圈 ) 【例 3】 在 300 米的環(huán)形跑道上，田奇和王強同學(xué)同時同地起跑，如果同向 而跑 2 分 30 秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？ 題庫 教師版 8 【解析】 同向而跑，這實質(zhì)是快追慢起跑后，由于兩人速度的差異，造成兩人路程上的差異，隨著時間的增長，兩人間的距離不斷拉大，到兩人相距環(huán)形跑道的半圈時，相距最大接著，兩人的距離又逐漸縮小，直到快的追上慢的，此時快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所謂的相遇問題，數(shù)量關(guān)系為：路程和 速度和 相遇時間同向而行 2 分 30 秒相遇， 2 分 30 秒 150 秒，兩個人的速度和為 ： 300 150=2 （米 /秒），背向而跑則半分鐘即 30 秒相遇，所以兩個人的速度差為：300 30=10 （米 /秒） 10 2 2 4 （ ） (米 /秒 )， 10 4 6 (米 /秒 ) 【鞏固】 在 400 米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【解析】 甲乙的速度和為： 400 40 10 (米 /秒 )，甲乙的速度差為： 400 200 2(米 /秒 )，甲的速度為：10 2 2 6 （ ） (米 /秒 )，乙的速度為： 10 2 2 4 （ ） (米 /秒 ) 【鞏固】 兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑甲每分鐘跑 250 米，乙每分鐘跑 200 米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過 45 分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？ 【解析】 在封閉的環(huán)形道上同向運動屬追及問題，反向運動屬相遇問題同地出發(fā)，其實追及路程或相隔距離就 是環(huán)形道一周的長這道題的解題關(guān)鍵就是先求出環(huán)形道一周的長度環(huán)形道一周的長度可根據(jù)兩人同向出發(fā)， 45 分鐘后甲追上乙，由追及問題，兩人速度差為： 250 200 50(米 /分 )，所以路程差為： 50 45 2250 (米 )，即環(huán)形道一圈的長度為 2250 米所以反向出發(fā)的相遇時間為： 2 2 5 0 2 5 0 2 0 0 5 （ ）(分鐘 ) 【鞏固】 (第 4 屆希望杯培訓(xùn)題 )在環(huán)形跑道上，兩人在一處背靠背站好，然后開始跑，每隔 4 分鐘相遇一次；如果兩人從同處同向同時跑， 每隔 20 分鐘相遇一次，已知環(huán)形跑道的長度是 1600 米，那么兩人的速度分別是多少？ 【解析】 兩人反向沿環(huán)形跑道跑步時，每隔 4 分鐘相遇一次，即兩人 4 分鐘共跑完一圈；當(dāng)兩人同向跑步時，每 20 分鐘相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要 20 分鐘兩人速度和為：1600 4 400 (米 /分 )，兩人速度差為： 1600 20 80 (米 /分 )，所以兩人速度分別為：4 0 0 8 0 2 2 4 0 （ ） (米 /分 )， 400 240 160(米 /分 ) 【例 4】 （難度等級 ）兩人在環(huán)形跑道上跑步 ，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向而行， 45 秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇 【解析】 （ 4+3） 45=315 米 環(huán)形跑道的長（相遇問題求解） 315（ 4=315 秒 （追及問題求解） 【鞏固】 （難度等級 ）一條環(huán)形跑道長 400 米，小青每分鐘跑 260 米，小蘭每分鐘跑 210 米，兩人同時出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇 【解析】 小青每分鐘比小蘭多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分鐘 【鞏固】 甲、乙兩人從 400 米的環(huán)形跑道上一點 A 背 向同時出發(fā)， 8 分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走 ，那么兩人第五次相遇的地點與點 A 沿跑道上的最短路程是多少米 ? 