例說探索開放性問題的解題策略

例談探索開放性問題的解題策略例談探索開放性問題的解題策略 王玉香 蘭州三十二中 郵編 730000 內容摘要內容摘要 數(shù)學課程標準 明確指出 自主探索 動手實踐 合作交流等是學生學習數(shù)學的重要方式 使學生的學習過程成為在 教師引導下的再創(chuàng)造 因此 在數(shù)學教學中 以數(shù)學開放題為載 體 通過為學生營造開放性 發(fā)展性 層次性等特點的問題情境 鼓勵學生嘗試探索 多角度激活他們的創(chuàng)造性思維 產生盡可能多 盡可能新 盡可能獨特的解題方法 以利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識 創(chuàng)新能力和創(chuàng)新精神 關健詞關健詞 開放性問題 解題策略 開放性問題是近年來數(shù)學命題的一個新方向 是一種具有開放性 和發(fā)散性的問題 由于它具有與傳統(tǒng)封閉型題不同的特點 因此在 數(shù)學教學中有其特定功能 數(shù)學開放題教學通過營造開放性 發(fā)展 性 層次性等特點的問題情境 為學生提供了更多的交流與合作的 機會 為充分發(fā)揮學生的主體作用創(chuàng)造了條件 數(shù)學開放題的教學 過程是學生主動構建 積極參與的過程 有利于培養(yǎng)學生數(shù)學意識 讓學生真正學會 數(shù)學地思維 數(shù)學開放題的教學過程也是學生探 索和創(chuàng)造的過程 有利于培養(yǎng)學生的探索開拓精神和創(chuàng)造能力 本 文就數(shù)學開放題的幾種常見類型 例說探索開放性問題的解題策略 1 條件追溯型 這類問題的基本特征是 針對一個結論 條件 未知需探索 或條件增刪需確定 或條件正誤需判斷 解決這類問 題的基本策略是 執(zhí)果索因 先尋找結論成立的必要條件 再通過 檢驗或認證找到結論成立的充分條件 在 執(zhí)果索因 的過程中 常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否 誤將必要條件 當作充分條件 應引起注意 例1 2006湖南高考 若函數(shù)f x asin x b sin x 4 4 ab 0 是偶函數(shù) 則有序數(shù)對 a b 可以是 注 只 要填滿足a b 0的一組數(shù)字即可 寫出你認為正確的一組數(shù)字即可 解析 函數(shù)f x asin x b sin x 是偶函數(shù) 觀察易得 4 4 x 與 x 是兩個互余的角 當 a b b 時易變形為一個角的一個 4 4 三角函數(shù)的形式 不妨令a 1 b 1 故f x sin x sin x 4 4 cosx 2 4 sin 2 2 4 cos 2 2 xx2 故取a 1 b 1 點評 本題為條件探索型題目 其結論明確 需要完備使得結論 成立的充分條件 可將題設和結論都視為已知條件 進行演繹推理 推導出所需尋求的條件 這類題要求學生變換思維方向 有利于培 養(yǎng)學生的逆向思維能力 2 結論探索型 這類問題的基本特征是 有條件而無結論或 結論的正確與否需要確定 解決這類問題的策略是 先探索結論而 后去論證結論 在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?通過觀察 分析 歸納 判斷來作一番猜測 得出結論 再就一般情形去認證 結論 例2 2007福建高考 中學數(shù)學中存在許多關系 比如 相等關系 平行關系 等等 如果集合A中元素之間的一個關系 滿足 以下三個條件 1 自反性 對于任意a A 都有a a 2 對稱性 對于a b A 若a b 則有b a 3 傳遞性 對于a b c A 若a b b c 則有a c 則稱 是集合A的一個等價關系 例如 數(shù)的相等 是等價 關系 而 直線的平行 不是等價關系 自反性不成立 請你再列 出兩個等價關系 解析 令A為所有三角形構成的集合 定義 兩個三角形全等為關系 則其為等價關系 令B為所有正方形構成的集合 定義 B中兩個元素相似為關系 則其為等價關系 點評 本題要求正確理解新概念 的意義 如何能夠跳出 題海 全面考察問題的各個方面 不僅可以訓練自己的思維 而且 可以縱觀全局 從整體上對知識的全貌有一個較好的理解 3 條件重組型 這類問題的基本特征是 改變已知問題的條件 探討結論相應地會發(fā)生什么變化 或者改變已知問題的結論 探討 條件相應地會發(fā)生什么變化 例3 99 年全國高考 是兩個不同的平面 m n 是 平面 及 之外的兩條不同的直線 給出四個論斷 m n n m 以其中的三個論斷作為條 件 余下一個論斷作為結論 寫出你認為正確的一個命題 解析 本題給出了四個論斷 要求其中三個為條件 余下一個為結 論 分四種情況逐一驗證 依題意可得以下四個命題 1 m n n m 2 m n m n 3 m n n m 4 n m m n 不難發(fā)現(xiàn) 命題 3 4 為真命題 而命題 1 2 為假命題 故填上 命題 3 或 4 點評 本題的條件和結論都不是固定的 是可變的 所以這是一 道條件開放結論也開放的全開放性試題 本題可組成四個命題 且 正確的命題不止一個 解題時不必把所有正確的命題都找出 因此 本題的結論也是開放的 4 存在判斷型 這類問題的基本特征是 要判斷在某些確定 條件下的某一數(shù)學對象 數(shù)值 圖形 函數(shù)等 是否存在或某一結論 是否成立 解決這類問題的基本策略是 通常假定題中的數(shù)學對象 存在 或結論成立 或暫且認可其中的一部分的結論 然后在這個前 提下進行邏輯推理 若由此導出矛盾 則否定假設 否則 給出肯 定結論 例4 已知f x log a 3 ax 1 當x 0 2 時 函數(shù)f x 恒有意義 求a的取值范圍 2 是否存在這樣的實數(shù)a 使得函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 為減函數(shù) 并 且最大值為1 如果存在 求出實數(shù)a 的值 如果不存在 說明理 由 解析 1 由題意3 ax 0在x 0 2 上恒成立 則有3 2a 0 所以a的取值范圍為0 a 1或1 a 0 為減函數(shù) 由題設條件知f 1 1 則loga 3 a 1 解得a 又函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 有意義 2 3 2 3 a 所以這樣的實數(shù)a不存在 點評 多個限制條件的存在型問題一種方法是在各個獨立條件限 制下 分別求相應的結果 再看這些條件共同限制的情況 從而得 出結論 一種方法是在一個限制條件下分析 然后逐步加入其它限 制條件 實際解題時 據(jù)具體題目特點確定解法 總之 對數(shù)學探索開放性問題的學習 有利于激發(fā)學生的創(chuàng)新 意識 擴大創(chuàng)新視野 使學生積極主動參與創(chuàng)造活動 有利于學生 綜合與靈活應用所學的數(shù)學知識和數(shù)學方法 進行獨立的思考探索 和研究 提出解決問題的思路 創(chuàng)造性的解決問題 有利于培養(yǎng)學 生探索 分析 歸納 判斷 討論與證明等方面的能力 使學生經 歷一個發(fā)現(xiàn)問題 研究問題 解決問題的全過程 使學生的創(chuàng)新精神 和創(chuàng)新