第7講 數(shù)字迷.教師版

2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 數(shù)字迷從形式上可以分為橫式數(shù)字迷與豎式數(shù)字迷，從運算法則上可以分為加減乘除四種形式的數(shù)字迷。橫式與豎式亦可以互相轉換，本講中將主要介紹數(shù)字迷的一般解題技巧。主要涉及小數(shù)、分數(shù)、循環(huán)小數(shù)的數(shù)字迷問題，因此，會需要利用數(shù)論的知識解決數(shù)字迷問 。 一、數(shù)字迷加減法 (1)個位數(shù)字分析法 (2)加減法中的進位與錯位 (3)奇偶性分析法 二、數(shù)字迷乘除法 數(shù)字乘法個位數(shù)字的規(guī)律 量 三 、數(shù)字謎問題解題技巧 解題的突破口多在于豎式或橫式中的特殊之處，例如首位、個位以及位數(shù)的差異； 要根據(jù)不同的情況逐步縮小范圍，并進行適當?shù)墓浪悖?題目中涉及多個字母或漢字時，要注意利用不同符號表示不同數(shù)字這一條件來排除若干可能性； 注意結合進位及退位來考慮； 有時可運用到數(shù)論中的分解質因數(shù)等方法 【 系列一： 數(shù)字迷 】 【例 1】 在 “ 慶元旦 ” 晚會上，主持人小麗 出了這樣 兩 道題目： 請大家想一想，被紙片蓋住的是什么數(shù)字 ? 【解析】 1、 先填個位，已知 6口的個位為 1，所以口 =5，且個位向十位進 1再填十位，由于個位向十位進 1，十位上數(shù) 7 1的個位數(shù)為 1，所以十位數(shù)應填 3，且十位向百位進 1最后填百位，由十位進 1，可知百位填 1 2、我們可以從位數(shù)入手被減數(shù)是一個三位數(shù)，減數(shù)是一個兩位數(shù)，差是一個一位數(shù)，應能推出它的被減數(shù)應盡可能的小，減數(shù)應盡可能大再從個位入手，可知，被減數(shù)的個位是 2，且個例題精講 知識點撥 教學目標 第 七 講 ： 數(shù)字謎 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 位向十位借 1，而差的百位、十位上均無數(shù)字，說明被減數(shù) 的百位是 1，而減數(shù)十位上的數(shù)字是 9當然此題也可反著想： 6+6= 0 ，也可推出答案 【例 2】 在下面算式的空格內，各填上一個合適的數(shù)字，使算式 成立 【解析】 解題關鍵：在算式中，個位上已經(jīng)給出了兩個數(shù)字，因此選擇個位上的空格做為解題突破口 （ 1）填個位 第一個加數(shù)個位上的空格填 9 （ 2）填千位 千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進的數(shù)，因此只能是 1 （ 3）填百位 第二個加數(shù)的百位數(shù)字最大是 9，而和是四 位數(shù)，因此算式中十位上數(shù)字之和必須向百位進 1，所以第二個加數(shù)的百位上填 9，和的百位上填 0 （ 4）填十位 由于兩加數(shù)個位上數(shù)之和向十位進 1，十位上的數(shù)相加后又向百位進 1，因此第二個加數(shù)十位上的空格應填 8或 9于是此題有兩個答案，即： 【例 3】 用 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9這十個數(shù)字組成下面的加法算 式，每個數(shù)字只許用一次，現(xiàn)已寫出 3個數(shù)字，請把這個算式補齊 【解析】 解題關鍵：由算式知，和的千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進的數(shù)，因此把確定千位數(shù)字做為突破口 （ 1） 填 千位 據(jù)上分析，千位上只能填 1 （ 2）確定百位 為了能使百位向千位進 l，所以第一個加數(shù)的百位可能是 9 或 7 (因為 8 已用過 ) 試驗：若百位上填 9，則和的百位只可能是 1或 2，而 1和 2都已用過，因此百位上不能填9，只能填 7則和的百位為 0，且十位向百位進 1，這時豎式為： （ 3）確定剩下的 4個空格 現(xiàn)在只剩下四個數(shù)字沒有用，它們是 9、 6、 5、 第二個加數(shù)的個位填 5，和的個位為 9，剩下的數(shù)字 6、 3 不能滿足十位上的要求 . 