【解析】 176 題庫 教師版 8 【例 5】 （難度等級 ）周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走 55 米，周老師每分鐘走 65 米。已知林蔭道周長是 480 米，他們從同一地點同時背向而行。在他們第 10 次相遇后，王老師再走 米就回到出發(fā)點。 【解析】 兩人每共走 1 圈相遇 1 次，用時 480(55+60)=4(分 )， 到第 10 次相遇共用 40 分鐘，王老師共走了 。 5540=2200（米），要走到出發(fā)點還需走 ， 480500（米） 【例 6】 （難度等級 ）在 400 米的環(huán)行跑道上， A， B 兩點相距 100 米。甲、乙兩人分別從 A，B 兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒鐘。那么甲追上乙需要時間是多少秒？ 【解析】 甲實際跑 100/（ 5=100（秒）時追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒，甲實際跑 100 秒時，已經(jīng)休息 4 次，剛跑完第 5 次，共用 140 秒； 這時乙實際跑了 100 秒，第 4 次休息結(jié)束。正好追上。 【例 7】 在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每 12 分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔 4 分鐘相遇一次，問兩人跑一圈各需要幾分鐘？ 【解析】 由題意可知，兩人的速度和為 14，速度差為 112可得兩人速度分別為 1 1 124 1 2 6 和 1 1 124 1 2 1 2 所以兩人跑一圈分別需要 6 分鐘和 12 分鐘 【例 8】 （難度等級 ）有甲、乙、丙 3 人 ,甲每分鐘行走 120 米 ,乙每分鐘行走 100 米 ,丙每分鐘行走 70 米 個人同時同向 ,從同地出發(fā) ,沿周長是 300 米的圓形跑道行走 ,那么多少分鐘之后 ,3 人又可以相聚在跑道上同一處 ? 【解析】 由題意知道：甲走完一周需要時間為 300120=52（分）；乙走完一周需要時間為 300100=3（分）丙走完一周需要時間為 300700= 307，那么三個人想再次相聚在跑道同一處需要時間為： 5 , 3 0 , 35 3 0 3 0, , 3 3 02 7 2 , 7 , 1 1 【例 9】 （難度等級 ）甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā)，背向而行 0 分鐘，如果在出發(fā)后 45 分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多少分鐘 ? 【解析】 甲行走 45 分鐘，再行走 70 45=25 分鐘即可走完一圈 5 分鐘，乙行走 45 分鐘也能走完一圈 5 分鐘的路程相當(dāng)于乙行走 45 分鐘的路程甲行走一圈需 70 分鐘，所以乙需 702545=126 分鐘即乙走一圈的時間是 126 分鐘 【例 10】 （難度等級 ）林琳在 450 米長的環(huán)形跑道上跑 一圈，已知她前一半時間每秒跑 5 米，后一半 題庫 教師版 8 時間每秒跑 4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒？ 【解析】 設(shè)總時間為 X，則前一半的時間為 X/2，后一半時間同樣為 X/2 X/2*5+X/2*4=450 X=100 總共跑了 100 秒 前 50 秒每秒跑 5 米，跑了 250 米 后 50 秒每秒跑 4 米，跑了 200 米 后一半的路程為 4502=225 米 后一半的路程用的時間為（ 2505+50=55 秒 【鞏固】 某人在 360 米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑 5 米，后一半時間每秒跑 4 米，則他后一半路程跑了多少秒？ 【解析】 44 【例 11】 （難度等 級 ）甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時從同一點出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時 米， 乙速度是每小時 米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個小時后甲和丙相遇，在過 5 分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？ 