江蘇省張家港市2012-2013學(xué)年高二數(shù)學(xué)周日測(cè)試5

1 張家港外國(guó)語學(xué)校高二數(shù)學(xué)周日測(cè)試張家港外國(guó)語學(xué)校高二數(shù)學(xué)周日測(cè)試 5 5 1 如果復(fù)數(shù) i bi 21 2 其中 i 為虛數(shù)單位 b 為實(shí)數(shù) 的實(shí)部和虛部互為相反數(shù) 那么 b 2 從 8 名女生 4 名男生中 選出 3 名學(xué)生組成課外小組 如果按性別比例分層抽樣 則不 同的抽取方法數(shù)為 3 設(shè) 29211 01211 1 21 2 2 2 xxaa xaxax 則 的值為 0111 aaa 4 在面積為 S 的正三角形 ABC 中 E 是邊 AB 上的動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn) E 作 EF BC 交 AC 于點(diǎn) F 當(dāng) 點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到離邊 BC 的距離為高的時(shí) 的面積取得最大值為類比上面的ABC 1 2 EFB 1 4 S 結(jié)論 可得 在各棱條相等的體積為 V 的四面體 ABCD 中 E 是棱 AB 上的動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn) E 作平 面 EFG 平面 BCD 分別交 AC AD 于點(diǎn) F G 則四面體 EFGB 的體積的最大值等于 5 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 寬 高分別為 其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上 則該球的表面積為2aaa 6 在正方體中 分別是的中點(diǎn) 111 DCBAABCD QPNM 1111 CCDCAAAB 給出以下四個(gè)結(jié)論 平面 與相交 1 ACMN 1 ACMNPQ 1 ACPM 1 NC 與異面其中正確結(jié)論的序號(hào)是 PM 7 下列命題中 錯(cuò)誤命題序號(hào)是 0 1 A 的子集有 3 個(gè) 若 22 ambmab 則 的逆命題為真 命題pq 為真 是 命題pq 為真 的必要 不充分條件 命題 xR 均有 2 320 xx 的否定是 xR 使得 2 320 xx 8 下列 若 則 形式的命題中 是的充分而不必要條件的有 個(gè) 若pqpq 或xE 則 若關(guān)于的不等式的解集為 R 則xF xEF x 2 230axaxa 0a 若是有理數(shù) 則是無理數(shù)2xx 9 已知 在區(qū)間上任取三個(gè)不同的數(shù) 均存在以 xf 3 3xxm 2 0 a b c 為邊長(zhǎng)的三角形 則的取值范圍是 f af bf cm 10 設(shè)分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 過的直線與相交 12 FF 2 2 2 1 01 y E xb b 1 F E 于兩點(diǎn) 且成等差數(shù)列 則 AB 22 AFABBF AB 11 過雙曲線的左焦點(diǎn) 作圓的切線 22 22 1 0 0 xy ab ab 0 0 Fcc 2 22 4 a xy 切點(diǎn)為 E 延長(zhǎng) FE 交曲線右支于點(diǎn) P 若 則雙曲線的離心率為 1 2 OEOFOP 12 已知拋物線方程為 2 4yx 直線l的方程為40 xy 在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) P 到 y 軸的距離為 1 d P 到直線l的距離為 2 d 則 12 dd 的最小值為 13 已知P是直線0843 yx上的動(dòng)點(diǎn) 是圓0122 22 yxyx的切PAPB 線 是切點(diǎn) C是圓心 那么四邊形PACB面積的最小值是 AB 2 14 曲線 0 0 ba ax b y與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為 望點(diǎn) 以 望點(diǎn) 為圓心 凡是與曲線 C 有公共點(diǎn)的圓 皆稱之為 望圓 則當(dāng) a 1 b 1 時(shí) 所有 的 望圓 中 面積最小的 望圓 的面積為 15 如圖所示 已知圓O x2 y2 4 直線m kx y 1 0 1 求證 直線m與圓O有兩個(gè)相異交點(diǎn) 2 設(shè)直線m與圓O的兩個(gè)交點(diǎn)為A B 求 AOB面積S的最大值 16 如圖 在圓錐PO中 已知PO O的直徑AB 2 