若第二個加數(shù)的個位填9，和的個位為 3，剩下的數(shù)字 5、 6 正好滿足十位上的要求，即 第一個加數(shù)的十位填 6，和的十位填 5此題的答案為 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【例 4】 在下面算式的空格內，各填入一個合適的數(shù)字，使算式 成立 【解析】 解題關鍵：這是一道四位數(shù)減去三位數(shù)差為兩位數(shù)的減法，所以選擇被減數(shù)的千位做為解題突破口又由于個位上已知兩個數(shù)字，因此先從個位入手填填個位 由于個位這一列只有一個待定的數(shù)，減數(shù)的個位應為 9，且個位向十位借 1填千位 四位數(shù)減去三位數(shù)差為兩位數(shù)，所以被減數(shù)的千位數(shù)字是 1，且百位向千位借 1 填百位 由于差 是兩位數(shù)，所以被減數(shù)的百位數(shù)字為 0，十位也向百位借 1這樣百位向千位借 1當 10，十位又向百位借 1，還剩 9， 9，因此減數(shù)的百位應填 9 填十位 由于十位向百位借 1，所以被減數(shù)的十位數(shù)字不得超過減數(shù)的十位數(shù)字，即被減數(shù)的十位數(shù)字是 0或 1，那么差的十位數(shù)字為 8或 9此題有兩個答案 . 【例 5】 把數(shù)字 1 5分別填寫在下面算式中的 口 里 【解析】 這 題限制了所需要填的五個數(shù)字，且個位這一列只有一個空格，因此把確定個位數(shù)字做為解題突破口 填個位 顯然，差的個位上填 1 填百位 由差的十位數(shù)字 8 知，十位上數(shù)相 減時，要向被減數(shù)的百位借 1，這樣百位上有 9口知，減數(shù)的百位填 3或 5，相應的差的百位上填5 或 3.3填十位 現(xiàn)在只剩下 2、 4 兩個數(shù)，分別填在被減數(shù)和減數(shù)的十位上，正好滿足題目要求 【例 6】 下面的算式里四個小紙片各蓋住一個數(shù)字，問被蓋住的 四個數(shù)字的和是多少 ? 【解析】 求被蓋住的四個數(shù)字的和，對于這四個數(shù)具體是幾并不十分重要而和 149 的個位是 9，所以個位數(shù)相加沒有進位，即個位上兩個數(shù)的和是 9十位上兩個數(shù)的和是 14因此，被蓋住的四個數(shù)字的和是 14 9=23 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【例 7】 在下面算式 的空格內，各填入一個合適的數(shù)字，使算式 成立 【解析】 這是一道加減法混合運算的填空格題，我們把加法、減法分開考慮，使問題簡化： 1加法 填十位 從算式可以看出，第二個加數(shù)與和的十位上都是 9，所以個位上數(shù)字之和一定向十位進了 1，十位數(shù)字之和也向百位進了 1，因此算式中十位上應是 9 1=19，故第一個加數(shù)的十位上填 9填個位 由于個位上 1口的和向十位進 1，所以口中只能填 9，和的個位就為 0填百位和千位 由于兩位數(shù)加三位數(shù)，和是四位數(shù)，所以百位上數(shù)相加后必向千位進 1這樣 第二個加數(shù)的百位應填 9，和的千位填 1，和的百位填 0. 2減法填個位 由于被減數(shù)的個位是 0，差的個位是 4，因此減數(shù)的個位應填 6.填十位、百位 由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位必須是 9，同時十位相減時必須向百位借 1，這樣減數(shù)與差的十位也只能填 9 【例 8】 算下面豎式中的漢字各代表多少 ? 我 =( ) 愛 =( ) 數(shù) =( ) 學 =( ) 【解析】 先看千位數(shù)，兩個相同數(shù)相加，不可能是 9，那么一定是百位向千位進了 1，所以千位上是 4，由于百位向千位進了 1，因 此，愛 +愛 =10，則愛 =5，十位沒有向百位進 是 5，肯定個位進上了 1，所以十位上數(shù) =2，個位上的數(shù)，學 +學 =16，則學 =8，即： 4528+4528=9056. 我 =(4)，愛 =(5) 數(shù) =(2)，學 =(8) 【鞏固】 下面豎式中的漢字各代表多少 ? 【解析】 我 =（ 2 ） 愛 =（ 6 ） 北 =（ 3 ） 京 =（ 5 ） 【例 9】 下面的符號代表幾？ 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【解析】 =（ 8 ） 【例 10】 求當它們各代表什么數(shù)字時，能夠使算式成立 ? 