【解析】 30 分鐘乙落后甲（ 2 米），有題意之乙和丙走這 米用了 5 分鐘，因為乙和丙從出發(fā)到相遇共用 35 分鐘，所以繞湖一周的行程為： 355米）。 【例 12】 （難度等級 ） 甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當(dāng)乙走了 100 米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前 60 米處又第二次相遇。求此圓形場地的周長？ 【解析】 注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完 12圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時，甲乙共走完 1+12 32圈的路程所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比為 1： 3，因而第二次相遇時乙行走的總路程為第一次相遇時行走的總路程的 3 倍，即 1003=300 米有甲、乙第二次 相遇時，共行走 (1 圈 60)+300，為 32圈，所以此圓形場地的周長為 480 米 【鞏固】 如圖， A、 B 是圓的直徑的兩端，小張在 A 點，小王在 B 點同時出發(fā)反向行走，他們在 C 點第一次相遇， C 離 A 點 80 米；在 D 點第二次相遇， D 點離 B 點 6O 米 題庫 教師版 8 【解析】 第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的 3 倍，那么從 A 到 D 的距離，應(yīng)該是從 A 到 C 距離的 3 倍，即 A 到 D 是 80 3 240 (米 ) 240 60 180 (米 ) 180 2 360 (米 ) 【鞏固】 如圖，有一個圓，兩只小蟲分別從直徑的 兩端 A 與 C 同時出發(fā)，繞圓周相 向而行它們第一次 相遇在離 A 點 8 厘米處的 B 點，第二次相遇在離 C 點處 6 厘米的 D 點，問，這個圓周的長是多少 ? 第一次相遇第二次相遇 析】 如圖所示，第一次相遇，兩只小蟲共爬行了半個圓周，其中從 A 點出發(fā)的小蟲爬了 8 厘米，第二次相遇，兩只小蟲又爬了一個圓周，所以兩只小蟲從出發(fā)共爬行了 1 個半圓周，其中從 A 點出發(fā)的應(yīng)爬行 8 3 24 (厘米 )，比半個圓周多 6 厘米，半個圓周長為 8 3 6 18 (厘米 )，一個圓周長就是： (8 3 6 ) 2 3 6 (厘米 ) 【鞏固】 A、 B 是圓的直徑的兩端，甲在 A 點，乙在 B 點同時出發(fā)反向而行，兩人在 C 點第一次相遇，在 D 點第二次相遇已知 C 離 A 有 75 米， D 離 B 有 55 米，求這個圓的周長是多少米？ 【解析】 340 【例 13】 （難度等級 ）兩輛電動小汽車在周長為 360 米的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛 20米甲、乙兩車同時分別從相距 90 米的 A， B 兩點相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當(dāng)乙車到達 B 點時，甲車過 B 點后恰好又回到 A 點此時甲車立即返回（乙車過 再過多少分與乙車相遇？ 【解析】 右圖中 C 表示甲、乙第一次相遇地點因為乙從 B 到 C 又返回 B 時，甲恰好轉(zhuǎn)一圈回到 A，所以甲、乙第一次相遇時，甲剛好走了半圈，因此 C 點距 B 點 180 90 90（米）甲從 A 到 C 用了 18020 9（分），所以乙每分行駛 909 10（米）甲、乙第二次相遇，即分別同時從 A， 0（ 20 10） 3（分） 題庫 教師版 8 【鞏固】 （難度等級 ）周長為 400 米的圓形跑道上，有相距 100 米的 A， B 兩點甲、乙兩人分別從 A， B 兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到 A 時，乙恰好跑到 B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米 ? 