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2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 數(shù)字迷從形式上可以分為橫式數(shù)字迷與豎式數(shù)字迷,從運算法則上可以分為加減乘除四種形式的數(shù)字迷。橫式與豎式亦可以互相轉換,本講中將主要介紹數(shù)字迷的一般解題技巧。主要涉及小數(shù)、分數(shù)、循環(huán)小數(shù)的數(shù)字迷問題,因此,會需要利用數(shù)論的知識解決數(shù)字迷問 。 一、數(shù)字迷加減法 (1)個位數(shù)字分析法 (2)加減法中的進位與錯位 (3)奇偶性分析法 二、數(shù)字迷乘除法 數(shù)字乘法個位數(shù)字的規(guī)律 量 三 、數(shù)字謎問題解題技巧 解題的突破口多在于豎式或橫式中的特殊之處,例如首位、個位以及位數(shù)的差異; 要根據(jù)不同的情況逐步縮小范圍,并進行適當?shù)墓浪悖?題目中涉及多個字母或漢字時,要注意利用不同符號表示不同數(shù)字這一條件來排除若干可能性; 注意結合進位及退位來考慮; 有時可運用到數(shù)論中的分解質因數(shù)等方法 【 系列一: 數(shù)字迷 】 【例 1】 在 “ 慶元旦 ” 晚會上,主持人小麗 出了這樣 兩 道題目: 請大家想一想,被紙片蓋住的是什么數(shù)字 ? 【解析】 1、 先填個位,已知 6口的個位為 1,所以口 =5,且個位向十位進 1再填十位,由于個位向十位進 1,十位上數(shù) 7 1的個位數(shù)為 1,所以十位數(shù)應填 3,且十位向百位進 1最后填百位,由十位進 1,可知百位填 1 2、我們可以從位數(shù)入手被減數(shù)是一個三位數(shù),減數(shù)是一個兩位數(shù),差是一個一位數(shù),應能推出它的被減數(shù)應盡可能的小,減數(shù)應盡可能大再從個位入手,可知,被減數(shù)的個位是 2,且個例題精講 知識點撥 教學目標 第 七 講 : 數(shù)字謎 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 位向十位借 1,而差的百位、十位上均無數(shù)字,說明被減數(shù) 的百位是 1,而減數(shù)十位上的數(shù)字是 9當然此題也可反著想: 6+6= 0 ,也可推出答案 【例 2】 在下面算式的空格內,各填上一個合適的數(shù)字,使算式 成立 【解析】 解題關鍵:在算式中,個位上已經(jīng)給出了兩個數(shù)字,因此選擇個位上的空格做為解題突破口 ( 1)填個位 第一個加數(shù)個位上的空格填 9 ( 2)填千位 千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進的數(shù),因此只能是 1 ( 3)填百位 第二個加數(shù)的百位數(shù)字最大是 9,而和是四 位數(shù),因此算式中十位上數(shù)字之和必須向百位進 1,所以第二個加數(shù)的百位上填 9,和的百位上填 0 ( 4)填十位 由于兩加數(shù)個位上數(shù)之和向十位進 1,十位上的數(shù)相加后又向百位進 1,因此第二個加數(shù)十位上的空格應填 8或 9于是此題有兩個答案,即: 【例 3】 用 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9這十個數(shù)字組成下面的加法算 式,每個數(shù)字只許用一次,現(xiàn)已寫出 3個數(shù)字,請把這個算式補齊 【解析】 解題關鍵:由算式知,和的千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進的數(shù),因此把確定千位數(shù)字做為突破口 ( 1) 填 千位 據(jù)上分析,千位上只能填 1 ( 2)確定百位 為了能使百位向千位進 l,所以第一個加數(shù)的百位可能是 9 或 7 (因為 8 已用過 ) 試驗:若百位上填 9,則和的百位只可能是 1或 2,而 1和 2都已用過,因此百位上不能填9,只能填 7則和的百位為 0,且十位向百位進 1,這時豎式為: ( 3)確定剩下的 4個空格 現(xiàn)在只剩下四個數(shù)字沒有用,它們是 9、 6、 5、 第二個加數(shù)的個位填 5,和的個位為 9,剩下的數(shù)字 6、 3 不能滿足十位上的要求 . 