【解析】 被減數(shù)是一個四位數(shù)，減數(shù)是個三位數(shù)，所得的差是一個三位數(shù)，說明百位要向千位借 l，千位借走后無剩余，說明“兒” =1因為百位上減 1需要借位，所以“童”就只能取 0，而十位上“節(jié)定夠減，不用向百位借位，這樣從百位可得出“節(jié)” =9 的結論個位上分析可得出“樂”=8即如上式所示 【例 11】 請你猜一猜，每個算式中的漢字各表示幾 ? 【解析】 首先我們可以確定百位的“數(shù)” =1，看個位，“愛” +5=2，所以“愛” =7； 再來觀察上面的減法算式：“學” 47，可見“學” =8；再來觀察下面的加法算 式： 17+“我” 5=112，可得“我”= 【例 12】 相同的英文字母代表相同的數(shù)字 ，你知道下面 A、 B、 【解析】 這道題的突破口是要從百位上的 B 進行思考，一個兩位數(shù)加兩位數(shù)，得數(shù)是一個三位數(shù) 或者 =2，那么十位 A+2+A=22，這種情況不存在 =1，十位上 A+1+A=11，如果個位向十位進一，那么 2個 A=9，也不可能，因此 2 個 A=10， A=5時，看個位 1+C+C=5， C= 【鞏固】 下面豎式中的字母和符號各代表多少 ? 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 【解析】 A=（ 4 ） B=（ 5 ） =（ 2 ） =（ 9 ） C=（ 1 ） =（ 5 ） 【例 13】 請你算一算，下面豎式中每個字各代表幾？ + 兵 炮 馬 卒兵 炮 車 卒車 卒 馬 兵 卒【解析】 兵 =( 5 ) 炮 =( 2 ) 馬 =( 4 ) 車 =( 1 ) 卒 =( 0 ) 我們從個位開始觀察， 卒 +卒 =卒，只有 0+0=0，所以卒 =0；再看和是一個五位數(shù)，所以車 =1；再看千位，兵 +兵 =10，所以兵 =5；然后看十位，馬 +車 =兵，也就是馬 +1=5，所以馬 =4；最后看百位炮 +炮 =4，所以炮 =2. 【 鞏鞏 固固 】 在 下 邊的豎式中，相同字母代表相同數(shù)字，不同字母代表不同數(shù)字，則四位數(shù) _？ s t v av t s tt t v t t 【 解解 析析 】 兩個四位數(shù)相加得到一個五位數(shù)，顯然這個五位數(shù)的首位只能為 1，所以可以確定 1t ，那么百位不可能向千位進位，所以 11 ，十位向百位進了 1 位，所以 13v t t ，可得11 3 8s 又因為 a t t ，所以 0a ，四位數(shù) 1038。 【例 14】 下面各數(shù)字表示幾？ 【解析】 從個 位看“宵” +“宵” +“宵” = 4，可見“宵” =8，向十位進 2.“元” +“元” +“元” = 9 7，可見“元” =9，向百位進 2.“度” +“度” =8，因此“度” =3，“歡” =1. 【鞏固】 如圖所示的算式中，不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)字求使算式成立的漢字所表示的數(shù)字 2 0 0 8學數(shù) 學愛 數(shù) 學喜 愛 數(shù) 學【解析】 將豎式化為橫式就是： 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 喜 愛 數(shù) 學 =2008，從“ 喜 ”到“ 學 ”依次考慮，并注意到“喜”、“愛”、“數(shù)”都不能等于 0，可以得到： 1喜 ， 4愛 ， 6數(shù) ， 7學 。 【例 15】 在下面的加法算式中，第 個加數(shù)的各位數(shù)字之和恰好是和的各位數(shù)字之和的 2 倍 則第一個 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 加數(shù)是多少 ? 【解析】 第一個加數(shù)是： 169，和是 170， 1+6+9=16， 1+7+0=8， 16是 8的 2倍 . 【例 16】 下面的算式里，每個方框代表一個數(shù)字，問：這 6個方框中 數(shù)字的總和是多少 ? 【解析】 這 6個方框中數(shù)字的總和是 47 【例 17】 在右邊的算式中，相同的符號代表相同的數(shù)字，不 同的符號代表不同的數(shù)字，根據(jù)這個算式，可以推算出： = _. 