C是弧的中點(diǎn) D為AC的中 2 AB 點(diǎn) 1 證明 平面POD 平面PAC 2 求二面角B PA C的余弦值 17 已知函數(shù) a b是不同時(shí)為零的常數(shù) 其導(dǎo)函數(shù)為 32 f xaxbxba x fx 1 當(dāng)時(shí) 若不等式對(duì)任意恒成立 求b的取值范圍 1 3 a 0fx x 3 1 2 若函數(shù)為奇函數(shù) 且在處的切線垂直于直線 關(guān)于x的方程 f x1x 230 xy 在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)t的取值范圍 1 4 f xt 1 1 t t 3 18 已知拋物線 0 2 2 ppyxC 的焦點(diǎn)為F 拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 1 x 0 1 x 過點(diǎn)A作拋物線C的切線 1 l 交x軸于點(diǎn)D 交 y 軸于點(diǎn)Q 交直線 2 p l y 于點(diǎn)M 當(dāng) 2 FD 時(shí) 60 AFD 求證 AFQ 為等腰三角形 并求拋物線C的方程 若B位于 y 軸左側(cè)的拋物線C上 過點(diǎn)B作拋物線C的切線 2 l 交直線 1 l 于點(diǎn)P 交 直線l于點(diǎn)N 求 PMN 面積的最小值 并求取到最小值時(shí)的 1 x 值 19 設(shè)分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 1 若橢圓上的點(diǎn) 12 F F 22 22 1 xy C ab 0 ab C 到兩點(diǎn)的距離之和等于 4 寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo) 2 設(shè)點(diǎn)是 3 1 2 A 12 F FCP 1 中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn) 求的最大值 3 已知橢圓具有性質(zhì) 若 1 0 2 QPQ 是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn) 點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn) 當(dāng)直線的斜率 M NCP PM PN 都存在 并記為 時(shí) 那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值 試對(duì)雙曲 PM K PN K PM K PN KP 線寫出具有類似特性的性質(zhì) 并加以證明 22 22 1 xy ab 4 20 函數(shù) 當(dāng)時(shí) 求證 1ln xaxf 0 a0 x 1 1 1 x axf 在區(qū)間上恒成立 求實(shí)數(shù)的范圍 當(dāng)時(shí) 求證 1 e xfx a 2 1 a 11 2 1 3 2 nnnfff nN 5 高二數(shù)學(xué)加試題高二數(shù)學(xué)加試題 1 已知 ABC A 1 0 B 3 0 C 2 1 對(duì)它先作關(guān)于 x 軸的反射變換 再將所得圖 形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 1 分別求兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣 M1 M2 2 求點(diǎn) C 在兩次 連續(xù)的變換作用下所得到的點(diǎn)的坐標(biāo) 2 O1 和 O2 的極坐標(biāo)方程分別為 4cos4sin 1 把 O1 和 O2 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 2 求經(jīng)過 O1 O2 交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程 3 求 O1 O2 的公共弦弦長(zhǎng) 6 3 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn) 以提高下崗人員的再就業(yè)能力 每名下 崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn) 參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn) 已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有 60 參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有 