【解析】 如下圖 ,記甲乙相遇點為 C 的路程時，乙跑了 路程；而當(dāng)甲跑了 400 米時，乙跑了 2路程由乙的速度保持不變，所以甲、乙第一次相向相遇所需的時間是甲再次到達 C=12400=200(米 )，也就是甲跑了 200 米時，乙跑了 100 米，所以甲的速度是乙速度的 2 倍那么甲到達 A，乙到達 B 時，甲追上乙時需比乙多跑 40000 米的路程，所以此后甲還需跑 300(22=600 米，加上開始跑的 l 圈 400 米所以甲從出發(fā)到甲追上乙時，共跑了 600+400=1000 米 【鞏固】 （難度等級 ）在一圓形跑道上，甲從 A 點、乙從 B 點同時出發(fā)反向而行， 6 分后兩人相遇，再過 4 分甲到達 B 點，又過 8 分兩人再次相遇 環(huán)行一周各需要多少分？ 【解析】 由題意知，甲行 4 分相當(dāng)于乙行 6 分 .（抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)系） 從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相當(dāng)于甲行 8 分，所以甲環(huán)行一周需 12 8 20（分），乙需 2046 30（分） . 【例 14】 （難度等級 ）（ 2000 年華校入學(xué) 試題）甲、乙兩車同時從同一點 A 出發(fā)，沿周長 6 千米的圓形跑道以相反的方向行駛甲車每小時行駛 65 千米，乙車每小時行駛 55 千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上一車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11 次相遇的地點距離有多少米？ 【解析】 首先是一個相遇過程，相遇時間： 6 ( 6 5 5 5 ) 0 小時，相遇地點距離 A 點： 5 5 0 2 千米然后乙車調(diào)頭，成 為追及過程，追及時間： 6 ( 6 5 5 5 ) 0 小時，乙車在此過程中走的路程： 55 3千米，即 5 圈余 3 千米，那么這時距離 A 點 3 千米甲車調(diào)頭后又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離 A 點 千米，而第 4 次相遇時兩車又重新回到了 A 點，并且行駛的方向與開始相同所以，第 8 次相遇時兩車肯定還是相遇在A 點，又 1 1 3 3 2所以第 11 次相遇的地點與第 3 次相遇的地點是相同的，距離 A 點是3000 米 題庫 教師版 8 【鞏固】 二人沿一周長 400 米的環(huán)形跑道均速前進，甲行一圈 4 分鐘，乙行一圈 7 分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走 10 圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？ 【解析】 1428 【例 15】 （難度等級 ） 下如右圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長 300 米的正方形甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)如果甲每分走 90 米，乙每分走 70米，那么經(jīng)過多少時間甲才能看到乙？ 【解析】 甲看到乙的時候，甲和乙在同一條邊上，甲乙兩人之間的距離最多有 300 米長，當(dāng)甲追上乙一條邊（ 300 米）需 300（ 90 70） 15（分），此時甲走了 9015300 4 5（條）邊，甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙甲再走 0 5 條邊就可以看到乙了，即甲走 5 條邊后可看到乙，共需 300590 1623（分鐘 0，即 16 分 40 秒 【鞏固】 （難度等級 ）如圖，一個長方形的房屋長 13 米，寬 8 米甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā)，甲每秒鐘行 3 米，乙每秒鐘行 2 米 經(jīng)過多長時間甲第一次看見乙 ? 【解析】 開始時，甲在順時針方向距乙 8+13+8=29 米因為一邊最長為 13、所以最少要追至只相差 13，即至少要追上 296 米 甲追上乙 16 米所需時間為 16(316 秒，此時甲行了 316=48 米，乙行了 216=32 米 甲、乙的位置如右圖所示： 顯然甲還是看不見乙，但是因為甲的速度比乙快，所以甲能在乙離開上面 的那條邊之前到達上面的邊，從而看見乙而甲要到達上面的邊，需再跑 2 米，所需時間為 23=23秒所以經(jīng)過 16+23=1623秒后甲第一次看見乙 . 