若第二個加數(shù)的個位填9,和的個位為 3,剩下的數(shù)字 5、 6 正好滿足十位上的要求,即 第一個加數(shù)的十位填 6,和的十位填 5此題的答案為 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【例 4】 在下面算式的空格內,各填入一個合適的數(shù)字,使算式 成立 【解析】 解題關鍵:這是一道四位數(shù)減去三位數(shù)差為兩位數(shù)的減法,所以選擇被減數(shù)的千位做為解題突破口又由于個位上已知兩個數(shù)字,因此先從個位入手填填個位 由于個位這一列只有一個待定的數(shù),減數(shù)的個位應為 9,且個位向十位借 1填千位 四位數(shù)減去三位數(shù)差為兩位數(shù),所以被減數(shù)的千位數(shù)字是 1,且百位向千位借 1 填百位 由于差 是兩位數(shù),所以被減數(shù)的百位數(shù)字為 0,十位也向百位借 1這樣百位向千位借 1當 10,十位又向百位借 1,還剩 9, 9,因此減數(shù)的百位應填 9 填十位 由于十位向百位借 1,所以被減數(shù)的十位數(shù)字不得超過減數(shù)的十位數(shù)字,即被減數(shù)的十位數(shù)字是 0或 1,那么差的十位數(shù)字為 8或 9此題有兩個答案 . 【例 5】 把數(shù)字 1 5分別填寫在下面算式中的 口 里 【解析】 這 題限制了所需要填的五個數(shù)字,且個位這一列只有一個空格,因此把確定個位數(shù)字做為解題突破口 填個位 顯然,差的個位上填 1 填百位 由差的十位數(shù)字 8 知,十位上數(shù)相 減時,要向被減數(shù)的百位借 1,這樣百位上有 9口知,減數(shù)的百位填 3或 5,相應的差的百位上填5 或 3.3填十位 現(xiàn)在只剩下 2、 4 兩個數(shù),分別填在被減數(shù)和減數(shù)的十位上,正好滿足題目要求 【例 6】 下面的算式里四個小紙片各蓋住一個數(shù)字,問被蓋住的 四個數(shù)字的和是多少 ? 【解析】 求被蓋住的四個數(shù)字的和,對于這四個數(shù)具體是幾并不十分重要而和 149 的個位是 9,所以個位數(shù)相加沒有進位,即個位上兩個數(shù)的和是 9十位上兩個數(shù)的和是 14因此,被蓋住的四個數(shù)字的和是 14 9=23 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【例 7】 在下面算式 的空格內,各填入一個合適的數(shù)字,使算式 成立 【解析】 這是一道加減法混合運算的填空格題,我們把加法、減法分開考慮,使問題簡化: 1加法 填十位 從算式可以看出,第二個加數(shù)與和的十位上都是 9,所以個位上數(shù)字之和一定向十位進了 1,十位數(shù)字之和也向百位進了 1,因此算式中十位上應是 9 1=19,故第一個加數(shù)的十位上填 9填個位 由于個位上 1口的和向十位進 1,所以口中只能填 9,和的個位就為 0填百位和千位 由于兩位數(shù)加三位數(shù),和是四位數(shù),所以百位上數(shù)相加后必向千位進 1這樣 第二個加數(shù)的百位應填 9,和的千位填 1,和的百位填 0. 2減法填個位 由于被減數(shù)的個位是 0,差的個位是 4,因此減數(shù)的個位應填 6.填十位、百位 由于被減數(shù)是四位數(shù),減數(shù)是三位數(shù),差是兩位數(shù),所以減數(shù)的百位必須是 9,同時十位相減時必須向百位借 1,這樣減數(shù)與差的十位也只能填 9 【例 8】 算下面豎式中的漢字各代表多少 ? 我 =( ) 愛 =( ) 數(shù) =( ) 學 =( ) 【解析】 先看千位數(shù),兩個相同數(shù)相加,不可能是 9,那么一定是百位向千位進了 1,所以千位上是 4,由于百位向千位進了 1,因 此,愛 +愛 =10,則愛 =5,十位沒有向百位進 是 5,肯定個位進上了 1,所以十位上數(shù) =2,個位上的數(shù),學 +學 =16,則學 =8,即: 4528+4528=9056. 我 =(4),愛 =(5) 數(shù) =(2),學 =(8) 【鞏固】 下面豎式中的漢字各代表多少 ? 【解析】 我 =( 2 ) 愛 =( 6 ) 北 =( 3 ) 京 =( 5 ) 【例 9】 下面的符號代表幾? 