75 假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的 且各人的選 擇相互之間沒有影響 1 任選 1 名下崗人員 求該人參加過培訓(xùn)的概率 2 任選 3 名下崗人員 記 X 為 3 人中參加過培訓(xùn)的人數(shù) 求 X 的概率分布和期望 4 已知數(shù)列的首項(xiàng)為 n a1 12 12 kn nnknnn f naCa Ca Ca C 1 若為常數(shù)列 求的值 2 若為公比為的等比數(shù)列 nN n a 4 f n a2 求的解析式 3 數(shù)列能否成等差數(shù)列 使得對(duì)一切 f n n a 1 1 2nf nn 都成立 若能 求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 若不能 試說明理由 nN n a 7 參考答案 1 3 2 2 112 3 4 5 6 1 3 4 2 V 27 4 2 6 a 7 8 0 個(gè) 9 m 6 9 解析 求導(dǎo) 由 xf 3 3xxm 2 33fxx 得到或者 0fx 1x 1x 知道在 0 2 內(nèi) 函數(shù)先減小后增加 計(jì)算兩端及最小值x 0 2 2 1 2fm fm fm 在 0 2 上任取三個(gè)數(shù) 均存在以為邊的三角形 三個(gè)不同的數(shù) a b c f af bf c 對(duì)應(yīng)的可以有兩個(gè)相同 由三角形兩邊之和大于第三邊 可知最小 a b c f af bf c 邊長(zhǎng)的二倍必須大于最大邊長(zhǎng) 由題意知 1 1 20fm 得到 2 1 1 0 fff 42mm 得到 3 1 1 2 fff 422mm 由 1 2 3 得到為所求6m 10 11 12 5 2 1 2 由拋物線的定 3 410 2 義 PF 1 1d 1 1dPF 顯然當(dāng) PF 垂直于直線 122 1dddPF 40 xy 時(shí) 最小 此時(shí)為 F 12 dd 2 dPF 到直線40 xy 的距離為 22 1 04 5 2 2 11 的最小值為 12 dd 5 21 2 13 14 因?yàn)榍€ 0 0 ba ax b y與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱22 3 點(diǎn)稱為 望點(diǎn) 以 望點(diǎn) 為圓心 凡是與曲線 C 有公共點(diǎn)的圓 皆稱之為 望圓 所以 當(dāng)時(shí)望圓的方程可設(shè)為 面積最小的 望圓 的半徑為1 1 ba 222 1 ryx 8 0 1 到上任意點(diǎn)之間的最小距離 1 1 x y 22222 1 2 1 1 1 x x x x xd 所以半徑 最小面積為32 1 2 1 2 1 1 1 2 2 x x x x3 r 3 15 解析 1 證明 直線m kx y 1 0 可化為y 1 kx 故該直線恒過點(diǎn) 0 1 而 0 1 在圓O x2 y2 4 內(nèi)部 所以直線m與圓O恒有兩個(gè)不同交點(diǎn) 2 圓心O到直線m的距離為 d 而圓O的半徑r 2 1 1 k2 故弦AB的長(zhǎng)為 AB 2 2 r2 d24 d2 故 AOB面積S AB d 2 d 1 2 1 24 d2 4d2 d4 d2 2 2 4 而d2 因?yàn)?1 k2 1 所以d2 0 1 1 1 k2 1 1 k2 顯然當(dāng)d2 0 1 時(shí) S單調(diào)遞增 所以當(dāng)d2 1 即k 0 時(shí) S取得最大值 3 此時(shí)直線m的方程為y 1 0 16 如圖所示 連接OC 因?yàn)镺A OC D是AC的中點(diǎn) 所以AC OD 又PO 底面 O AC 底面 O 所以AC PO 因?yàn)镺D PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線 所以AC 平面POD 而AC 平面PAC 所以平面POD 平面PAC 2 在平面POD中 過O作OH PD于H 由 1 知 平面POD 平面PAC 所以O(shè)H 平面 PAC 又PA 平面PAC 所以PA OH 在平面PAO中 過O作OG PA于G 連接HG 則有PA 平面OGH 從而PA HG 故 OGH為二面角B PA C的平面角 在 Rt ODA中 OD OA sin 45 2 2 在 Rt POD中 9 OH PO OD PO2 OD2 2 2 2 2 1 2 10 5 在 Rt POA中 OG PO OA PO2 OA2 2 1 2 1 6 3 在 Rt OHG中 sin OGH OH OG 10 5 6 3 15 5 所以 cos OGH 1 sin2 OGH 1 15 25 10 5 