【例 16】 （難度等級 ）如圖，在 400 米的環(huán)形跑道上， A,B 兩點相距 100 米 兩人分別從 A，B 兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停10 秒鐘 題庫 教師版 8 【解析】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的時間為 100(5100 秒此時甲跑了 1005=500 米，乙跑了 1004=400 米而實際上甲跑 500 米，所需的時間為 100+410=140 秒，所以 140 150 秒時甲都在逆時針距 A 點 500 處而乙跑 400 米所需的時間為 100+310=130 秒，所以 130 140 秒時乙走在逆時針距 B 點 400 處顯然從開始計算 140 秒時，甲、乙在同一地點，即甲追上乙需要時間是 140 秒 【例 17】 （難度等級 ）下圖是 一個邊長 90 米的正方形，甲、乙兩人同時從 A 點出發(fā)，甲逆時針每分行 75 米，乙順時針每分行 45 米兩人第一次在 （不包括 C， D 兩點）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？ 【解析】 兩人第一次相遇需 3 6 0 ( 7 5 4 5 ) 3 分，其間乙走了 45 3 135 （米）由此知，乙沒走 135米兩人相遇一次，依次可推出第 7 次在 相遇（如圖，圖中數(shù)字表示該點相遇的次數(shù)） 【例 18】 （難度等級 ）如圖， 8 時 10 分 ,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距 60 米的 A， 方形 邊走向 D 點 時 20 分到 D 點后 ,丙、丁兩人立即以相同速度從 D 點出發(fā) 向 A 走去 ,8 時 24 分與乙在 E 點相遇；丁由 D 向 C 走去， 8 時 30 分在F 點被乙追上 面積為多少平方米 ? 【解析】 如下圖，標(biāo)出部分時刻甲、乙、丙、丁的位置 先分析甲的情況，甲 10 分鐘，行走了 路程；再看乙的情況，乙的速度等于甲的速度， 乙 14 分鐘行走了 60+路程，乙 20 分鐘走了 60+F 的路程 所以乙 10 分鐘走了 (60+F)-(60+路程 有 6 0 6 01 0 1 4 1 0A D A E D F，有 607 5 6 0A D D E D A E 然后分析丙的情況 ,丙 4 分鐘 ,行了走 路程 ,再看丁的情況 , 題庫 教師版 0 8 丁的速度等于丙的速度 ,丁 10 分鐘行走了 距離 有4 10F，即 52 聯(lián)立 607 5 6 052A D A E E D D E D A D F ，解得 871845 于是 ,得到如下的位置關(guān)系： A B C 16 0 ( 8 7 + 1 8 ) 6 0 8 7 1 8 4 5 1 5 ( 8 7 + 1 8 )2 2 2= 2 4 9 7 . 5B E F A B E E D F F C S S S 四 邊 形二、環(huán) 形跑道 變道問題 【例 19】 如圖是一個跑道的示意圖，沿 一圈是 400 米，沿 一圈是 275 米，其中 的直線距離是 75米甲、乙二人同時從 A 點出發(fā)練習(xí)長 跑，甲沿 小圈跑，每100米用 24 秒，乙沿 大圈跑，每 100米用 21秒，問： 乙跑第幾圈時第一次與甲相遇？ 發(fā)多長時間甲、乙再次在 A 相遇？ 析】 因為甲、乙沿不同的路線，所以并不是誰多跑一圈，就一定有 一次超過超過只可能發(fā)生在他們共同經(jīng)過的路線上，也就是 甲跑半圈 時 48 秒，乙跑半圈 時 42 秒也就是說如果某次乙經(jīng)過 A 點的時間比甲晚不超過 6 秒，他就能在這半圈上追上甲 甲跑一圈用 的時間為 2 7 5 1 0 0 2 4 6 6 秒，乙跑一圈用的時間為 4 0 0 1 0 0 2 1 8 4 秒，下面看甲、乙經(jīng)過 A 點的時間序列表（單位：秒） 甲 0 66 132 198 264 330 乙 0 84 168 252 336 可以看出 336 秒與 330 秒恰好差 6 秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈時會第一次與甲相遇 題庫 教師版 1 8 要在 A 點相遇，兩人跑的必須都是整數(shù)圈，甲跑一 圈用 66 秒，乙跑一圈用 84秒，它們的最小公倍數(shù)為 66, 84 924 因此 924 秒即 15分 24 秒后，甲、乙第一次同時回到 A 點 【例 20】 如圖所示，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道長是 200 米，直線距離是 50 米。