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【解析】 =( 8 ) 【例 10】 求當它們各代表什么數(shù)字時,能夠使算式成立 ? 【解析】 被減數(shù)是一個四位數(shù),減數(shù)是個三位數(shù),所得的差是一個三位數(shù),說明百位要向千位借 l,千位借走后無剩余,說明“兒” =1因為百位上減 1需要借位,所以“童”就只能取 0,而十位上“節(jié)定夠減,不用向百位借位,這樣從百位可得出“節(jié)” =9 的結論個位上分析可得出“樂”=8即如上式所示 【例 11】 請你猜一猜,每個算式中的漢字各表示幾 ? 【解析】 首先我們可以確定百位的“數(shù)” =1,看個位,“愛” +5=2,所以“愛” =7; 再來觀察上面的減法算式:“學” 47,可見“學” =8;再來觀察下面的加法算 式: 17+“我” 5=112,可得“我”= 【例 12】 相同的英文字母代表相同的數(shù)字 ,你知道下面 A、 B、 【解析】 這道題的突破口是要從百位上的 B 進行思考,一個兩位數(shù)加兩位數(shù),得數(shù)是一個三位數(shù) 或者 =2,那么十位 A+2+A=22,這種情況不存在 =1,十位上 A+1+A=11,如果個位向十位進一,那么 2個 A=9,也不可能,因此 2 個 A=10, A=5時,看個位 1+C+C=5, C= 【鞏固】 下面豎式中的字母和符號各代表多少 ? 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【解析】 A=( 4 ) B=( 5 ) =( 2 ) =( 9 ) C=( 1 ) =( 5 ) 【例 13】 請你算一算,下面豎式中每個字各代表幾? + 兵 炮 馬 卒兵 炮 車 卒車 卒 馬 兵 卒【解析】 兵 =( 5 ) 炮 =( 2 ) 馬 =( 4 ) 車 =( 1 ) 卒 =( 0 ) 我們從個位開始觀察, 卒 +卒 =卒,只有 0+0=0,所以卒 =0;再看和是一個五位數(shù),所以車 =1;再看千位,兵 +兵 =10,所以兵 =5;然后看十位,馬 +車 =兵,也就是馬 +1=5,所以馬 =4;最后看百位炮 +炮 =4,所以炮 =2. 【 鞏鞏 固固 】 在 下 邊的豎式中,相同字母代表相同數(shù)字,不同字母代表不同數(shù)字,則四位數(shù) _? s t v av t s tt t v t t 【 解解 析析 】 兩個四位數(shù)相加得到一個五位數(shù),顯然這個五位數(shù)的首位只能為 1,所以可以確定 1t ,那么百位不可能向千位進位,所以 11 ,十位向百位進了 1 位,所以 13v t t ,可得11 3 8s 又因為 a t t ,所以 0a ,四位數(shù) 1038。 【例 14】 下面各數(shù)字表示幾? 【解析】 從個 位看“宵” +“宵” +“宵” = 4,可見“宵” =8,向十位進 2.“元” +“元” +“元” = 9 7,可見“元” =9,向百位進 2.“度” +“度” =8,因此“度” =3,“歡” =1. 【鞏固】 如圖所示的算式中,不同的漢字表示不同的數(shù)字,相同的漢字表示相同的數(shù)字求使算式成立的漢字所表示的數(shù)字 2 0 0 8學數(shù) 學愛 數(shù) 學喜 愛 數(shù) 學【解析】 將豎式化為橫式就是: 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 喜 愛 數(shù) 學 =2008,從“ 喜 ”到“ 學 ”依次考慮,并注意到“喜”、“愛”、“數(shù)”都不能等于 0,可以得到: 1喜 , 4愛 , 6數(shù) , 7學 。 【例 15】 在下面的加法算式中,第 個加數(shù)的各位數(shù)字之和恰好是和的各位數(shù)字之和的 2 倍 則第一個 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 加數(shù)是多少 ? 【解析】 第一個加數(shù)是: 169,和是 170, 1+6+9=16, 1+7+0=8, 16是 8的 2倍 . 【例 16】 下面的算式里,每個方框代表一個數(shù)字,問:這 6個方框中 數(shù)字的總和是多少 ? 【解析】 這 6個方框中數(shù)字的總和是 47 【例 17】 在右邊的算式中,相同的符號代表相同的數(shù)字,不 同的符號代表不同的數(shù)字,根據(jù)這個算式,可以推算出: = _. 