第2講.比和比例.學(xué)生版

2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容 一、比和比例的性質(zhì) 性質(zhì) 1：若 a: b=c： d，則 (a + c)： (b + d)= a： b=c： d； 性質(zhì) 2：若 a: b=c： d，則 (a - c)： (b - d)= a： b=c： d； 性質(zhì) 3：若 a: b=c： d，則 (a +x c)： (b +x d)=a： b=c： d； (x 為常數(shù) ) 性質(zhì) 4：若 a: b=c： d，則 ad = bc； (即外項積等于內(nèi)項積 ) 正比例：如果 ab=k(k 為常數(shù) )，則稱 a、 b 成正比； 反比例：如果 ab=k(k 為常數(shù) )，則稱 a、 b 成反比 1、比例的基本性質(zhì) 2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題 3、能夠進(jìn)行 各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化； 4、單位“ 1” 變化的比例問題 5、方程解比例應(yīng)用題 第 二 講 比和比例 教學(xué)目標(biāo) 知識 點撥 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 二、主要比例轉(zhuǎn)化實例 mx b； x 其中 0m )； y a b； x y a ； x y a bx y a b； L x : : : :x y z a c b c b d ； x 的 y 的 x 是 y 的 y 是 x 的 三、按比例分配與和差關(guān)系 按比例分配 例如：將 x 個物體按照 :兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數(shù)量與 x 的比分別為 :a a b 和 :b a b ， 所以甲分配到 ，乙分配到 . 已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題 例如：兩個類別 A 、 B ，元素的數(shù)量比為 :里 )，數(shù)量差為 x ，那么 A 的元素數(shù)量為 B 的元素數(shù)量為 所以解題的關(guān)鍵是求出 與 a 或 b 的比值 四、比例題目常用解題方式和思路 解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、 運用單位“ l”。題中如果有幾個不同的單位“ 1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“ 1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“ 1”，使數(shù)量關(guān)系簡單化，達(dá)到解決問題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，要注意以下幾點： 1. 題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“ 1”。 2. 若 題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“ 1” 。 3. 應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。 4. 題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。 5. 賦值解比例問題 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 模塊一、比例轉(zhuǎn)化 例題 3 3 例題 2 2 例題精講 例題 1 1 已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的 13，乙等于甲、丙兩數(shù)和的 12，丙等于甲、乙兩數(shù)和的 57，求 :甲 乙 丙 . 已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的 2 倍也等于 丙的 23，那么甲的 23、乙的 2 倍、丙的一半這三個數(shù)的比為多少？ 如下圖所示，圓 B 與圓 C 的面積之和等于圓 A 面積的 45，且圓 A 中的陰影部分面積占圓 A 面積的 16，圓 B 的陰影部分面積占圓 B 面積的 15，圓 C 的陰影部分面積占圓 C 面積的 13求圓 A 、圓 B 、圓 C 的面積之比 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 固】 一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個工程隊建設(shè)，兩個工程隊建設(shè)了相同多的一段時間后，分別剩下 60% 、 40% 的任務(wù)沒有完成，已知兩個工程隊的工作效率 (建設(shè)速度 )之比 3:1 ，求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度之比 . 例題 6 6 例題 5 5 例題 4 4 某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是 3:2 ，分為甲、乙、丙三組已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是 10:8:7 ，甲組中男、女會員的人數(shù)之比是 3:1 ，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是 5:3 求丙組中男、女會員人數(shù)之比 某團(tuán)體有 100 名會員，男女會員人數(shù)之比是 14:11 ，會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為 12:13 、 5:3 、 2:1 ，那么丙組有多少名男會員？ (2007 年華杯賽總決賽 )A 、 B 、 C 三項工程的工作量之比為 1:2:3 ，由甲、乙、丙三隊分別承擔(dān)三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的 工作量，則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？ 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 【鞏固】 某次數(shù)學(xué)競賽設(shè)一、二、三等獎已知： 甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等； 甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為 5:6 ； 甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的 20% ； 甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的 50% ； 甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的 那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？ 