父子倆同時從 A 點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到 B 點便沿直線跑。父親每 100 米用 20 秒，兒子每 100 米用 19 秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親相遇？ 析】 首先我們要注意到：父親和兒子只能在由 A 沿逆時針方向到 B 這一段跑道上相遇而且兒子比父親跑得快，所以相遇時一定是兒子從后面追上父親兒子跑一圈所用的時間是1 9 ( 4 0 0 1 0 0 ) 7 6 （秒），也就是說，兒子每過 76 秒到達 A 點一次同樣道理，父親每過 50秒到達 A 點一次在從 A 到 B 逆時針方向的一段跑道上，兒子要跑 1 9 ( 2 0 0 1 0 0 ) 3 8 （秒），父親要跑 2 0 ( 2 0 0 1 0 0 ) 4 0 （秒）因此，只要在父親到達 A 點后的 2 秒之內(nèi)，兒子也到達 子就能從后面追上父親于是，我們需要找 76 的一個整數(shù)倍（這個倍數(shù)是父子相遇時兒子跑完的圈數(shù)），它比 50 的一個整數(shù)倍大，但至多大 2換句話說，要找 76 的一個倍數(shù)，它除以50 的余數(shù)在 0 到 2 之間這試一下就可以了： 76 50 余 26， 76 2 50 余 2，正合我們的要求因此，在父子第一次相遇時，兒子已跑完 2 圈，也就是正在跑第 3 圈 【例 21】 如圖 ,學(xué)校操場的 400 米跑道中套著 300 米小跑道 ,大跑道與小跑道有 200 米路程相重甲以每秒6 米的速度沿大跑道逆時針方向跑 ,乙以每秒 4米的速度沿小跑道順時針方向跑 ,兩人同時從兩跑道的交點 A 處出發(fā) ,當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時 ,甲共跑了多少米 ? 乙甲乙甲析】 根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在 側(cè)的半跑道上相遇易知 小跑道上 側(cè)的路程為 100米 ,右側(cè)的路程為 200 米 ,大跑道上 左、右兩側(cè)的路程均是 200 米我們將甲、乙的行程狀況分析清楚當(dāng)甲第一次到達 B 點時 ,乙還沒有到達 B 點 ,所以第一次相遇一定在逆時針的 處而當(dāng)乙第一次到達 B 點時，所需時間 為 200 4 50 秒 ,此時甲跑了 6 50 300 米 ,在離 B 點3 0 0 2 0 0 1 0 0米處乙跑出小跑道到達 A 點需要 100 4 25 秒 ,則甲又跑了 6 25 150 米 ,在 A 點左邊 (1 0 0 1 5 0 ) 2 0 0 5 0 米處所以當(dāng)甲再次到達 B 處時 ,乙還未到 B 處 ,那么甲必定能在 B 點右邊某處與乙第二次相遇從乙再次到達 A 處開始計算 ,還需 ( 4 0 0 5 0 ) ( 6 4 ) 3 5 秒 , 題庫 教師版 2 8 甲、乙第二次相遇 ,此時甲共跑了 5 0 2 5 3 5 1 1 0 秒所以，從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 6 110 660米 【例 22】 （ 2005 年小學(xué)生數(shù)學(xué)報優(yōu)秀小讀者評選活動）有一種機器人玩具裝置，配備長、短不同的兩條跑道，其中長跑道長 400 厘米，短跑道長 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道 (如下圖 )。機器人甲按逆時針方向以每秒 6 厘米的速度在長跑道上跑動，機器人乙按順時針方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑動。如果甲、乙兩個機器人同時從 A 點出發(fā)，那么當(dāng)兩個機器人在跑道上第 3 次迎面相遇時，機器人甲距離出發(fā)點 A 點多少厘米 ? 200 200100A【解析】 第一 次在1時甲、乙共跑了 400 厘米 (見左下圖 )； B 1200 200100B 1200 200100時甲、乙又共跑了 700 厘米 (見右上圖 )； 同理，第三次相遇時，甲、乙又共跑了 700 厘米 那么到第三次相遇時兩者共跑了 4 0 0 7 0 0 7 0 0 1 8 0 0 厘米，共用時間 1 8 0 0 ( 6 4 ) 1 8 0 （秒），甲跑了 6 180 1080 （厘米），距 A 點 4 0 0 3 1 0 8 0 1 2 0 （厘米） 【例 23】 （難度等級 ）下圖中有兩個圓只有一個公共點 A，大圓直徑 48 厘米，小圓直徑 30 厘米。