【 解解 析析 】 比較豎式中百位與十位的加法，如果十位上沒有進位，那么百位上兩個“”相加等于一個“”，得到 “” 0 ，這與“”在首位不能為 0 矛盾，所以十位上的“ ”肯定進位，那么百位上有“ 1 10 ”，從而“” 9 ，“” 8 。再由個位的加法，推知“ 8 ”從而“ 9 8 8 25 ” 【例 18】 下面算式中，相同漢字代表相同數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字 愛 好 真 知數(shù) 學 更 好數(shù) 學 真 好 玩【 解解 析析 】 題中豎式為兩個四位數(shù)相加得到一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的首位只能為 1，所以“數(shù)” 1 。再看千位，由于百位至多進 1位，而“愛” “數(shù)” 1 最大為 9 1 1 11 ，所以“學”不超過 1，而“數(shù)”為 1，所以“學”只能為 0豎式變?yōu)?1010愛 好 真 知更 好真 好 玩。 那么“真”至少為 2，所以百位不可能進位，故“愛” 10 1 9 。由于“好”和“真”不同，所以“真” “好” 1 ，十位向百 位進 1位。如果個位不向十位進位，則“真” “更” “好”10 ，得到“更” 9 ，不合題意，所以個位必定向十位進 1位，則“真” “更” 1 “好” 10 ，得到“更” 8 ?，F(xiàn)在，“真” “好” 1 ，“知” “好” 10“玩”“真”、“好”、“知”、“玩”為 2， 3， 4， 5， 6， 7 中的數(shù)。由于“玩”至少為 2，而“知” “ 好”最大為 6 7 13 ，所以“玩”為 2 或 3。若“玩”為 3，則“知”與“好”分別為 6 和 7，此時無論“好”為 6 還是 7，“真”都會與已有的數(shù)字重復，不合題意。若“玩”為 2，則“知”與“好”分別為 5 和 7，只能是“知” 7 ，“好” 5 ，“真” 6 。此時“數(shù)學真好玩”代表的數(shù)是 10652。 【例 19】 （ 2008年“迎春杯”高年級組復賽 )將數(shù)字 1至 9分別填入右邊豎式的方格內使算式成 立 (每個數(shù)字恰好使用一次 )，那么加數(shù)中的四位數(shù)最 小是多少？ 【 解解 析析 】 9 個方框中的數(shù)之和為 45三個加數(shù)的個位數(shù)字之和可能是 8， 18；十位數(shù)字之 12 0 0 8 2010 年 暑假 第 7 講 教師版 1 和可能是 9， 10， 19， 20；百位數(shù)字之和可能是 8， 9， 10，其中只有 18 19 8 45 所以三個加數(shù)的個位數(shù)字之和為 18，十位數(shù)字之和為 19，百位數(shù)字之和為 8要使加數(shù)中的四位數(shù)最小，嘗試在它的百位填 1，十位填 2，此時另兩個加數(shù)的百位只能填 3， 4；則四位數(shù)的加數(shù)個位可填5，另兩個加數(shù)的十位可填 8， 9，個位可填 6， 7，符合條件，所以加數(shù)中的四位數(shù)最小是 1125 練習 1. 幫小紅把墨跡破壞的算式寫完整 . 【解析】 練習 2. 下圖 是一個正確的加法算式，其中相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字已知 是 3 的倍數(shù)， 是 8 的 倍數(shù)，那么 表的四位數(shù)是多少 ？ B A O D 【 解解 析析 】 首先可以確定 D 的值一定是 0 ， G 的值一定是 1 ，所以 A ，可見 偶數(shù)，只能是 122 、 144 、 166 、 188 ，由于 是 3 的倍數(shù)， 是 8 的倍數(shù)，所以 是 3 的倍數(shù)，也不是 4的倍數(shù)，可以排除 144和 188，再檢驗 122和 166可知只有 166 符合，此時 830，所以 值為 3810 。 練習 3. 下面方框可以填什么數(shù)？ 【解析】 這道題兩個加數(shù)都不知道，只知道兩個數(shù)的和，我們要知道這兩個加數(shù)是多少，就要先找到解決問題的突破口 91， 兩個加數(shù)十位上數(shù)字都必須是 9，而個位上兩個數(shù)字的和要進位才能使十位數(shù)字的和是 9，這樣個位上兩個數(shù)字和應該是 +9=11， 3+8=11， 4+7=11，5+6=11，所以答案有： （答案不唯一，兩個加數(shù)的順序也可以顛倒寫） 練習 4. 請你猜一猜，每個算式中的漢字各表示幾 ? 課后練習 2010 年 暑假 第 7 講