故二面角B PA C的余弦值為 10 5 解法二 1 證明 如圖所示 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn) OB OC OP所在直線分別為x軸 y 軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 O 0 0 0 A 1 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 D 2 1 2 1 2 0 設(shè)n n1 x1 y1 z1 是平面POD的一個(gè)法向量 則由n n1 0 n n1 0 得Error OD OP 所以z1 0 x1 y1 取y1 1 得n n1 1 1 0 設(shè)n n2 x2 y2 z2 是平面PAC的一個(gè)法向量 則由n n2 0 n n2 0 PA PC 得Error 所以x2 z2 y2 z2 22 取z2 1 得n n2 1 22 因?yàn)閚 n1 n n2 1 1 0 1 0 所以n n1 n n2 從而平面POD 平面PAC 22 10 2 因?yàn)閥軸 平面PAB 所以平面PAB的一個(gè)法向量為n n3 0 1 0 由 1 知 平面PAC的一個(gè)法向量為n n2 1 22 設(shè)向量n n2和n n3的夾角為 則 cos n n2 n n3 n n2 n n3 2 5 10 5 由圖可知 二面角B PA C的平面角與 相等 所以二面角B PA C的余弦值為 10 5 17 1 當(dāng)時(shí) 分 1 3 a 2 1 2 3 fxxbxb 依題意 即恒成立 2 1 2 3 fxxbxb 1 3 2 20 xbxb 解得 2 440bb 01b 所以b的取值范圍是 分 0 1 2 因?yàn)闉槠婧瘮?shù) 所以 所以 32 f xaxbxba x 0b 3 f xaxax 又在處的切線垂直于直線 所以 即 2 3fxaxa f x1x 230 xy 1a 6 分 3 f xxx 在 上是單調(diào)遞增函數(shù) 在上是單調(diào)遞減 f x 3 3 3 3 33 33 函數(shù) 由解得 7 分 0f x 1x 0 x 法一 如圖所示 作與的圖像 若只有一個(gè)交點(diǎn) 則 yf x 4 t y 當(dāng)時(shí) 3 1 3 t 1 0 4 f tt 即 解得 3 4 t tt 33 23 t 當(dāng)時(shí) 3 0 3 t 1 0 4 f tt 解得 3 0 3 t x 1O y 1 1O x y f t 4 t y t 1 O x y f t 4 t y 3 3 11 當(dāng)時(shí) 不成立 0t 當(dāng)時(shí) 3 0 3 t 1 0 4 f tt 即 解得 3 4 t tt 3 0 3 t 當(dāng)時(shí) 3 1 3 t 1 0 4 f tt 解得 33 32 t 當(dāng)時(shí) 1t 38 3 1 439 t ft 4 t y 分 綜上t的取值范圍是或或 分 3 0 2 t 3 0 2 t 8 3 9 t 法二 由 13 42 f xxx 解之得0 x 作與的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 yf x 1 4 yx 3 2 x 0 x 當(dāng)時(shí) 過圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于軸的 33 0 0 22 x 8 3 9 1 4 yx x 直線與都只有唯一交點(diǎn) 當(dāng)取其它任何值時(shí)都有兩個(gè)或沒有交點(diǎn) yf x x 所以當(dāng)時(shí) 方程在上有且只有 33 0 0 22 t 8 3 9 1 4 f xt 1 1 t t 一個(gè)實(shí)數(shù)根 18 1 設(shè) 11 yxA 則切線AD的方程為 p x x p x y 2 2 11 所以 0 0 2 1 1 yQ x D 1 2 y p FQ 1 2 y p FA 所以 FAFQ 1 x y 3 3 f t 4 t y t O x y O x y 3 3 4 t y f t t t 4 t y 4 t y 12 所以 AFQ 為等腰三角形 3分 且D為 AQ 中點(diǎn) 所以 AQDF 60 2 AFDDF 1 2 60 p QFD 得 2 p 拋物線方程為 yx4 2 7分 II 設(shè) 0 222 xyxB 則B處的切線方程為 22 2 22 x x x y 由 4 2 42 42 2121 2 22 2 11 xxxx P x x x y x x x y 1 2 2 1 42 1 1 2 11 x x M y x x x y 同理 1 2 2 2 2 x x N 所以面積 21 2 211221 2 2 1 1 16 