兩只甲蟲同時從 A 點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當(dāng)小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠？ 【解析】 我們知道，大小圓只有一個公共點 (內(nèi)切 )，而在圓上最遠的兩點為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲蟲在A 點，另一只在過 A 的直徑另一直徑端點 B， 題庫 教師版 3 8 所以在小圓甲蟲跑了 n 圈，在大圓甲蟲跑了 m 12圈；于是小圓甲蟲跑了 30n，大圓甲蟲跑了 48(m 12) 48m 24。因為速度相同，所以相同時內(nèi)路程相同，起點相同，所以 30n 48m 24；即 5n 8m 4，有不定方城知識，解出有 n 4， m 2，所以小甲蟲跑了 2 圈后，大小甲蟲相距最遠。 【例 24】 三個環(huán)行跑道如圖排列，每個環(huán)行跑道周長為 210 厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從 A 、 B 兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞 1、 2 號環(huán) 行跑道作 “8”字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞 3、 2 號環(huán)行跑道作 “8”字形循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘 20 厘米和每分鐘 米，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米 ? 321 析】 根據(jù)題意，甲爬蟲爬完半圈需要 2 1 0 2 2 0 5 分鐘，乙爬蟲爬完半圈需要 2 1 0 2 1 5 7 分鐘由于甲第一次爬到 1、 2 之間要 鐘，第一次爬到 2、 3 之間要 鐘，乙第一次爬到 2、 3 之間要 7 分鐘，所以第一次相遇的地點在 2 號環(huán)形跑道的上半圈處 由于甲第一次爬到 2、 3 之間要 鐘，第二次爬到 1、 2 之間要 鐘，乙第一次爬到 1、2 之間要 14 分鐘，所以第二次相遇的地點在 2 號環(huán)形跑道的下半圈處 當(dāng)兩只爬蟲都爬了 14 分鐘時，甲爬蟲共爬了 20 14 280 米， 2 1 0 2 2 1 0 2 8 0 3 5 (米 )，所以甲在距 1、 2 交點 35 米處，乙在 1、 2 交點上，還需要 3 5 ( 2 0 1 5 ) 1 (分鐘 )相遇，所以第二次相遇時，兩只爬蟲爬了 14 1 15 分鐘 所以甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了 20 15 300 厘米 【鞏固】 一個圓周長 90 厘米， 3 個點把這個圓周分成三等分， 3 只爬蟲 A ， B ， C 分別在這 3 個點上它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行 A 的速度是 10 厘米 /秒， B 的速度是 5 厘米 /秒， 厘米 /秒， 3 只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？ 【解析】 先考慮 B 與 C 這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置開始時，它們相差 30 厘米，每秒鐘 B 能追上 C (5米 30 (5 3) 1 5 (秒 )因此 15 秒后 B 與 C 到達同一位置以后再要到達同一位置， B 要追上 C 一圈，也就是追上 90 厘米，需要 90 (5 3) 45 (秒 ) B 與 C 到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15， 60， 105， 150， 195， 再看看 A 與 B 什么時候到達同一位置第一次是出發(fā)后 30 (1 0 5) 6 (秒 )，以后再要到達同一位置是 A 追上 B 一圈需要 9 0 (1 