模塊二、按比例分配與和差關(guān)系 （一）量倍對應(yīng) 例題 8 8 例題 7 7 某校畢業(yè)生共有 9 個班，每班人數(shù)相等 已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個班的女生總數(shù)多 1； 四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多 1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？ 一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到 16 個，而甲、乙兩班的人數(shù)比為 13:11 ，求一共有多少個蘋果？ 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 【鞏固】 小新、小 志、小剛?cè)藫碛械牟貢鴶?shù)量之比為 3:4:6 ，三人一共藏書 52 本，求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量 . 【鞏固】 在抗洪救災(zāi)區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是 10:7 ，則甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元 【鞏固】 有 120 個 皮球，分給兩個班使用，一班分到的 13與二班分到的 12相等，求兩個班各分到多少皮球？ 例題 10 10 例題 9 9 一 班和二班的人數(shù)之比是 8:7 ，如果將一班的 8 名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)?4:5 求原來兩班的人數(shù) 幼兒園大班和中班共有 32 名男生， 18 名女生 已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3 ，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為 2:1 ，那么大班有女生多少名？ 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 【鞏固】 參加植樹的同學(xué)共有 720 人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是 3:2 ，六 年級比四年級多 80 人，三個年級參加植樹的各有多少人 ? 【鞏固】 圓珠筆和鉛筆的價格比是 4： 3， 20 支圓珠筆和 21 支鉛筆共用 71 5 元問圓珠筆的單價是每支多少元 ? 例題 11 11 例題 13 13 例題 12 12 甲乙兩車分別從 A， B 兩地出發(fā)，相向而行出發(fā)時，甲、乙的速度比是 5 4，相遇后，甲的速度減少 20，乙的速度增加 20，這樣，當(dāng)甲到達(dá) B 地時，乙離 A 地還有 10 千米問： A， B 兩地相距多少千米？ 師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用 9 分鐘，徒弟加工一個零件用 15分鐘完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工 100 個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？ 甲乙兩只螞蟻同時從 A 點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結(jié)果在距 B 點 2 厘米的 C 點相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的 ，求這個長方形的周長 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 【鞏固】 師徒二人共加工零件 400 個，師傅加工一個零件用 9 分鐘，徒弟加工一個零件用 15 分鐘完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工多少個零件？ 【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校四五六年級共有 615 名學(xué)生，已知六年級學(xué)生的 12，等于五年級學(xué)生的 25，等于四年級學(xué)生 的 37。這三個年級各有多少名學(xué)生學(xué)生？ 例題 15 15 例題 14 14 A 、 B 、 C 三個水桶的總?cè)莘e是 1440 公升，如果 A 、 B 兩桶裝滿水， C 桶是空的；若將 A 桶水的全部和 B 桶水的 15，或?qū)?B 桶水的全部和 A 桶水的 13倒入 C 桶，C 桶都恰好裝滿求 A 、 B 、 C 三個水桶容積各是多少公升？ 一塊長方形鐵板，寬是長的 45從寬邊截去 21 厘米，長邊截去 35% 以后，得到一塊正方形鐵板問原來長方形鐵板的長是多少厘米 ? 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 6 【鞏固】 一個正方形的一邊減少 20% ，另一邊增加 2 米，得到一個長方形，這個長方形的面積與原正方形面積相等原正方形的邊長是多少米 ? 【鞏固】 (2009 年十三分小升初 入學(xué)測試題 )甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為 6:5 ，后來甲又得到 180 元，乙又得到 30 元，這時甲、乙錢數(shù)之比為 18:11 ，求原來兩人的錢數(shù)之和為多少？ 例題 17 17 例題 16 16 一把小刀售價 3 元如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是2:5 ；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?8:13 小明原來有多少錢？ (2008 年西城實驗考題 )一項機(jī)械加工作業(yè)，用 4 臺 A 型機(jī)床， 5 天可以完成；用 4臺 A 型機(jī)床和 2 臺 B 型機(jī)床 3 天可以完成；用 3 臺 B 型機(jī)床和 9 臺 C 型機(jī)床， 2天可以完成，若 3 種機(jī)床各取一臺工作 5 天后，剩下 A 、 C 型機(jī)床繼續(xù)工作，還需要 _ 天可以完成作業(yè) 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 0 6 模塊二：利用不變量 統(tǒng)一份數(shù) 【鞏固】 有一個長方體，長與寬的比是 2:1 ，寬與高的比是 3:2 已知這個長方體的全部棱長之和是 220 厘米，求這個長方體的體積 例題 20 20 例題 19 19 例題 18 18 動物園門票大人 20 元，小孩 10 元六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比，大人增加了 60% ，兒童增加了 90% ，共增加了 2100 人，但門票收入與前一天相同六一兒童節(jié)這天共有 多少 人入園？ (2008年武漢市外國語學(xué)校小升初數(shù)學(xué)卷 )某水果批發(fā)市場存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是 1:2 ，第一天售出蘋果的 20% ，售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是 1:3 ；第二天售出蘋果 18 噸，桃子 12 噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是 所剩桃子噸數(shù)的 415，問原有蘋果和桃子各有多少噸？ 有一個長方體，長和寬的比是 2:1 ，寬與高的比是 3:2 表面積為 272求這個長方體的體積 . 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 1 6 例題 21 21 例題 24 24 例題 23 23 例題 22 22 6 枚壹分硬幣摞在一起與 5 枚貳分硬幣摞在一起一樣高， 4 枚壹分硬幣摞在一起與 3 枚伍分硬幣摞在一起一樣高用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了 124 枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？ (2007 年二中考題 )某工地用 3 種型號的卡車運送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為 10:7:6 ，速度比為 6:8:9 ，運送土方的路程之比為 15:14:14 ，三種車的輛數(shù)之比為 10:5:7 工程開始時，乙、丙兩種車全部投入 運輸，但甲種車只有一半投入，直到 10 天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了 25 天完成任務(wù)那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？ (2008 年第 13 屆華杯賽初賽 )將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個小朋友原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 5:4:3 實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 7:6:5 ，其中有一位小朋友比原計劃多得了 15 塊糖果那么這位小朋友是 (填 “甲 ”、 “乙 ”或 “丙 ”)，他實際所得的糖果數(shù)為 塊 （ 2009 年第七屆“希望杯”二試六年級）某高 速公路收費站對于過往車輛收費標(biāo)準(zhǔn)是：大型車 30 元，中型車 15 元，小型車 10 元一天，通過該收費站的大型車和中型車數(shù)量之比是 5:6 ，中型車與小型車之比是 4:11 ，小型車的通行費總數(shù)比大型車多 270 元（ 1）這天通過收費站的 大型車、中型車、小型車各有多少輛？（ 2）這天的收費總數(shù)是多少元？ 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 2 6 【鞏固】 今年兒子的年齡是父親年齡的 14， 15 年后，兒子的年齡是父親年齡的 511今年兒子多少歲？ （ 1）CBA【鞏固】 袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是 19:13 放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?5:3 ；再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?13:11 已知放入的紅球比白球少 80 只那么原來袋子里共有 只球 例題 26 26 例題 25 25 一個周長是 56 厘米的大長方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個小長方形在圖中小長方形面積的比是 : 1: 2， : 1: 2而在圖中相應(yīng)的比例是 : 1:3， : 1:3D 的寬減去 D 的寬所得到的差與D 的長減去 D 的長所得到差之比為 1:3 求大長方形的面積 (2008 年 101 中學(xué)試 題 )北京中學(xué)生運動會男女運動員比例為 19:12 ，組委會決定增加女子藝術(shù)體操項目，這樣男女運動員比例變?yōu)?20:13 ；后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變?yōu)?30:19 ,已知男子象棋項目運動員比女子藝術(shù)體操運動員多 15人，則總運動員人數(shù)為多少？ 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 3 6 （三）利用等量關(guān)系列方程解比例 例題 29 29 例題 28 28 例題 27 27 (2008 年西城實驗考題 )有若干個突擊隊參加某工地會戰(zhàn)，已知每個 突擊隊人數(shù)相同，而且每個隊的女隊員的人數(shù)是該隊的男隊員的 718，以后上級從第一突擊隊調(diào)走了該隊的一半隊員，而且全是男隊員，于是工地上的全體女隊員的人數(shù)是剩下的全體男隊員的 817，問開始共有多少支突擊隊參加會戰(zhàn)？ 某學(xué)校入學(xué)考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是 4:3 結(jié)果錄取 91 人，其中男生與女生人數(shù)之比是 8:5 未被錄取的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是 有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重 6 千克，乙塊重 4 千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的重量為 _ 2010 年 暑假 六 年級數(shù)學(xué) 第 2 講 學(xué)生 版 4 6 練習(xí) 3 3 練習(xí) 2 2 練習(xí) 1 1 家庭作業(yè) 右圖是一個園林的規(guī)劃圖，其中 ，正方形的 34是草地；圓的 67是竹林；竹林比草地多占地 450 平方米 問：水池占多少平方米 ? 乙兩個班共種