4 4 1 2 2 2 2 2 1 xx xxxxxx x x x x S 設(shè)AB的方程為 bkxy 則 0 b 由 044 4 2 2 bkxx yx bkxy 得 bxx kxx 4 4 21 21 代入 得 b bkb b bbk S 2222 1 64 44 1616 使面積最小 則 0 k 得到 b bb S 2 1 令 tb 得 t tt t t tS 1 2 1 3 22 2 22 1 13 t tt tS 所以當(dāng) 3 3 0 t 時(shí) tS 單調(diào)遞減 當(dāng) 3 3 t tS 單調(diào)遞增 所以當(dāng) 3 3 t 時(shí) S取到最小值為 9 316 此時(shí) 3 1 2 tb 0 k 所以 3 1 1 y 即 3 32 1 x 15分 13 19 解 1 橢圓的焦點(diǎn)在軸上 由橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和是 4 得CxA 12 F F 24a 即 又在橢圓上 解得 于是2a 3 1 2 A 2 2 3 1 2 1 2b 2 3b 2 1c 所以橢圓的方程是 焦點(diǎn)C 22 1 43 xy 12 1 0 1 0 FF 設(shè) 則 P x y 22 1 43 xy 22 4 4 3 xy 2222222 14111713 4 5 2343432 PQxyyyyyyy 又 當(dāng)時(shí) 33y 3 2 y max 5PQ 類似的性質(zhì)為 若是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn) 點(diǎn)是雙曲線 M N 22 22 1 xy C ab P 上任意一點(diǎn) 當(dāng)直線的斜率都存在 并記為時(shí) 那么與之積是與 PM PN PMPN kk PM k PN k 點(diǎn)位置無關(guān)的定值 P 設(shè)點(diǎn) 則點(diǎn) 其中 設(shè)點(diǎn) 則由 M m n Nmn 22 22 1 mn ab P x y PM yn k xm 得 將 PN yn k xm 22 22 PMPN ynynyn kk xm xmxm 代入上式得 22 222222 22 bb yxb nmb aa 2 2 PMPN b kk a 20 I 證明 設(shè) 0 1 1ln 1 11 x x axa x axfx 則 則 即在處取到最小值 0 2 x a x a x 1 x x 1 x 則 即原結(jié)論成立 4 分 01 x II 解 由得 xxf xxa 1ln 即 另 x x a ln 1 1 ln 1 x x x xg 2 ln 1 ln x x x x xg 另 則單調(diào)遞增 所以 x x xxh 1 ln 0 11 2 xx xh xh 01 hxh 14 因?yàn)?所以 即單調(diào)遞增 則的最大值為 0 xh 0 x g xg xg 1 eeg 所以的取值范圍為 8 分a 1e III 證明 由第一問得知?jiǎng)t x x 1 1ln n n 1 1ln 則 nnnfff 1ln3ln2ln 2 1 132 nn 1ln3ln2ln n n 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 32 1 21 1 22 12 1 32 1 22 1 22 nn n n n 112 nn 2 分 加試題參考答案 1 解 1 M1 M2 1 0 0 1 0 1 1 0 2 因?yàn)?M M2 M1 所以 M 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 21 0 1 1 0 2 1 1 2 故點(diǎn) C 在兩次連續(xù)的變換作用下所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是 1 2 1 O1 的直角坐標(biāo)方程為 22 40 xyx O2 的直角坐標(biāo)方程為 22 40 xyy 2 yx 3 22 3 解 任選 1 名下崗人員 記 該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn) 為事件 A 該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn) 為事件 B 由題設(shè)知 事件 A 與 B 相互獨(dú)立 且 P A 0 6 P B 0 75 1 解法一 任選 1 名下崗人員 該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是 P1 P P P A B A B 0 4 0 25 0 1 所以該人參加過培訓(xùn)的概率是 P2 1 P1 1 0 1 0