0 5 ) 1 8 (秒 )， 到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6， 24， 42， 60， 78， 96， 對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后 60 秒 3 只爬蟲到達同一位置 題庫 教師版 4 8 【例 25】 如圖所示，甲沿長為 400 米大圓的跑道順時針跑步，乙則沿兩個小圓八字形跑步 (圖中給出跑動路線的次序： 1 2 3 4 1 如果甲、乙兩人同時從 A 點出發(fā)，且甲、乙二人的速度分別是每秒 3 米和 5 米，問兩人第三次相遇的時間是出發(fā)后 秒。 43 21析】 從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在 A 、 B 兩點處相遇（本題中，雖然在 B 處時兩人都是順時針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及） 從 A 到 B ，在大圓周上是半個圓周，即 200 米；在小圓周上是整個小圓圓周，也是 200 米兩人的速度之比為 3:5 ，那么兩人跑 200 米所用的時間之比為 5:3 設(shè)甲跑 200 米所用的時間為 5 個時間單位，則乙跑 200 米所用的時間為 3 個時間單位根據(jù)題意可知， 1 個時間單位為402 0 0 3 5 3 秒 可以看出，只有甲跑的時間是 5 個時間單位的整數(shù)倍時，甲才可能在 A 點或 B 點，而且是奇數(shù)倍時在 B 點，是偶數(shù)倍時在 A 點；乙跑的時間是 3 個時間單位的整數(shù)倍時，乙才可能在 A 點或 B 點，同樣地，是奇數(shù)倍時在 B 點，是偶數(shù)倍時在 A 點 要使甲、乙在 A 、 B 兩點處相遇，兩人所跑的時間應(yīng)當(dāng)是 15 個時間 單位的整數(shù)倍（由于 3 和 5的奇偶性相同，所以只要是 15 個時間單位的整數(shù)倍甲、乙兩人就能相遇），可以是 15 個時間單位、 30 個時間單位、 45 個時間單位 所以兩人第三次相遇是在過了 45 個時間單位后，也就是說，出發(fā)后 40 4 5 6 0 03 秒兩人第三次相遇 也可以畫表如下： A B A B A B A B A B A B A B A B 甲 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 乙 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 從中可以看出，經(jīng)過 15 個時間單位后兩人同在 B 點，經(jīng)過 30 個時間單位后兩人同在 A 點，經(jīng)過45 個時間單位后兩人同在 B 點，這是兩人第三 次相遇 【例 26】 如圖，兩個圓環(huán)形跑道，大圓環(huán)的周長為 600 米，小圓環(huán)的周長為 400 米。甲的速度為每秒 6米，乙的速度為每秒 4 米。甲、乙二人同時由 A 點起跑，方向如圖所示，甲沿大圓環(huán)跑一圈，就跑上小圓環(huán)，方向不變，沿小圓環(huán)跑一圈，又跑上大圓環(huán)，方向也不變；而乙只沿小圓環(huán)跑。問：甲、乙可能相遇的位置距離 A 點的路程是多少？ (路程按甲跑的計算 ) 題庫 教師版 5 8 乙的方向甲的方向甲的方向【解析】 根據(jù)題意可知，甲跑的路線是 “8”字形，乙跑的路線是小圓環(huán)甲繞大圓環(huán)跑一周需要 100 秒，乙繞小圓環(huán)跑一周也需要 100 秒所以兩人的第一次相遇肯定是在 A 點；而以后在小圓周上肯定還有相遇點由于兩人都是周期性運動，乙的情況較為簡單，如果以乙為中心，可以看出，每次乙回到 A 點，如果甲也在 A 點，則兩人在 A 點相遇；如果甲不在 A 點，則此時甲相當(dāng)于順時針跑，乙則逆時針跑，這是一 個相遇問題，必定在小圓周上相遇 設(shè)乙第 m 次回到 A 點的時間為 t 秒，則 100，此時甲跑了 6 1 0 0 6 0 0米而甲一個周期為 6 0 0 4 0 0 1 0 0 0米，因此， t 時刻甲跑了 6001000 而 6 0 0 3 3 31 0 0 0 5 5 5m m m m ，其中整數(shù)部分表示甲回到 A 點，小數(shù)部分表示甲又從 A 點跑了一部分路程，但是不到一個周期，這一部分路程的長度是 3 10005m米由此，我們可以算出甲的位置： 3m 5k 51k 52k 53k 54k 小數(shù)部分表示