【 解解 析析 】 比較豎式中百位與十位的加法,如果十位上沒有進位,那么百位上兩個“”相加等于一個“”,得到 “” 0 ,這與“”在首位不能為 0 矛盾,所以十位上的“ ”肯定進位,那么百位上有“ 1 10 ”,從而“” 9 ,“” 8 。再由個位的加法,推知“ 8 ”從而“ 9 8 8 25 ” 【例 18】 下面算式中,相同漢字代表相同數(shù)字,不同漢字代表不同數(shù)字 愛 好 真 知數(shù) 學 更 好數(shù) 學 真 好 玩【 解解 析析 】 題中豎式為兩個四位數(shù)相加得到一個五位數(shù),這個五位數(shù)的首位只能為 1,所以“數(shù)” 1 。再看千位,由于百位至多進 1位,而“愛” “數(shù)” 1 最大為 9 1 1 11 ,所以“學”不超過 1,而“數(shù)”為 1,所以“學”只能為 0豎式變?yōu)?1010愛 好 真 知更 好真 好 玩。 那么“真”至少為 2,所以百位不可能進位,故“愛” 10 1 9 。由于“好”和“真”不同,所以“真” “好” 1 ,十位向百 位進 1位。如果個位不向十位進位,則“真” “更” “好”10 ,得到“更” 9 ,不合題意,所以個位必定向十位進 1位,則“真” “更” 1 “好” 10 ,得到“更” 8 ?,F(xiàn)在,“真” “好” 1 ,“知” “好” 10“玩”“真”、“好”、“知”、“玩”為 2, 3, 4, 5, 6, 7 中的數(shù)。由于“玩”至少為 2,而“知” “ 好”最大為 6 7 13 ,所以“玩”為 2 或 3。若“玩”為 3,則“知”與“好”分別為 6 和 7,此時無論“好”為 6 還是 7,“真”都會與已有的數(shù)字重復,不合題意。若“玩”為 2,則“知”與“好”分別為 5 和 7,只能是“知” 7 ,“好” 5 ,“真” 6 。此時“數(shù)學真好玩”代表的數(shù)是 10652。 【例 19】 ( 2008年“迎春杯”高年級組復賽 )將數(shù)字 1至 9分別填入右邊豎式的方格內使算式成 立 (每個數(shù)字恰好使用一次 ),那么加數(shù)中的四位數(shù)最 小是多少? 【 解解 析析 】 9 個方框中的數(shù)之和為 45三個加數(shù)的個位數(shù)字之和可能是 8, 18;十位數(shù)字之 12 0 0 8 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 和可能是 9, 10, 19, 20;百位數(shù)字之和可能是 8, 9, 10,其中只有 18 19 8 45 所以三個加數(shù)的個位數(shù)字之和為 18,十位數(shù)字之和為 19,百位數(shù)字之和為 8要使加數(shù)中的四位數(shù)最小,嘗試在它的百位填 1,十位填 2,此時另兩個加數(shù)的百位只能填 3, 4;則四位數(shù)的加數(shù)個位可填5,另兩個加數(shù)的十位可填 8, 9,個位可填 6, 7,符合條件,所以加數(shù)中的四位數(shù)最小是 1125 練習 1. 幫小紅把墨跡破壞的算式寫完整 . 【解析】 練習 2. 下圖 是一個正確的加法算式,其中相同的字母代表相同的數(shù)字,不同的字母代表不同的數(shù)字已知 是 3 的倍數(shù), 是 8 的 倍數(shù),那么 表的四位數(shù)是多少 ? B A O D 【 解解 析析 】 首先可以確定 D 的值一定是 0 , G 的值一定是 1 ,所以 A ,可見 偶數(shù),只能是 122 、 144 、 166 、 188 ,由于 是 3 的倍數(shù), 是 8 的倍數(shù),所以 是 3 的倍數(shù),也不是 4的倍數(shù),可以排除 144和 188,再檢驗 122和 166可知只有 166 符合,此時 830,所以 值為 3810 。 練習 3. 下面方框可以填什么數(shù)? 【解析】 這道題兩個加數(shù)都不知道,只知道兩個數(shù)的和,我們要知道這兩個加數(shù)是多少,就要先找到解決問題的突破口 91, 兩個加數(shù)十位上數(shù)字都必須是 9,而個位上兩個數(shù)字的和要進位才能使十位數(shù)字的和是 9,這樣個位上兩個數(shù)字和應該是 +9=11, 3+8=11, 4+7=11,5+6=11,所以答案有: (答案不唯一,兩個加數(shù)的順序也可以顛倒寫) 練習 4. 請你猜一猜,每個算式中的漢字各表示幾 ? 課后練習 2010 年 暑假 第 7 講

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